Prouver que c’est un parallélogramme

Réponse : D חמש דרכים, ומספיקה אחת

Corrigé :

בוחרים את הדרך שהנתונים כבר מובילים אליה.

Réponse : A המרובע מקבילית

Corrigé :

שתי הצלעות האחרות נאלצות להיסגר במקביל — אין להן ברירה. זוג נגדי מקביל ושווה

Réponse : D לא

Corrigé :

זו בדיוק המלכודת: שני התנאים חייבים לחול על אותו זוג צלעות. התנאים חלים על זוגות שונים

Réponse : C המרובע מקבילית

Corrigé :

שימו לב ששני האלכסונים נחצים — אם רק אחד מהם נחצה, זה דלתון ולא מקבילית. האלכסונים חוצים זה את זה

Réponse : D שני זוגות של צלעות נגדיות שוות

Corrigé :

הדרך הנכונה היא זו שאפשר להגיע אליה בלי לייצר נתונים חדשים.

Réponse : B תכונה נובעת מכך שזו מקבילית; דרך הוכחה מובילה למסקנה שזו מקבילית

Corrigé :

המשפטים נשמעים כמעט זהים, אבל החץ הפוך. לכן חשוב לדעת באיזה כיוון עובדים.

1. $ABCD$ מקבילית — נתון
2. $AC$ ו-$BD$ אלכסונים הנחתכים ב-$O$ — נתון
3. $AB \parallel DC$ — במקבילית הצלעות הנגדיות מקבילות
4. $AB = DC$ — במקבילית הצלעות הנגדיות שוות
5. $\angle OAB = \angle OCD$ — זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות
6. $\angle OBA = \angle ODC$ — זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות
7. $\triangle AOB \cong \triangle COD$ — משפט חפיפה ז.צ.ז
8. $AO = OC$ — צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות

Corrigé :

אותו מהלך בדיוק נותן גם $BO = OD$ — ולכן האלכסונים חוצים זה את זה. זו התכונה שבה משתמשים הכי הרבה בהוכחות על מקבילית.

Réponse : 90

Corrigé :

שני כלים נפגשים: חפיפה דרך מרכז המקבילית (כל קטע העובר דרך $O$ נחצה בו), והמשפט על הצלע שמול $30^\circ$.

1. $ABCD$ מקבילית — נתון
2. $CN$ חוצה את $\angle BCD$ — נתון
3. $E$ על המשך $CD$ מעבר ל-$D$ — נתון
4. $DE = AD$ — נתון
5. $N$ על המשך $EA$ מעבר ל-$A$ — נתון
6. נסמן $\angle BCD = \gamma$ — סימון נוח — כל הזוויות ייכתבו באמצעותו
7. $\angle ADC = 180^\circ - \gamma$ — זוויות חד-צדדיות בין ישרים מקבילים משלימות ל-$180^\circ$
8. $\angle ADE = \gamma$ — זוויות צמודות משלימות ל-$180^\circ$
9. $\triangle ADE$ שווה-שוקיים — משולש שיש בו שתי צלעות שוות הוא שווה-שוקיים
10. $\angle DEA = \angle DAE$ — במשולש שווה-שוקיים זוויות הבסיס שוות
11. $\angle DEA = 90^\circ - \gamma/2$ — סכום הזוויות במשולש שווה $180^\circ$
12. $\angle NCE = \gamma/2$ — חוצה זווית מחלק אותה לשתי זוויות שוות
13. $\angle NEC = 90^\circ - \gamma/2$ — זו אותה זווית: $N$ על הקרן $EA$ ו-$C$ על הקרן $ED$
14. $\angle ENC = 90^\circ$ — סכום הזוויות במשולש שווה $180^\circ$

Corrigé :

הרגע היפה: לא יודעים כמה שווה $\gamma$ — ולא צריך. הוא מתבטל מעצמו, ולכן התוצאה נכונה לכל מקבילית.

1. $AB \parallel DC$ — נתון
2. $AB = DC$ — נתון
3. $\angle BAC = \angle DCA$ — זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות
4. $AC = AC$ — צלע משותפת לשני המשולשים
5. $\triangle ABC \cong \triangle CDA$ — משפט חפיפה צ.ז.צ
6. $BC = AD$ — צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות
7. $ABCD$ מקבילית — מרובע שבו שני זוגות הצלעות הנגדיות שווים הוא מקבילית

Corrigé :

זהו אחד ממשפטי ה«דרכים להוכיח מקבילית»: זוג צלעות נגדיות שהוא גם מקביל וגם שווה — מספיק. שים לב שצריך את שניהם.

1. $ABCD$ מקבילית — נתון
2. $E$ ו-$F$ על האלכסון $BD$ — נתון
3. $BE = DF$ — נתון
4. $AB = CD$ — במקבילית הצלעות הנגדיות שוות
5. $AB \parallel CD$ — במקבילית הצלעות הנגדיות מקבילות
6. $\angle ABE = \angle CDF$ — זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות (החותך $BD$)
7. $\triangle ABE \cong \triangle CDF$ — משפט חפיפה צ.ז.צ

Corrigé :

הזווית שבין שתי הצלעות היא הזווית שעל האלכסון — ולכן מגיעים אליה דרך המקבילות, לא דרך חפיפה.

1. $ABCD$ מקבילית — נתון
2. $E$ ו-$F$ על האלכסון $BD$ — נתון
3. $BE = DF$ — נתון
4. $\triangle ABE \cong \triangle CDF$ — הוכח בסעיף א
5. $AE = CF$ — צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות
6. $AD = CB$ — במקבילית הצלעות הנגדיות שוות
7. $AD \parallel CB$ — במקבילית הצלעות הנגדיות מקבילות
8. $\angle ADF = \angle CBE$ — זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות (החותך $BD$)
9. $\triangle ADF \cong \triangle CBE$ — משפט חפיפה צ.ז.צ
10. $AF = CE$ — צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות
11. מרובע $AECF$ הוא מקבילית — מרובע שבו שני זוגות הצלעות הנגדיות שווים הוא מקבילית

Corrigé :

סעיף א נתן זוג אחד; חפיפה שנייה, באותו מבנה, נותנת את הזוג השני.

Réponse : 110

Corrigé :

במקבילית, כל שתי זוויות סמוכות משלימות ל-$180°$, וכל שתי זוויות נגדיות שוות.

Réponse : $AB \parallel DC$ וגם $BC \parallel AD$ — מספיק · $AB = DC$ וגם $BC = AD$ — מספיק · $AB \parallel DC$ וגם $AB = DC$ — מספיק · $AO = OC$ וגם $BO = OD$ — מספיק · $AB \parallel DC$ וגם $BC = AD$ — לא מספיק · $AC = BD$ — לא מספיק · $AO = OC$ בלבד — לא מספיק

Corrigé :

ארבעת הנתונים הראשונים הם מחמש הדרכים להוכיח מקבילית. «מקביל בזוג אחד ושווה בזוג האחר» מתקיים גם בטרפז שווה שוקיים. אלכסונים שווים לבד מתקיימים גם בטרפז שווה שוקיים. ואם רק אלכסון אחד נחצה — זה יכול להיות דלתון.

Réponse : $ABCD \ \text{מקבילית} \ (\text{זוג צלעות נגדיות מקביל ושווה})$ → $ABCD \ \text{מקבילית} \ (\text{האלכסונים חוצים זה את זה})$

Corrigé :

המסקנה נכונה, אבל הנימוק לא: בנתונים אין שום מידע על הצלעות. הנתון מדבר על האלכסונים — ולכן הדרך המתאימה היא החמישית: מרובע שאלכסוניו חוצים זה את זה הוא מקבילית.

Réponse : במרובע $ABCD$ האלכסונים נחתכים בנקודה $O$. נתון $AO = 2x + 1$, $OC = 11$, $BO = 3y - 2$ ו-$OD = 10$. כדי שהאלכסונים יחצו זה את זה, וכך $ABCD$ יהיה מקבילית, צריך $x =$ 5 ו-$y =$ 4.

Corrigé :

האלכסונים חוצים זה את זה כש-$O$ אמצע של שניהם: $AO = OC$ וגם $BO = OD$.

Réponse : $AB \parallel DC$ וגם $AD \parallel BC$ — מספיק · $AB = DC$ וגם $AD = BC$ — מספיק · $AB \parallel DC$ וגם $AB = DC$ — מספיק · $AO = OC$ וגם $BO = OD$ — מספיק · $AB \parallel DC$ וגם $AD = BC$ — לא מספיק · $AO = OC$ בלבד — לא מספיק · $AB = DC$ בלבד — לא מספיק

Corrigé :

כל דרך היא שני נתונים. ובדרך השלישית, שניהם על אותו זוג.

Réponse : 4

Corrigé :

$BO = OD$ לבד לא מספיק: צריך ששני האלכסונים ייחצו.

Réponse : $AB = DC ,\quad AD = BC$ — שני זוגות צלעות נגדיות שוות · $AO = OC ,\quad BO = OD$ — האלכסונים חוצים זה את זה · $AB \parallel DC ,\quad AB = DC$ — זוג אחד, מקביל וגם שווה · $\angle A = \angle C ,\quad \angle B = \angle D$ — שני זוגות זוויות נגדיות שוות

Corrigé :

כל נתון מדבר בשפה של דרך אחת. הדרך הקצרה היא זו שהנתונים כבר מובילים אליה.

Réponse : Faux

Corrigé :

לא נכון. שני התנאים של הדרך השלישית חייבים לחול על אותו זוג.

Réponse : Vrai

Corrigé :

נכון. זוג מקבילים אחד וזוג זוויות נגדיות אחד מספיקים: הזוג השני של הזוויות נובע מהם.