La méthode par substitution

Sur elev, cette leçon vient avec une vidéo, des exercices corrigés sur le moment et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev
Voir la vidéo de la leçon

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

מערכת של ישר ופרבולה — כמה פתרונות ייתכנו?

Voir la réponse et le corrigé

0, 1 או 2 — כמספר נקודות החיתוך שראיתם בגרף. ולא יותר: ישר לא חותך פרבולה שלוש פעמים.

מהגרף לאלגברה

כשאף נעלם לא מבודד

ארבעה צעדים

11

מבודדים נעלם אחד מהמשוואה הפשוטה יותר — זו מהמעלה הראשונה.

22

מציבים אותו במשוואה השנייה. מקבלים משוואה ריבועית בנעלם אחד.

33

פותרים אותה — טרינום או נוסחת השורשים.

44

חוזרים למשוואה שבודדנו ומוצאים את הנעלם השני, לכל פתרון בנפרד.

פותרים את החידה

Exercices

Exercice 1

מהו אחד מפתרונות המערכת?

{x2+y2=253x+y=9\begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ 3x + y = 9 \end{cases}
  1. (3, 4)(3,\, 4)
  2. (4, 3)(4,\, 3)
  3. (4, −3)(4,\, -3)
  4. (−4, 3)(-4,\, 3)
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C (4, −3)(4,\, -3)

Corrigé :

y=9−3xy = 9 - 3x

מבודדים

x2+(9−3x)2=25x^2 + (9-3x)^2 = 25

מציבים

5x2−27x+28=0⇒x=4\begin{aligned}5x^2 - 27x + 28 &= 0 \Rightarrow x \\ &= 4\end{aligned}

On résout

y=9−12=−3\begin{aligned}y &= 9 - 12 \\ &= -3\end{aligned}

וחוזרים ל-y

הפתרון השני הוא (1.4, 4.8)(1.4,\ 4.8). תמיד יש לבדוק את שניהם.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

מהו הפתרון של המערכת?

{4y+x=04y2+x2=5\begin{cases} 4y + x = 0 \\ 4y^2 + x^2 = 5 \end{cases}
  1. (−2, 0.5) et (2, −0.5)(-2,\, 0.5) \text{ et } (2,\, -0.5)
  2. (1, 1)(1,\, 1)
  3. (2, 0.5)(2,\, 0.5)
  4. pas de solution\text{pas de solution}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A (−2, 0.5) et (2, −0.5)(-2,\, 0.5) \text{ et } (2,\, -0.5)

Corrigé :

x=−4yx = -4y

מבודדים מהמשוואה הפשוטה

4y2+16y2=54y^2 + 16y^2 = 5

מציבים

20y2=5⇒y=±0.5\begin{aligned}20y^2 &= 5 \Rightarrow y \\ &= \pm 0.5\end{aligned}

ופותרים

x=∓2x = \mp 2

ולכל y מחשבים את ה-x שלו

שני זוגות, ובכל זוג הסימנים הפוכים — כי x=−4yx = -4y.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

חידה. שני מספרים חיוביים: הסכום שלהם 7, וסכום הריבועים שלהם 25. מהו המספר הגדול? נסו לנחש!

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

3+4=7    32+42=9+16=25\begin{aligned}3 + 4 &= 7 \; \\ \; 3^2 + 4^2 &= 9 + 16 \\ &= 25\end{aligned}

המספרים הם 3 ו-4

ניחשתם? יפה. אבל כשהתשובה היא 1.4 ו-4.8, ניחוש לא יעבוד — בסוף היחידה תפתרו את החידה בלי לנחש.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

איזו שיטה מתאימה למערכת שבה משוואה אחת ריבועית?

  1. שיטת ההצבה
  2. חיבור שתי המשוואות
  3. אין שיטה
  4. שיטת השוואת מקדמים
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A שיטת ההצבה

Corrigé :

y=…⇒מציביםy = \ldots \Rightarrow \text{מציבים}

מבודדים מהפשוטה

ההצבה עובדת תמיד. השוואת מקדמים מצליחה רק כשהריבועים מתבטלים — וזה מקרה מיוחד, לא שיטה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

פתרו את המערכת:

{x+y=0y2+x2=8\begin{cases} x + y = 0 \\ y^2 + x^2 = 8 \end{cases}
  1. (2, 2)(2,\, 2) ו-(−2, −2)(-2,\, -2)
  2. (−2, 2)(-2,\, 2) ו-(2, −2)(2,\, -2)
  3. (4, −4)(4,\, -4) בלבד
  4. אין פתרון
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B (−2, 2)(-2,\, 2) ו-(2, −2)(2,\, -2)

Corrigé :

x=−yx = -y

מבודדים מהפשוטה

y2+y2=8⇒y2=4\begin{aligned}y^2 + y^2 &= 8 \Rightarrow y^2 \\ &= 4\end{aligned}

On remplace (מציבים)

y=±2y = \pm 2

שני פתרונות

(−2, 2) , (2, −2)(-2,\, 2) \ , \ (2,\, -2)

וחוזרים ל-x

שימו לב לזוגות: כל yy עם ה-xx שלו, לא מעורבב.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

פתרו את המערכת:

{x−2y=0x2+y2=20\begin{cases} x - 2y = 0 \\ x^2 + y^2 = 20 \end{cases}
  1. (4, 2)(4,\, 2) ו-(−4, −2)(-4,\, -2)
  2. (2, 4)(2,\, 4) ו-(−2, −4)(-2,\, -4)
  3. (2, 1)(2,\, 1) בלבד
  4. (4, −2)(4,\, -2) ו-(−4, 2)(-4,\, 2)
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A (4, 2)(4,\, 2) ו-(−4, −2)(-4,\, -2)

Corrigé :

x=2yx = 2y

מבודדים

4y2+y2=20⇒5y2=20\begin{aligned}4y^2 + y^2 &= 20 \Rightarrow 5y^2 \\ &= 20\end{aligned}

מציבים — הריבוע חל גם על ה-2

y=±2y = \pm 2
(4, 2) , (−4, −2)(4,\, 2) \ , \ (-4,\, -2)

x = 2y

(2y)2=4y2(2y)^2 = 4y^2 ולא 2y22y^2 — זו הטעות שהתרגיל בודק.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

פתרו את המערכת:

{x+y=7x2+y2=25\begin{cases} x + y = 7 \\ x^2 + y^2 = 25 \end{cases}
  1. אין פתרון
  2. (5, 2)(5,\, 2) ו-(2, 5)(2,\, 5)
  3. (7, 0)(7,\, 0) ו-(0, 7)(0,\, 7)
  4. (3, 4)(3,\, 4) ו-(4, 3)(4,\, 3)
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D (3, 4)(3,\, 4) ו-(4, 3)(4,\, 3)

Corrigé :

y=7−xy = 7 - x

מבודדים

x2+(7−x)2=25x^2 + (7-x)^2 = 25

מציבים בסוגריים

2x2−14x+24=0⇒x2−7x+12=0\begin{aligned}2x^2 - 14x + 24 &= 0 \Rightarrow x^2 - 7x + 12 \\ &= 0\end{aligned}

מכנסים ומחלקים ב-2

(x−3)(x−4)=0(x-3)(x-4) = 0

טרינום

המערכת סימטרית ב-xx וב-yy — ולכן שני הזוגות הם אותם מספרים בסדר הפוך.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

איך נראית התשובה הסופית של מערכת משוואות?

  1. ערך של yy בלבד
  2. ערך של xx בלבד
  3. מספר יחיד
  4. זוג סדור (x, y)(x,\, y) — או כמה זוגות
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D זוג סדור (x, y)(x,\, y) — או כמה זוגות

Corrigé :

(x, y)(x,\, y)

נקודה במישור

הפתרון הוא נקודת מפגש של שני גרפים — ולנקודה יש שתי קואורדינטות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

המערכת y=x2y = x^2 ו-y=4y = 4: כמה פתרונות?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

x=±2x = \pm 2

ישר אופקי מעל הקודקוד חותך את הפרבולה בשתי נקודות סימטריות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

המערכת y=x2−2xy = x^2 - 2x ו-y=3y = 3: מהו הפתרון החיובי הגדול?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

x2−2x−3=0x^2 - 2x - 3 = 0
(x−3)(x+1)=0(x-3)(x+1) = 0

משווים, מסדרים לאפס, ומפרקים. שני פתרונות — בוחרים לפי השאלה.

Vérifier la réponse sur elev

Découvrir

Exercice 11

פתרו את המערכת: y=x2+2x−3y = x^2 + 2x - 3 וגם y=x+3y = x + 3. מהו שיעור ה-xx הגדול מבין הפתרונות?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

x2+2x−3=x+3x^2 + 2x - 3 = x + 3

משווים — שני הביטויים הם אותו yy

x2+x−6=0x^2 + x - 6 = 0
(x+3)(x−2)=0(x+3)(x-2) = 0
x=2 או x=−3\begin{aligned}x &= 2 \ \text{או} \ x \\ &= -3\end{aligned}
Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

ומהו שיעור ה-yy של נקודת החיתוך שבה x=2x = 2?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5

Corrigé :

y=2+3=5\begin{aligned}y &= 2 + 3 \\ &= 5\end{aligned}

מציבים בישר — הקל מבין השניים

Vérifier la réponse sur elev

להתאמן

Exercice 13

פתרו: 5x2−3y2=85x^2 - 3y^2 = 8 וגם x=yx = y. מהו הפתרון החיובי של xx?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

5x2−3x2=85x^2 - 3x^2 = 8

מציבים y=xy=x

2x2=82x^2 = 8
x=±2x = \pm 2
Vérifier la réponse sur elev

לשחק ולבדוק

Exercice 14

סדרו את שלבי הפתרון של מערכת ישר-פרבולה

  • מסדרים למשוואה ריבועית שווה לאפס
  • מציבים כל xx חזרה ומוצאים את ה-yy שלו
  • משווים בין שני הביטויים של yy
  • פותרים — בפירוק או בנוסחה
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : משווים בין שני הביטויים של yy · מסדרים למשוואה ריבועית שווה לאפס · פותרים — בפירוק או בנוסחה · מציבים כל xx חזרה ומוצאים את ה-yy שלו

Corrigé :

כל xx מקבל את ה-yy שלו — נקודת חיתוך היא זוג, לא מספר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 15

המערכת y=3x2−2xy = 3x^2 - 2x וגם y=2−xy = 2 - x

המשוואה: 3x2−x−3x^2 - x - ____ =0= 0 , והפתרון השלם הוא x=x = ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : המשוואה: 3x2−x−3x^2 - x - 2 =0= 0 , והפתרון השלם הוא x=x = 1

Corrigé :

3x2−2x=2−x3x^2 - 2x = 2 - x
3x2−x−2=03x^2 - x - 2 = 0
(3x+2)(x−1)=0(3x+2)(x-1) = 0
x=1 או x=−23\begin{aligned}x &= 1 \ \text{או} \ x \\ &= -\frac{2}{3}\end{aligned}

כל מערכת ישר-פרבולה מגיעה לאותו מקום: משוואה ריבועית אחת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 16

Une ligne est fausse (שגויה) — trouvez-la (מצאו)

x=−4yx = -4y
4y2+(−4y)2=54y^2 + (-4y)^2 = 5
4y2−16y2=54y^2 - 16y^2 = 5
−12y2=5-12y^2 = 5
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4y2−16y2=54y^2 - 16y^2 = 5 → 4y2+16y2=54y^2 + 16y^2 = 5

Corrigé :

(−4y)2=16y2(-4y)^2 = 16y^2

הריבוע חל גם על המינוס

(−4y)2(-4y)^2 חיובי. מכאן הכול התגלגל: ל-−12y2=5-12y^2 = 5 אין פתרון בכלל.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 17

התאימו כל מערכת למספר הפתרונות שלה

  • y=x2y = x^2 וגם y=4y = 4
  • y=x2y = x^2 וגם y=0y = 0
  • y=x2y = x^2 וגם y=−1y = -1
  • אין פתרון
  • זוג אחד
  • שני זוגות
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : y=x2y = x^2 וגם y=4y = 4 — שני זוגות · y=x2y = x^2 וגם y=0y = 0 — זוג אחד · y=x2y = x^2 וגם y=−1y = -1 — אין פתרון

Corrigé :

x2=4    x2=0    x2=−1\begin{aligned}x^2 &= 4 \; \\ \; x^2 &= 0 \; \\ \; x^2 &= -1\end{aligned}

משווים בכל מערכת

ריבוע אינו שלילי: ל-x2=−1x^2 = -1 אין פתרון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 18

המערכת y=x2y = x^2 וגם y=2x+3y = 2x + 3 נותנת x=3x = 3 או x=−1x = -1. השלימו את ה-yy של כל xx: פעם מהישר, ופעם מהפרבולה.

xxyy מהישר 2x+32x + 3yy מהפרבולה x2x^2
33________
−1-1________
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 33: 9, 9 · −1-1: 1, 1

Corrigé :

x=3  ⇒  y=2⋅3+3=9=32\begin{aligned}x &= 3 \;\Rightarrow\; y \\ &= 2 \cdot 3 + 3 \\ &= 9 \\ &= 3^2\end{aligned}

שתי המשוואות נותנות 9

x=−1  ⇒  y=2⋅(−1)+3=1=(−1)2\begin{aligned}x &= -1 \;\Rightarrow\; y \\ &= 2 \cdot (-1) + 3 \\ &= 1 \\ &= (-1)^2\end{aligned}

שתי המשוואות נותנות 1

כל xx מקבל את ה-yy שלו, והוא יוצא שווה בשתי המשוואות: זו הבדיקה. הזוגות: (3, 9)(3,\, 9) ו-(−1, 1)(-1,\, 1).

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 19

פתרונות המערכת y=x2y = x^2 וגם y=x+2y = x + 2 הם x=2x = 2 או x=−1x = -1. לכן הזוג (2, 1)(2,\, 1) הוא פתרון שלה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

x=2  ⇒  y=2+2=4\begin{aligned}x &= 2 \;\Rightarrow\; y \\ &= 2 + 2 \\ &= 4\end{aligned}

ה-yy של x=2x = 2 הוא 4, לא 1

1≠221 \neq 2^2

הזוג (2, 1)(2,\, 1) לא מקיים את y=x2y = x^2

זה זוג מעורבב: ה-xx של נקודה אחת וה-yy של הנקודה השנייה. הפתרונות הם (2, 4)(2,\, 4) ו-(−1, 1)(-1,\, 1).

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 20

מאיזו משוואה כדאי לבודד נעלם? מיינו כל מערכת.

  • מהראשונה
  • מהשנייה
  • 2x+y=52x + y = 5 וגם y2−x2=3y^2 - x^2 = 3
  • x2−3y2=1x^2 - 3y^2 = 1 וגם x=2y+1x = 2y + 1
  • x2+y2=10x^2 + y^2 = 10 וגם x−y=2x - y = 2
  • y=3−xy = 3 - x וגם x2+xy=6x^2 + xy = 6
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x2+y2=10x^2 + y^2 = 10 וגם x−y=2x - y = 2 — מהשנייה · y=3−xy = 3 - x וגם x2+xy=6x^2 + xy = 6 — מהראשונה · 2x+y=52x + y = 5 וגם y2−x2=3y^2 - x^2 = 3 — מהראשונה · x2−3y2=1x^2 - 3y^2 = 1 וגם x=2y+1x = 2y + 1 — מהשנייה

Corrigé :

x−y=2  ⇒  x=y+2\begin{aligned}x - y &= 2 \;\Rightarrow\; x \\ &= y + 2\end{aligned}

מבודדים מהמשוואה שאין בה ריבועים

מבודדים תמיד מהמשוואה הפשוטה, זו מהמעלה הראשונה. מהריבועית היה יוצא שורש עם שני סימנים.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe