D’où vient le 30-60-90

Sur elev, cette leçon vient avec une vidéo, des exercices corrigés sur le moment et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev
Voir la vidéo de la leçon

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

משולש הזהב לא הומצא. הוא בדיוק חצי משולש שווה צלעות. מזה נובעים גם הזוויות שלו וגם יחס הצלעות.

מאיפה הזוויות

במשולש שווה צלעות כל הזוויות הן 60°60°. מורידים גובה, ומקבלים שני חצאים שווים.

בדיקה: 90+60+30=18090 + 60 + 30 = 180. הזוויות נובעות מהחיתוך, ולא במקרה.

חותכים כך משולש שווה צלעות גדול פי 3. האם הזוויות של החצי משתנות?

Voir la réponse et le corrigé

לא. שוב 90°90°, 60°60° ו-30°30°. הזוויות תלויות בחיתוך, לא בגודל.

ומאיפה יחס הצלעות

נסמן את צלע המשולש שווה הצלעות ב-2x. הגובה חוצה את הבסיס, ולכן חצי הבסיס הוא x.

(2x)2−x2=4x2−x2=3x2=x3\begin{aligned}\sqrt{(2x)^2 - x^2} &= \sqrt{4x^2 - x^2} \\ &= \sqrt{3x^2} \\ &= x\sqrt{3}\end{aligned}

מכאן היחס שכדאי לזכור בעל פה: 1:3:21 : \sqrt{3} : 2. מול ה-30, מול ה-60, ומול ה-90.

הסדר לא שרירותי: הצלע הגדולה מול הזווית הגדולה. ל-30 יש 11, ל-60 יש 3\sqrt{3} (בערך 1.731.73), ול-90 יש 22.

במשולש זהב, הצלע מול ה-30° היא 5. מה אורך היתר?

Voir la réponse et le corrigé

10. היתר הוא תמיד פי 2 מהצלע שמול ה-30 — כי הוא היה צלע של שווה הצלעות, וזו הייתה חציה.

ובאותו משולש — מה אורך הצלע מול ה-60°?

Voir la réponse et le corrigé

535\sqrt{3}, בערך 8.66. זה הגובה של המשולש שווה הצלעות המקורי.

מדוע הצלע מול ה-30 היא בדיוק מחצית היתר?

Voir la réponse et le corrigé

כי היא חצי הבסיס של שווה הצלעות, והיתר הוא צלע שלמה — ובשווה צלעות הבסיס והצלע שווים. חצי מול שלם.

שתי הטעויות של משולש הזהב.

הצלע מול 60°=2x\text{הצלע מול } 60° = 2x
=x3= x\sqrt{3}

פי 2 שייך ליתר, מול הזווית הישרה. מול ה-60 יושב שורש 3.

כל משולש ישר זווית הוא משולש זהב\text{כל משולש ישר זווית הוא משולש זהב}
רק אם יש בו זווית של 30°\text{רק אם יש בו זווית של 30°}

בלי זווית של 30 (או 60) היחסים האלה אינם תקפים כלל.

Exercices

Exercice 1

במשולש זהב, הצלע מול ה-30° היא 5. מה אורך היתר?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 10

Corrigé :

5×2=105 \times 2 = 10

היתר פי 2

כי היא חצי הבסיס והיתר צלע שלמה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

ובאותו משולש — מה אורך הצלע מול ה-60°? (עגלו לשתי ספרות)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 8.66

Corrigé :

53≈8.665\sqrt{3} \approx 8.66

זה הגובה של שווה הצלעות המקורי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

היתר במשולש זהב הוא 14. מה אורך הצלע מול ה-30°?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 7

Corrigé :

14:2=714 : 2 = 7

מחצית היתר

הכיוון ההפוך — חילוק.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

צלע משולש שווה צלעות היא 12. מה אורך הגובה שלו? (עגלו לשתי ספרות)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 10.39

Corrigé :

12:2=612 : 2 = 6

חצי הבסיס

63≈10.396\sqrt{3} \approx 10.39

הגובה הוא הצלע מול ה-60 בחצי המשולש.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

כמה זוויות של 60° יש במשולש שווה צלעות?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

180:3=60180 : 3 = 60

וכשחוצים אותו, אחת מהן נחצית ל-30.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

מדוע הגובה במשולש שווה צלעות הוא גם חוצה זווית?

  1. הוא לא — זו טעות
  2. זו הגדרה
  3. כי הוא שווה שוקיים מכל קודקוד
  4. רק במקרה
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C כי הוא שווה שוקיים מכל קודקוד

Corrigé :

שווה שוקיים⇒גובה=חוצה=תיכון\begin{aligned}\text{שווה שוקיים} \Rightarrow \text{גובה} &= \text{חוצה} \\ &= \text{תיכון}\end{aligned}

ומכאן שזווית הראש נחצית ל-30.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

מהו יחס הצלעות במשולש זהב, לפי סדר הזוויות 30, 60, 90?

  1. 1:2:31 : 2 : \sqrt{3}
  2. 1:3:21 : \sqrt{3} : 2
  3. 1:2:31 : 2 : 3
  4. 2:3:12 : \sqrt{3} : 1
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B 1:3:21 : \sqrt{3} : 2

Corrigé :

1:3:21 : \sqrt{3} : 2

הצלע הגדולה מול הזווית הגדולה — תמיד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

במשולש 30-60-90 היתר 14. הניצב מול 30?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 7

Corrigé :

14:2=714 : 2 = 7

חצי היתר

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

הניצב מול 30 הוא 4.5 — מהו היתר?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 9

Corrigé :

4.5×2=94.5 \times 2 = 9

הניצב שמול 30° שווה למחצית היתר — משפט שחוסך את כל החישוב.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

חצי משולש שווה צלעות שצלעו 12: מהו הניצב הקצר?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6

Corrigé :

12:2=612 : 2 = 6

הגובה חוצה את הבסיס

משולש הזהב הוא חצי שווה-צלעות — משם כל תכונותיו.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

סדרו את שלבי החישוב שמראים מאיפה בא היחס 1:3:21 : \sqrt{3} : 2 במשולש הזהב.

  • הגובה חוצה את הבסיס, ולכן חצי הבסיס הוא xx
  • ולכן h=x3h = x\sqrt{3}, והצלעות הן xx, x3x\sqrt{3} ו-2x2x
  • לפי פיתגורס: h2=(2x)2−x2=3x2h^2 = (2x)^2 - x^2 = 3x^2
  • מסמנים את צלע המשולש שווה הצלעות ב-2x2x
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : מסמנים את צלע המשולש שווה הצלעות ב-2x2x · הגובה חוצה את הבסיס, ולכן חצי הבסיס הוא xx · לפי פיתגורס: h2=(2x)2−x2=3x2h^2 = (2x)^2 - x^2 = 3x^2 · ולכן h=x3h = x\sqrt{3}, והצלעות הן xx, x3x\sqrt{3} ו-2x2x

Corrigé :

2x , x2x \ , \ x

היתר הוא צלע שלמה, הצלע מול 30°30° היא חצי בסיס

h2=4x2−x2=3x2\begin{aligned}h^2 &= 4x^2 - x^2 \\ &= 3x^2\end{aligned}

פיתגורס בחצי המשולש

h=x3h = x\sqrt{3}

אי אפשר להפעיל פיתגורס לפני שיודעים את שתי הצלעות האחרות, ואי אפשר לדעת את חצי הבסיס לפני שמסמנים את הצלע. לכן הסדר הוא אחד בלבד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

מיינו: האם המשולש הוא משולש זהב (זוויותיו 30°30°, 60°60°, 90°90°)?

  • משולש זהב
  • לא משולש זהב
  • חצי של משולש שווה צלעות, שנחתך לאורך הגובה
  • משולש ישר זווית ושווה שוקיים
  • משולש ישר זווית שאחת מזוויותיו 60°60°
  • משולש ישר זווית שניצביו 33 ו-44
  • משולש שזוויותיו 30°30°, 30°30° ו-120°120°
  • משולש שזוויותיו ביחס 1:2:31 : 2 : 3
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : חצי של משולש שווה צלעות, שנחתך לאורך הגובה — משולש זהב · משולש ישר זווית שאחת מזוויותיו 60°60° — משולש זהב · משולש שזוויותיו ביחס 1:2:31 : 2 : 3 — משולש זהב · משולש ישר זווית ושווה שוקיים — לא משולש זהב · משולש שזוויותיו 30°30°, 30°30° ו-120°120° — לא משולש זהב · משולש ישר זווית שניצביו 33 ו-44 — לא משולש זהב

Corrigé :

90°−60°=30°90° - 60° = 30°

ישר זווית עם 60°60° — הזווית השלישית 30°30°

1:2:3⇒30°,60°,90°1 : 2 : 3 \Rightarrow 30° , 60° , 90°

180:6=30180 : 6 = 30

3,4,53 , 4 , 5

הניצב הקצר אינו מחצית היתר: 3≠2.53 \neq 2.5

משולש זהב צריך גם זווית ישרה וגם זווית של 30°30°. ישר זווית שווה שוקיים הוא 45°45°-45°45°-90°90°, ול-30°30°-30°30°-120°120° אין זווית ישרה. ובמשולש 33-44-55 היתר אינו פי 2 מהניצב הקצר — לכן אין בו 30°30°.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 13

ABCD

חותכים משולש שווה צלעות בגובה ADAD. גם זווית הבסיס BB נחצית לשני חלקים.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

∠ABD=60°\angle ABD = 60°

הגובה יוצא מ-AA, ולא נוגע בזווית BB

∠BAD=60:2=30°\begin{aligned}\angle BAD &= 60 : 2 \\ &= 30°\end{aligned}

רק זווית הראש נחצית

לא נכון. הגובה חוצה רק את הזווית שממנה הוא יוצא, זווית הראש. זווית הבסיס נשארת 60°60°.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 14

התאימו כל זווית בחצי המשולש לסיבה שלה

  • 90°90°
  • 60°60°
  • 30°30°
  • הגובה חוצה את זווית הראש
  • הגובה מאונך לבסיס
  • זווית הבסיס לא השתנתה
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 90°90° — הגובה מאונך לבסיס · 60°60° — זווית הבסיס לא השתנתה · 30°30° — הגובה חוצה את זווית הראש

Corrigé :

90+60+30=18090 + 60 + 30 = 180

בדיקה: סכום הזוויות במשולש

כל זווית באה מהחיתוך. מי שמחליף בין 60 ל-30 שוכח שהגובה חוצה רק את זווית הראש.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 15

השלימו את הטבלה. בכל שורה משולש זהב, וצלעותיו xx, x3x\sqrt{3} ו-2x2x. בעמודה של 60°60°, עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

מול 30°30°מול 90°90°מול 60°60°
44________
____1818____
________12.1212.12
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 44: 8, 6.93 · 15.59 · 14

Corrigé :

x=4  ⇒  2x=8  x3≈6.93\begin{aligned}x &= 4 \;\Rightarrow\; 2x \\ &= 8 \\ \; x\sqrt{3} \approx 6.93\end{aligned}

xx נתון

2x=18  ⇒  x=9  x3≈15.59\begin{aligned}2x &= 18 \;\Rightarrow\; x \\ &= 9 \\ \; x\sqrt{3} \approx 15.59\end{aligned}

קודם חוצים את היתר

x3≈12.12  ⇒  x≈12.12:1.73≈7x\sqrt{3} \approx 12.12 \;\Rightarrow\; x \approx 12.12 : 1.73 \approx 7

מחלקים בשורש 3

קודם מוצאים את xx, הצלע שמול 30°30°. ממנה יוצאות שתי האחרות. בשורה השלישית מחלקים ב-3\sqrt{3}, לא ב-2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 16

במשולש זהב, aa הצלע שמול 30°30°, bb הצלע שמול 60°60°, ו-cc היתר. נתון a=6a = 6. נועה חישבה את bb ואת cc. שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

a=6a = 6
c=2a=12\begin{aligned}c &= 2a \\ &= 12\end{aligned}
b=2a=12\begin{aligned}b &= 2a \\ &= 12\end{aligned}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : b=2a=12b = 2a = 12 → b=a3=63b = a\sqrt{3} = 6\sqrt{3}

Corrigé :

b=122−62=108=63≈10.39\begin{aligned}b &= \sqrt{12^2 - 6^2} \\ &= \sqrt{108} \\ &= 6\sqrt{3} \approx 10.39\end{aligned}

בדיקה בפיתגורס

פי 2 שייך ליתר בלבד. אילו גם bb היה 12, היו במשולש שתי צלעות שוות, ולא זוויות של 30 ו-60.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 17

ABCD

הגובה של משולש שווה צלעות הוא 535\sqrt{3} ס״מ. מה אורך הצלע של המשולש, בס״מ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 10

Corrigé :

x3=53  ⇒  x=5\begin{aligned}x\sqrt{3} &= 5\sqrt{3} \;\Rightarrow\; x \\ &= 5\end{aligned}

בחצי המשולש, הגובה יושב מול 60°60°

2x=102x = 10

הצלע של המשולש היא היתר של החצי

הגובה הוא x3x\sqrt{3}, ולא xx. מי שעונה 5 מצא את חצי הבסיס, ולא את הצלע.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe