Le triangle 30-60-90

Sur elev, cette leçon vient avec une vidéo, des exercices corrigés sur le moment et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev
Voir la vidéo de la leçon

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

יש משולש ישר זווית אחד שחוזר שוב ושוב, ונקרא לו משולש הזהב. הזוויות שלו: 30°30°, 60°60° ו-90°90°.

המשפט: במשולש הזהב, הצלע שמול הזווית 90°90° שווה לפעמיים הצלע שמול הזווית 30°30°.

היתר=2×הצלע שמול 30°\text{היתר} = 2 \times \text{הצלע שמול } 30°

הצלע הקטנה ביותר, מול הזווית הקטנה ביותר, היא מחצית היתר. די להכיר אחת מהן כדי לדעת מיד את השנייה.

למה זה עובד

זה לא מקרי. הזוויות קובעות את צורת המשולש, והצורה קובעת את היחסים בין הצלעות.

שני משולשי זהב, קטן וגדול, הם תמיד דומים. לכן היחס ביניהם קבוע.

זו המסקנה של פרק הדמיון: זוויות שוות, יחסים שווים. משולש הזהב הוא המקרה השימושי ביותר של הכלל הזה.

משולש זהב אחד קטן, והשני גדול ממנו פי 10. פי כמה היתר גדול מהצלע שמול 30°30°, בכל אחד מהם?

Voir la réponse et le corrigé

פי 2, בשניהם. כל הצלעות גדלו פי 10, ולכן היחס ביניהן לא השתנה.

והצלע השלישית

את הצלע שמול ה-60°60° אין צורך לזכור — מוצאים אותה במשפט פיתגורס, כמו כל צלע חסרה.

הצלע השלישית כמעט אף פעם אינה מספר שלם, וזה תקין לגמרי. הכתיב המדויק שלה דורש שורשים.

הטעות שנובעת מבלבול בין הצלעות.

היתר=2×הצלע שמול 60°\text{היתר} = 2 \times \text{הצלע שמול } 60°
היתר=2×הצלע שמול 30°\text{היתר} = 2 \times \text{הצלע שמול } 30°

הכפל הוא ביחס לצלע הקטנה — זו שמול הזווית הקטנה. הצלע שמול 60°60° גדולה ממנה, ואין לה יחס פשוט ליתר.

במשולש 30-60-90 היתר 10. מהו הניצב מול ה-30?

Voir la réponse et le corrigé

5 — חצי היתר, תמיד. זו התכונה המרכזית של משולש הזהב.

Exercices

Exercice 1

במשולש זהב, הצלע שמול הזווית 30° היא 3 ס״מ. מה אורך היתר?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6

Corrigé :

2×3=62 \times 3 = 6

היתר הוא פעמיים הצלע שמול 30°

הצלע הקטנה ביותר היא תמיד מחצית היתר — זו כל התכונה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

במשולש זהב, אורך היתר הוא 6 ס״מ. מה אורך הצלע שמול הזווית 30°?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

62=3\frac{6}{2} = 3

הכיוון ההפוך — מחצית היתר

התכונה עובדת בשני הכיוונים, ולכן שווה לזהות משולש זהב מיד לפי הזוויות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

במשולש זהב, הצלע שמול הזווית 30° היא 5 ס״מ. מה אורך היתר?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 10

Corrigé :

2×5=102 \times 5 = 10

היתר הוא פעמיים הצלע שמול 30°

הצלע הקטנה ביותר היא תמיד מחצית היתר — זו כל התכונה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

במשולש זהב, אורך היתר הוא 10 ס״מ. מה אורך הצלע שמול הזווית 30°?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5

Corrigé :

102=5\frac{10}{2} = 5

הכיוון ההפוך — מחצית היתר

התכונה עובדת בשני הכיוונים, ולכן שווה לזהות משולש זהב מיד לפי הזוויות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

במשולש זהב, הצלע שמול הזווית 30° היא 7 ס״מ. מה אורך היתר?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 14

Corrigé :

2×7=142 \times 7 = 14

היתר הוא פעמיים הצלע שמול 30°

הצלע הקטנה ביותר היא תמיד מחצית היתר — זו כל התכונה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

במשולש זהב, אורך היתר הוא 14 ס״מ. מה אורך הצלע שמול הזווית 30°?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 7

Corrigé :

142=7\frac{14}{2} = 7

הכיוון ההפוך — מחצית היתר

התכונה עובדת בשני הכיוונים, ולכן שווה לזהות משולש זהב מיד לפי הזוויות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

במשולש זהב, הצלע שמול הזווית 30° היא 9 ס״מ. מה אורך היתר?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 18

Corrigé :

2×9=182 \times 9 = 18

היתר הוא פעמיים הצלע שמול 30°

הצלע הקטנה ביותר היא תמיד מחצית היתר — זו כל התכונה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

במשולש זהב, אורך היתר הוא 18 ס״מ. מה אורך הצלע שמול הזווית 30°?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 9

Corrigé :

182=9\frac{18}{2} = 9

הכיוון ההפוך — מחצית היתר

התכונה עובדת בשני הכיוונים, ולכן שווה לזהות משולש זהב מיד לפי הזוויות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

במשולש זהב, הצלע שמול הזווית 30° היא 12 ס״מ. מה אורך היתר?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 24

Corrigé :

2×12=242 \times 12 = 24

היתר הוא פעמיים הצלע שמול 30°

הצלע הקטנה ביותר היא תמיד מחצית היתר — זו כל התכונה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

במשולש זהב, אורך היתר הוא 24 ס״מ. מה אורך הצלע שמול הזווית 30°?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 12

Corrigé :

242=12\frac{24}{2} = 12

הכיוון ההפוך — מחצית היתר

התכונה עובדת בשני הכיוונים, ולכן שווה לזהות משולש זהב מיד לפי הזוויות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

במשולש זהב, הצלע שמול הזווית 30° היא 20 ס״מ. מה אורך היתר?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 40

Corrigé :

2×20=402 \times 20 = 40

היתר הוא פעמיים הצלע שמול 30°

הצלע הקטנה ביותר היא תמיד מחצית היתר — זו כל התכונה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

במשולש זהב, אורך היתר הוא 40 ס״מ. מה אורך הצלע שמול הזווית 30°?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 20

Corrigé :

402=20\frac{40}{2} = 20

הכיוון ההפוך — מחצית היתר

התכונה עובדת בשני הכיוונים, ולכן שווה לזהות משולש זהב מיד לפי הזוויות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 13

אילו זוויות יש במשולש זהב?

  1. 30°30°, 30°30°, 120°120°
  2. 45°45°, 45°45°, 90°90°
  3. 30°30°, 60°60°, 90°90°
  4. 60°60°, 60°60°, 60°60°
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 30°30°, 60°60°, 90°90°

Corrigé :

30+60+90=18030 + 60 + 90 = 180

וסכום הזוויות מתקיים

זהו המשולש שהזוויות שלו קובעות יחס פשוט במיוחד בין הצלעות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 14

לאיזו צלע היתר שווה פי שניים?

  1. לאף אחת מהן
  2. לשתי הצלעות
  3. לצלע שמול 30°30°
  4. לצלע שמול 60°60°
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C לצלע שמול 30°30°

Corrigé :

היתר=2×מול 30°\text{היתר} = 2 \times \text{מול } 30°

הצלע הקטנה ביותר

הזווית הקטנה ביותר נמצאת תמיד מול הצלע הקטנה ביותר. הבלבול עם הצלע שמול 60° הוא הטעות הנפוצה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 15

מדוע היחס נשאר קבוע גם כשהמשולש גדל?

  1. כי הזוויות קובעות את הצורה, וכל משולשי הזהב דומים
  2. זו הגדרה שרירותית
  3. זה נכון רק במשולשים קטנים
  4. כי כל המשולשים חופפים
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A כי הזוויות קובעות את הצורה, וכל משולשי הזהב דומים

Corrigé :

זוויות שוות→דמיון\text{זוויות שוות} \rightarrow \text{דמיון}

לפי משפט ז.ז

שני משולשי זהב הם תמיד דומים לפי ז.ז — ובמשולשים דומים היחס בין הצלעות קבוע.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 16

במשולש זהב, הצלע שמול 30° היא 6 ס״מ. מה היקף המשולש? (עגלו לשלם הקרוב)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 28

Corrigé :

היתר=2×6=12\begin{aligned}\text{היתר} &= 2 \times 6 \\ &= 12\end{aligned}

לפי משפט משולש הזהב

62+b2=122⟶b≈10.396^2 + b^2 = 12^2 \quad \longrightarrow\quad b \approx 10.39

הצלע השלישית לפי פיתגורס

6+12+10.39≈286 + 12 + 10.39 \approx 28

ומחברים את שלוש הצלעות

שני המשפטים בשאלה אחת: משולש הזהב נותן את היתר, ופיתגורס את הצלע החסרה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 17

ABCD
שני משולשי זהב זה בתוך זה — הגדול ABCABC, והקטן ABDABD.

במשולש ABCABC נתון ∠B=90∘\angle B = 90^\circ ו-∠C=30∘\angle C = 30^\circ. הקטע BDBD הוא גובה ליתר ACAC. הוכיחו כי AD=AB2AD = \dfrac{AB}{2}.

  • ∠B=90∘\angle B = 90^\circ
  • ∠C=30∘\angle C = 30^\circ
  • BDBD גובה ליתר ACAC

AD=AB2AD = \dfrac{AB}{2}

Voir la réponse et le corrigé
  1. ∠B=90∘\angle B = 90^\circ — נתון
  2. ∠C=30∘\angle C = 30^\circ — נתון
  3. BDBD גובה ליתר ACAC — נתון
  4. ∠A=60∘\angle A = 60^\circ — סכום הזוויות במשולש שווה 180∘180^\circ
  5. ∠ADB=90∘\angle ADB = 90^\circ — גובה מאונך לצלע שאליה הוא מגיע
  6. ∠ABD=30∘\angle ABD = 30^\circ — סכום הזוויות במשולש שווה 180∘180^\circ
  7. AD=AB2AD = \dfrac{AB}{2} — הניצב מול זווית של 30∘30^\circ שווה למחצית היתר

Corrigé :

∠A=180∘−90∘−30∘=60∘\begin{aligned}\angle A &= 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ \\ &= 60^\circ\end{aligned}

הזווית החסרה במשולש הגדול

∠ABD=180∘−90∘−60∘=30∘\begin{aligned}\angle ABD &= 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ \\ &= 30^\circ\end{aligned}

ובמשולש הקטן ABDABD

AD=AB2AD = \frac{AB}{2}

הניצב מול 30∘30^\circ

הגובה מהזווית הישרה יצר משולש זהב קטן בתוך הגדול. זה הטריק שחוזר בכל התרגילים מהסוג הזה: לחפש את משולש הזהב הנסתר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 18

במשולש זהב, הצלע שמול 30°30° היא 4 ס״מ. תלמידה חישבה את הצלע שמול 60°60°. שורה אחת שגויה — מצאו אותה

היתר=2⋅4=8\begin{aligned}\text{היתר} &= 2 \cdot 4 \\ &= 8\end{aligned}
42+b2=824^2 + b^2 = 8^2
b2=64+16=80\begin{aligned}b^2 &= 64 + 16 \\ &= 80\end{aligned}
b=48≈6.93b = \sqrt{48} \approx 6.93
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : b2=64+16=80b^2 = 64 + 16 = 80 → b2=64−16=48b^2 = 64 - 16 = 48

Corrigé :

b2=82−42b^2 = 8^2 - 4^2

מעבירים את 424^2 לצד השני — חיסור

b2=48  b≈6.93\begin{aligned}b^2 &= 48 \ \\ \ b \approx 6.93\end{aligned}

את הניצב מוצאים מהיתר בחיסור, לא בחיבור. בדיקה מהירה: 80≈8.94\sqrt{80} \approx 8.94 גדול מהיתר 8, ואין ניצב שארוך מהיתר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 19

במשולש זהב, אורך היתר הוא 16 ס״מ. השלימו (את הצלע השנייה עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

הצלע שמול 30°30° היא ____ ס״מ, והצלע שמול 60°60° היא בערך ____ ס״מ

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : הצלע שמול 30°30° היא 8 ס״מ, והצלע שמול 60°60° היא בערך 13.86 ס״מ

Corrigé :

162=8\frac{16}{2} = 8

הצלע שמול 30°30° היא מחצית היתר

b2=162−82=192\begin{aligned}b^2 &= 16^2 - 8^2 \\ &= 192\end{aligned}

פיתגורס

b=192=83≈13.86\begin{aligned}b &= \sqrt{192} \\ &= 8\sqrt{3} \approx 13.86\end{aligned}

קודם הצלע הקטנה לפי משפט משולש הזהב, ורק אז הצלע השלישית לפי פיתגורס.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 20

במשולש ישר הזווית שבאיור, היתר הוא 16 ס״מ, והזווית החדה הקטנה היא 30°30°. מה אורך הצלע הקצרה ביותר, בס״מ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 8

Corrigé :

16:2=816 : 2 = 8

הצלע הקצרה ביותר יושבת מול הזווית הקטנה ביותר, 30°30°: מחצית היתר

הצלע הקצרה ביותר היא זו שמול 30°30°, גם כשהמשולש מסובב. היא מחצית היתר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 21

מגדילים משולש זהב פי 3. במשולש הגדול, היתר כבר לא שווה לפעמיים הצלע שמול 30°30°.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

3⋅103⋅5=105=2\begin{aligned}\frac{3 \cdot 10}{3 \cdot 5} &= \frac{10}{5} \\ &= 2\end{aligned}

שתי הצלעות גדלות פי 3

לא נכון. הזוויות לא השתנו, ולכן המשולש הגדול דומה לקטן. היחס נשאר 2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 22

במשולש זהב, aa הצלע שמול 30°30°, bb הצלע שמול 60°60°, ו-cc היתר. נתון c=12c = 12. יואב חישב את aa ואת bb. שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

a=c:2=6\begin{aligned}a &= c : 2 \\ &= 6\end{aligned}
a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2
b2=144+36=180\begin{aligned}b^2 &= 144 + 36 \\ &= 180\end{aligned}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : b2=144+36=180b^2 = 144 + 36 = 180 → b2=144−36=108b^2 = 144 - 36 = 108

Corrigé :

b2=c2−a2=144−36=108\begin{aligned}b^2 &= c^2 - a^2 \\ &= 144 - 36 \\ &= 108\end{aligned}

ניצב חסר: מחסרים מריבוע היתר

b=108≈10.39b = \sqrt{108} \approx 10.39

ומוציאים שורש

בפיתגורס, ניצב חסר יוצא מחיסור: ריבוע היתר פחות ריבוע הניצב השני. בדיקה: 180≈13.4\sqrt{180} \approx 13.4, ארוך מהיתר — וזה בלתי אפשרי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 23

סדרו את צלעות משולש הזהב, מהקצרה לארוכה:

  • היתר
  • הצלע שמול 30°30°
  • הצלע שמול 60°60°
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : הצלע שמול 30°30° · הצלע שמול 60°60° · היתר

Corrigé :

5<8.66<105 < 8.66 < 10

בדוגמה של השיעור

הצלע הגדולה מול הזווית הגדולה. היתר, מול 90°90°, הוא תמיד הארוך, והצלע מול 30°30° תמיד הקצרה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 24

במשולש זהב, היתר הוא 8 ס״מ. מה אורך הצלע שמול 60°60°, בס״מ? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6.93

Corrigé :

8:2=48 : 2 = 4

הצלע שמול 30°30°, לפי משפט משולש הזהב

42+b2=824^2 + b^2 = 8^2

ואז פיתגורס

b2=64−16=48⟶b≈6.93\begin{aligned}b^2 &= 64 - 16 \\ &= 48 \quad\longrightarrow\quad b \approx 6.93\end{aligned}

ומוציאים שורש

קודם הצלע הקצרה, ורק אז פיתגורס. מי שעוצר ב-8:2=48 : 2 = 4 מצא את הצלע שמול 30°30°, ולא את זו שמול 60°60°.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe