Les propriétés du parallélogramme

Sur elev, cette leçon vient avec une vidéo, des exercices corrigés sur le moment et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

מקבילית היא מרובע שבו שני זוגות הצלעות הנגדיות מקבילים.

זו ההגדרה. ממנה נובעות כל שאר התכונות.

במקבילית $ABCD$ , איזו צלע מקבילה ל- $AB$ ? ואיזו ל- $BC$ ?

Voir la réponse et le corrigé

$DC$ ו- $AD$ . כל צלע מקבילה לצלע שמולה, לא לצלע שנוגעת בה.

ארבע התכונות

נסובב את המקבילית חצי סיבוב סביב $O$ , הנקודה שבה נפגשים האלכסונים.

שימו לב מה לא ברשימה: האלכסונים אינם שווים זה לזה, ואינם מאונכים. אלה תכונות של המלבן ושל המעוין, לא של כל מקבילית.

במקבילית $ABCD$ האלכסונים נחתכים ב- $O$ , ו- $AO = 4$ , $BO = 6$ . מה אורך $AC$ , ומה אורך $BD$ ?

Voir la réponse et le corrigé

8 ו-12. $O$ הוא אמצע של כל אלכסון: $O$ , $BD = 2 \cdot 6$ . והאלכסונים לא שווים.

איך משתמשים בזה בהוכחה

כשכתוב בנתונים « $ABCD$ מקבילית», כל ארבע התכונות זמינות. לא מוכיחים אותן שוב.

הנימוק נכתב בשם התכונה: «הצלעות הנגדיות במקבילית שוות».

נתונה מקבילית $ABCD$ שבה $\angle A = 70°$ . מצאו את שאר הזוויות.

$ABCD$ מקבילית

$\angle A = 70°$

$\angle B, \angle C, \angle D$

$\angle C = 70°$

זוויות נגדיות במקבילית שוות

$\angle A + \angle B = 180°$

זוויות חד-צדדיות בין מקבילים

$\angle B = 110°$

חישוב

$\angle D = 110°$

זוויות נגדיות במקבילית שוות

שתי זוויות סמוכות במקבילית משלימות תמיד ל-180°, כי הן חד-צדדיות בין שני ישרים מקבילים.

הבלבול בין נגדי לסמוך.

\angle A = \angle B

\angle A + \angle B = 180°

$A$ ו- $B$ הן זוויות סמוכות — הן משלימות, לא שוות. שוות הן הזוויות שנמצאות זו מול זו באלכסון.

במקבילית זווית אחת 55°. מהן שלוש האחרות?

Voir la réponse et le corrigé

הנגדית 55°, ושתי הסמוכות 125° כל אחת. נגדיות שוות, סמוכות משלימות ל-180.

Exercices

Exercice 1

במקבילית $ABCD$ נתון ש- $\angle A = 70°$ . מה גודל $\angle B$ במעלות?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 110

Corrigé :

\angle A + \angle B = 180°

זוויות סמוכות במקבילית משלימות

\begin{aligned}\angle B &= 180 - 70 \\ &= 110\end{aligned}

Et on calcule (חשב)

סמוכות משלימות ל-180°, נגדיות שוות. שני כללים, ואסור לערבב.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

במקבילית $ABCD$ נתון ש- $\angle A = 110°$ . מה גודל $\angle B$ במעלות?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 70

Corrigé :

\angle A + \angle B = 180°

זוויות סמוכות במקבילית משלימות

\begin{aligned}\angle B &= 180 - 110 \\ &= 70\end{aligned}

Et on calcule (חשב)

סמוכות משלימות ל-180°, נגדיות שוות. שני כללים, ואסור לערבב.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

במקבילית $ABCD$ נתון ש- $\angle A = 45°$ . מה גודל $\angle B$ במעלות?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 135

Corrigé :

\angle A + \angle B = 180°

זוויות סמוכות במקבילית משלימות

\begin{aligned}\angle B &= 180 - 45 \\ &= 135\end{aligned}

Et on calcule (חשב)

סמוכות משלימות ל-180°, נגדיות שוות. שני כללים, ואסור לערבב.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

במקבילית $ABCD$ נתון ש- $\angle A = 120°$ . מה גודל $\angle B$ במעלות?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 60

Corrigé :

\angle A + \angle B = 180°

זוויות סמוכות במקבילית משלימות

\begin{aligned}\angle B &= 180 - 120 \\ &= 60\end{aligned}

Et on calcule (חשב)

סמוכות משלימות ל-180°, נגדיות שוות. שני כללים, ואסור לערבב.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

במקבילית $ABCD$ נתון ש- $\angle A = 90°$ . מה גודל $\angle B$ במעלות?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 90

Corrigé :

\angle A + \angle B = 180°

זוויות סמוכות במקבילית משלימות

\begin{aligned}\angle B &= 180 - 90 \\ &= 90\end{aligned}

Et on calcule (חשב)

סמוכות משלימות ל-180°, נגדיות שוות. שני כללים, ואסור לערבב.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

במקבילית $ABCD$ נתון ש- $\angle A = 70°$ . מה גודל $\angle C$ במעלות?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 70

Corrigé :

\begin{aligned}\angle C &= \angle A \\ &= 70°\end{aligned}

זוויות נגדיות במקבילית שוות

$A$ ו- $C$ נמצאות זו מול זו — הן נגדיות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

במקבילית $ABCD$ נתון ש- $\angle A = 115°$ . מה גודל $\angle C$ במעלות?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 115

Corrigé :

\begin{aligned}\angle C &= \angle A \\ &= 115°\end{aligned}

זוויות נגדיות במקבילית שוות

$A$ ו- $C$ נמצאות זו מול זו — הן נגדיות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

במקבילית $ABCD$ נתון ש- $\angle A = 40°$ . מה גודל $\angle C$ במעלות?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 40

Corrigé :

\begin{aligned}\angle C &= \angle A \\ &= 40°\end{aligned}

זוויות נגדיות במקבילית שוות

$A$ ו- $C$ נמצאות זו מול זו — הן נגדיות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

איזו תכונה אינה נכונה בכל מקבילית?

האלכסונים שווים זה לזה
הזוויות הנגדיות שוות
הצלעות הנגדיות שוות
האלכסונים חוצים זה את זה

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A האלכסונים שווים זה לזה

Corrigé :

AC \neq BD

במקבילית כללית האלכסונים שונים באורכם

אלכסונים שווים זו תכונה של המלבן. מקבילית «נוטה» — אלכסון אחד ארוך מהשני.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

האלכסונים במקבילית נחתכים בנקודה $O$ . מה נכון?

האלכסונים שווים ב- $O$
האלכסונים מאונכים ב- $O$
$O$ היא אמצע של אלכסון אחד בלבד
$O$ היא אמצע של שני האלכסונים

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $O$ היא אמצע של שני האלכסונים

Corrigé :

\begin{aligned}AO &= OC \\ \quad BO &= OD\end{aligned}

כל אחד מהם נחצה

«חוצים זה את זה» אומר ששניהם נחתכים בדיוק באמצע שלהם — ולא שהם שווים באורכם.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

האלכסון

AC

מחלק את המקבילית לשני משולשים.

נתונה מקבילית $ABCD$ . הוכיחו: $\angle B = \angle D$ .

$ABCD$ מקבילית

$\angle B = \angle D$

Voir la réponse et le corrigé

$ABCD$ מקבילית — נתון
$AB = CD$ — במקבילית הצלעות הנגדיות שוות
$BC = DA$ — במקבילית הצלעות הנגדיות שוות
$AC = CA$ — צלע משותפת לשני המשולשים
$\triangle ABC \cong \triangle CDA$ — משפט חפיפה צ.צ.צ
$\angle B = \angle D$ — זוויות מתאימות במשולשים חופפים שוות

Corrigé :

\begin{aligned}AB &= CD \\ \quad BC &= DA \\ \quad AC &= CA\end{aligned}

שני זוגות צלעות נגדיות, והאלכסון המשותף

\triangle ABC \cong \triangle CDA

צ.צ.צ

\angle B = \angle D

זוויות מתאימות: $\angle B$ מול $AC$ במשולש אחד, $\angle D$ מול $CA$ בשני

האלכסון $AC$ חותך את המקבילית לשני משולשים חופפים. הזוויות שמול האלכסון — $\angle B$ ו- $\angle D$ — הן הזוויות הנגדיות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

Associez, reliez (התאימו) chaque cas à ce qu'il indique

$AB \parallel DC ,\quad BC \parallel AD$
$AB = DC ,\quad BC = AD$
$AO = OC ,\quad BO = OD$

האלכסונים חוצים זה את זה — נפגשים בדיוק באמצע של שניהם.
הצלעות הנגדיות מקבילות — זו ההגדרה עצמה.
הצלעות הנגדיות שוות באורכן.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $AB \parallel DC ,\quad BC \parallel AD$ — הצלעות הנגדיות מקבילות — זו ההגדרה עצמה. · $AB = DC ,\quad BC = AD$ — הצלעות הנגדיות שוות באורכן. · $AO = OC ,\quad BO = OD$ — האלכסונים חוצים זה את זה — נפגשים בדיוק באמצע של שניהם.

Corrigé :

Chaque paire ici est apparue dans la leçon — l'association correspond exactement à ce que le tableau (טבלה) montrait.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 13

מיינו: מה נכון בכל מקבילית, ומה לא תמיד?

נכון בכל מקבילית
לא תמיד

האלכסונים חוצים זה את זה
האלכסונים מאונכים זה לזה
האלכסונים שווים זה לזה
הזוויות הנגדיות שוות
הצלעות הנגדיות שוות
כל הצלעות שוות
שתי זוויות סמוכות משלימות ל- $180°$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : הצלעות הנגדיות שוות — נכון בכל מקבילית · הזוויות הנגדיות שוות — נכון בכל מקבילית · האלכסונים חוצים זה את זה — נכון בכל מקבילית · שתי זוויות סמוכות משלימות ל- $180°$ — נכון בכל מקבילית · האלכסונים שווים זה לזה — לא תמיד · האלכסונים מאונכים זה לזה — לא תמיד · כל הצלעות שוות — לא תמיד

Corrigé :

\begin{aligned}AB \parallel DC \\ \ AB &= DC\end{aligned}

צלעות נגדיות מקבילות ושוות

\begin{aligned}\angle A &= \angle C \\ \quad \angle A + \angle B &= 180°\end{aligned}

זוויות נגדיות שוות, סמוכות משלימות

\begin{aligned}AO &= OC \\ \ BO &= OD\end{aligned}

האלכסונים חוצים זה את זה

ארבע התכונות של המקבילית: צלעות נגדיות מקבילות ושוות, זוויות נגדיות שוות, ואלכסונים שחוצים זה את זה. מכאן גם שזוויות סמוכות משלימות ל- $180°$ (חד-צדדיות בין מקבילים). אלכסונים שווים הם תכונה של המלבן, אלכסונים מאונכים וצלעות שוות — של המעוין.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 14

במקבילית $ABCD$ נתון $\angle A = 65°$ . שורה אחת בחישוב שגויה — מצאו אותה

\angle A + \angle B = 180°

\begin{aligned}\angle B &= 180° - 65° \\ &= 115°\end{aligned}

\begin{aligned}\angle D &= 180° - \angle B \\ &= 65°\end{aligned}

\begin{aligned}\angle C &= \angle A \\ &= 65°\end{aligned}

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $\angle D = 180° - \angle B = 65°$ → $\angle D = \angle B = 115°$

Corrigé :

\begin{aligned}\angle D &= \angle B \\ &= 115°\end{aligned}

זוויות נגדיות במקבילית שוות

65° + 115° + 65° + 115° = 360°

בדיקה: סכום הזוויות במרובע

$B$ ו- $D$ הן זוויות נגדיות, לא סמוכות — ולכן הן שוות: $\angle D = 115°$ . משלימות ל- $180°$ רק זוויות סמוכות, כמו $A$ ו- $A$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 15

Complétez (השלימו)

במקבילית $ABCD$ האלכסונים נחתכים בנקודה $O$ . נתון $O$ ס״מ ו- $BO = 5$ ס״מ. אורך $AO$ הוא ____ ס״מ, ואורך האלכסון $BD$ הוא ____ ס״מ.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : במקבילית $ABCD$ האלכסונים נחתכים בנקודה $O$ . נתון $O$ ס״מ ו- $BO = 5$ ס״מ. אורך $AO$ הוא 7 ס״מ, ואורך האלכסון $BD$ הוא 10 ס״מ.

Corrigé :

\begin{aligned}AO &= \frac{AC}{2} \\ &= \frac{14}{2} \\ &= 7\end{aligned}

\begin{aligned}BD &= 2 \cdot BO \\ &= 2 \cdot 5 \\ &= 10\end{aligned}

במקבילית האלכסונים חוצים זה את זה, ולכן $O$ היא אמצע של שניהם.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 16

במקבילית $ABCD$ נתון $\angle A = (2x + 20)°$ ו- $\angle B = (3x)°$ . סדרו את שלבי החישוב של $\angle A$

$\angle A + \angle B = 180°$
$\angle A = 2 \cdot 32 + 20 = 84°$
$2x + 20 + 3x = 180$
$5x = 160$
$x = 32$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $\angle A + \angle B = 180°$ · $2x + 20 + 3x = 180$ · $5x = 160$ · $x = 32$ · $\angle A = 2 \cdot 32 + 20 = 84°$

Corrigé :

\angle A + \angle B = 180°

זוויות סמוכות במקבילית

\begin{aligned}5x + 20 &= 180 \Rightarrow x \\ &= 32\end{aligned}

On résout

\begin{aligned}\angle A &= 84° \\ \quad \angle B &= 96°\end{aligned}

בדיקה: $84 + 96 = 180$

$A$ ו- $B$ זוויות סמוכות במקבילית, ולכן הן משלימות ל- $B$ . מציבים, פותרים את המשוואה, ורק בסוף מציבים את $x$ בביטוי של $x$ . בדיקה: $\angle B = 96°$ , ו- $84 + 96 = 180$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 17

AB = 7

,

BC = 4

. הצלעות שמולן שוות להן.

במקבילית $ABCD$ נתון $AB = 7$ ס״מ ו- $BC = 4$ ס״מ. מה היקף המקבילית, בס״מ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 22

Corrigé :

\begin{aligned}DC &= AB \\ &= 7 \\ \quad AD &= BC \\ &= 4\end{aligned}

הצלעות הנגדיות במקבילית שוות

7 + 4 + 7 + 4 = 22

ההיקף: ארבע הצלעות

לא $7 + 4 = 11$ : למקבילית ארבע צלעות, וכל אורך מופיע פעמיים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 18

AO = 4.5

,

BD = 14

.

במקבילית $ABCD$ האלכסונים נחתכים בנקודה $O$ . נתון $O$ ס״מ ו- $BD = 14$ ס״מ. מה אורך האלכסון $AC$ , בס״מ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 9

Corrigé :

\begin{aligned}AO &= OC \\ &= 4.5\end{aligned}

האלכסונים במקבילית חוצים זה את זה

\begin{aligned}AC &= 2 \cdot 4.5 \\ &= 9\end{aligned}

שני החצאים

$BD = 14$ לא עוזר כאן: במקבילית האלכסונים אינם שווים, ולכן $AC$ אינו 14.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 19

מיינו: מה נכון בכל מקבילית $ABCD$ (האלכסונים נחתכים ב- $O$ ), ומה לא בהכרח?

בכל מקבילית
לא בהכרח

$\angle A + \angle B = 180^\circ$
$\angle A = \angle B$
$\angle A = \angle C$
$AB = BC$
$AB = DC$
$AC \perp BD$
$AC = BD$
$AO = OC$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $AB = DC$ — בכל מקבילית · $\angle A = \angle C$ — בכל מקבילית · $AO = OC$ — בכל מקבילית · $\angle A + \angle B = 180^\circ$ — בכל מקבילית · $AC = BD$ — לא בהכרח · $AC \perp BD$ — לא בהכרח · $\angle A = \angle B$ — לא בהכרח · $AB = BC$ — לא בהכרח

Corrigé :

\begin{aligned}AB &= DC \\ \ \angle A &= \angle C \\ \ AO &= OC\end{aligned}

שלוש התכונות שהחצי סיבוב מראה

\angle A + \angle B = 180^\circ

סמוכות משלימות

אלכסונים שווים: מלבן. אלכסונים מאונכים וצלעות סמוכות שוות: מעוין. במקבילית כללית — לא.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 20

\angle A = x

,

\angle B = 2x

.

במקבילית $ABCD$ נתון $\angle A = x$ ו- $\angle B = 2x$ . מה גודל $\angle B$ , במעלות?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 120

Corrigé :

x + 2x = 180^\circ

זוויות סמוכות במקבילית משלימות

\begin{aligned}3x &= 180^\circ \\ \quad x &= 60^\circ\end{aligned}

On résout

\begin{aligned}\angle B &= 2 \cdot 60^\circ \\ &= 120^\circ\end{aligned}

ומציבים

השאלה שואלת על $\angle B$ , לא על $x$ . התשובה 60 היא $\angle A$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 21

יש מקבילית $ABCD$ שבה $\angle A = 80^\circ$ וגם $\angle B = 80^\circ$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

\begin{aligned}\angle A + \angle B &= 80^\circ + 80^\circ \\ &= 160^\circ \neq 180^\circ\end{aligned}

סמוכות חייבות להשלים ל- $180^\circ$

לא נכון. $A$ ו- $B$ סמוכות, לא נגדיות. שתי סמוכות שוות רק כששתיהן $90^\circ$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 22

Complétez (השלימו)

במקבילית ABCD הזווית A היא 64 מעלות. הזווית B היא ____ מעלות, והזווית C היא ____ מעלות.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : במקבילית ABCD הזווית A היא 64 מעלות. הזווית B היא 116 מעלות, והזווית C היא 64 מעלות.

Corrigé :

\begin{aligned}\angle B &= 180^\circ - 64^\circ \\ &= 116^\circ\end{aligned}

סמוכות משלימות

\begin{aligned}\angle C &= \angle A \\ &= 64^\circ\end{aligned}

נגדיות שוות

$B$ סמוכה ל- $B$ , ו- $A$ מולה. שני כללים, ולא מערבבים.

Vérifier la réponse sur elev

Les mots de la leçon

מקבילית: makbilit parallélogramme
מרובע: meruba quadrilatère
צלע: tsela côté
נגדיות: negdiyot opposés (côtés, angles)
מקבילים: makbilim parallèles
הגדרה: hagdara définition
תכונה: tkhuna propriété
חצי: ḥetsi demi, moitié
סיבוב: sivuv rotation
נקודה: nekuda point
אלכסון: alakhson diagonale
שימו לב: simu lev attention, remarquez
מאונכים: me’unakhim perpendiculaires
מלבן: malben rectangle
מעוין: me’uyan losange
נחתכים: neḥtakhim se coupent
אורך: orekh longueur
נתונים: netunim données
נימוק: nimuk justification
מספר נגדי: mispar negdi opposé (d’un nombre)
זווית: zavit angle
סמוכות: smukhot consécutifs (côtés, angles)
זוויות משלימות: zaviyot mashlimot angles supplémentaires (ou complémentaires)
נתון: natun on donne ; donnée (hypothèse)
מעלה: ma’ala degré
נכון: nakhon vrai, juste
חוצה: ḥotse coupe en deux parts égales
הוכיחו: hokhiḥu démontrez
זוויות מתאימות: zaviyot matimot angles correspondants
משולש: meshulash triangle
חותך: khotekh coupe ; sécante
משולשים חופפים: meshulashim ḥoffim triangles isométriques
התאימו: hat’imu associez, reliez
טבלה: tavla tableau
מיינו: mayenu classez, triez
זוויות חד-צדדיות: zaviyot ḥad-tsdadiyot angles intérieurs du même côté
שגוי: shagui erroné, faux
מצאו: mits’u trouvez, déterminez
סכום: skhum somme
השלימו: hashlimu complétez
סדרו: sadru rangez, ordonnez
להציב: lehatsiv substituer / remplacer
משוואה: mishva’a équation
ביטוי אלגברי: bitui algebri expression algébrique
ס״מ (סנטימטר): sentimeter centimètre (cm)
היקף: hekef périmètre
בהכרח: be-hekhre’aḥ nécessairement
תשובה: tshuva réponse
לא נכון: lo nakhon faux

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elev Découvrir elev pour cette classe