Cas particuliers

Sur elev, cette leçon vient avec une vidéo, des exercices corrigés sur le moment et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev
Voir la vidéo de la leçon

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

כששתי המשוואות ריבועיות

אם שתיהן בצורת y=…y = \ldots, אין מה לבודד — משווים ביניהן ישירות, בדיוק כמו בנקודת חיתוך בין שני ישרים.

פתרו: y=x2+1y = x^2 + 1 וגם y=x2+2x−3y = x^2 + 2x - 3. מה קורה לאיבר x2x^2?

Voir la réponse et le corrigé

משווים: x2+1=x2+2x−3x^2 + 1 = x^2 + 2x - 3.

האיבר x2x^2 מתבטל, ונשאר 1=2x−31 = 2x - 3. כלומר x=2x = 2, ונקודה אחת בלבד: (2, 5)(2,\ 5).

כשהאיבר x2x^2 מתבטל, יש לכל היותר נקודת חיתוך אחת.

כשיש מכפלה

בסוף כל מערכת — מציבים את הזוג בחזרה בשתי המשוואות. זו הבדיקה היחידה שתופסת גם טעות אלגברית וגם זוג מעורבב.

בדרך: משוואה ריבועית חסרה

קיבלתם משוואה ריבועית בלי איבר חופשי, כמו x2−5x=0x^2 - 5x = 0. איך פותרים הכי מהר?

Voir la réponse et le corrigé

גורם משותף: x(x−5)=0x(x - 5) = 0, ולכן x=0x = 0 או x=5x = 5. בלי נוסחה.

x2−5x=0  ⇒  x(x−5)=0\begin{aligned}x^2 - 5x &= 0 \;\Rightarrow\; x(x - 5) \\ &= 0\end{aligned}

אין איבר חופשי: מוציאים גורם משותף. x=0x = 0 או x=5x = 5.

3x2=27  ⇒  x2=9  ⇒  x=±3\begin{aligned}3x^2 &= 27 \;\Rightarrow\; x^2 \\ &= 9 \;\Rightarrow\; x \\ &= \pm 3\end{aligned}

אין איבר עם xx: מבודדים את x2x^2, ואז שורש — עם שני סימנים. אם x2x^2 יוצא שלילי, אין פתרון.

Exercices

Exercice 1

מהם שיעורי ה-xx של פתרונות המערכת?

{y=x2+3x+8y=2x2+8x+2\begin{cases} y = x^2 + 3x + 8 \\ y = 2x^2 + 8x + 2 \end{cases}
  1. x=2 ou x=3x = 2 \text{ ou } x = 3
  2. x=6 ou x=−1x = 6 \text{ ou } x = -1
  3. x=−6 ou x=1x = -6 \text{ ou } x = 1
  4. pas de solution\text{pas de solution}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C x=−6 ou x=1x = -6 \text{ ou } x = 1

Corrigé :

x2+3x+8=2x2+8x+2x^2 + 3x + 8 = 2x^2 + 8x + 2

משווים בין שני ה-y

0=x2+5x−60 = x^2 + 5x - 6

מעבירים לאגף אחד

(x+6)(x−1)=0(x+6)(x-1) = 0

טרינום: מכפלה 6−, סכום 5

הזוגות המלאים: (−6, 26)(-6,\ 26) ו-(1, 12)(1,\ 12).

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

מהו אחד מפתרונות המערכת?

{xy=9(x+1)(y−3)=12\begin{cases} xy = 9 \\ (x + 1)(y - 3) = 12 \end{cases}
  1. (1, 9)(1,\, 9)
  2. (3, 3)(3,\, 3)
  3. (9, 1)(9,\, 1)
  4. (−1, −9)(-1,\, -9)
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A (1, 9)(1,\, 9)

Corrigé :

y=9x x≠0\begin{aligned}y &= \frac{9}{x} \\ \ x \neq 0\end{aligned}

מבודדים עם תחום הגדרה

x2+2x−3=0x^2 + 2x - 3 = 0

אחרי הצבה, פתיחה וכפל ב-x

(x+3)(x−1)=0(x+3)(x-1) = 0

טרינום

הפתרון השני הוא (−3, −3)(-3,\ -3).

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

במערכת שבה שתי המשוואות בצורת y=…y = \ldots, מה עושים?

  1. מחברים את המשוואות
  2. מבודדים xx מהראשונה
  3. משווים בין שני הביטויים
  4. מחלקים אחת בשנייה
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C משווים בין שני הביטויים

Corrigé :

y=y⇒משוויםy = y \Rightarrow \text{משווים}

אותה נקודה, אותו y

בדיוק כמו נקודת חיתוך בין שני ישרים — רק שהתוצאה ריבועית.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

כמה נקודות חיתוך יש בין y=x2−4x+4y = x^2 - 4x + 4 ל-y=−x2+4x−4y = -x^2 + 4x - 4?

  1. אף לא אחת
  2. אינסוף
  3. שתיים
  4. אחת בדיוק
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D אחת בדיוק

Corrigé :

2x2−8x+8=02x^2 - 8x + 8 = 0
x2−4x+4=0x^2 - 4x + 4 = 0
(x−2)2=0(x-2)^2 = 0

שורש כפול

x=2x = 2

נקודת השקה

שורש כפול = הפרבולות משיקות: נוגעות בנקודה אחת ונפרדות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

ממערכת קיבלנו x=2x = 2 ו-x=−5x = -5. כמה זוגות פתרון יש?

  1. תלוי בסימן
  2. שניים
  3. אחד
  4. ארבעה
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B שניים

Corrigé :

x=2⇒y1    x=−5⇒y2\begin{aligned}x &= 2 \Rightarrow y_1 \; \\ \; x &= -5 \Rightarrow y_2\end{aligned}

כל x מוליד את ה-y שלו

שתי נקודות חיתוך בין שני הגרפים. אחד לכל ערך של xx

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

איך בודקים שהפתרון נכון?

  1. מציבים את הזוג בשתי המשוואות
  2. בודקים שהתוצאה חיובית
  3. מציבים רק בראשונה
  4. אין דרך לבדוק
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A מציבים את הזוג בשתי המשוואות

Corrigé :

(x0, y0)∈שתי המשוואות(x_0,\, y_0) \in \text{שתי המשוואות}

הנקודה חייבת לקיים את שתיהן

זו גם הבדיקה שתופסת זוגות מעורבבים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

פתרו את המערכת (מכפלה — פותחים סוגריים לפני שמציבים):

{xy=12(x+1)(y−1)=12\begin{cases} xy = 12 \\ (x+1)(y-1) = 12 \end{cases}
  1. (3, 4)(3,\, 4) ו-(−4, −3)(-4,\, -3)
  2. (12, 1)(12,\, 1) בלבד
  3. (2, 6)(2,\, 6) ו-(6, 2)(6,\, 2)
  4. (4, 3)(4,\, 3) ו-(−3, −4)(-3,\, -4)
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A (3, 4)(3,\, 4) ו-(−4, −3)(-4,\, -3)

Corrigé :

xy−x+y−1=12xy - x + y - 1 = 12

פותחים סוגריים

12−x+y−1=1212 - x + y - 1 = 12

ומשתמשים ב-xy=12xy = 12 הנתון

y−x=1⇒y=x+1\begin{aligned}y - x &= 1 \Rightarrow y \\ &= x + 1\end{aligned}

נשארה משוואה פשוטה!

x(x+1)=12⇒x2+x−12=0\begin{aligned}x(x+1) &= 12 \Rightarrow x^2 + x - 12 \\ &= 0\end{aligned}

מציבים בראשונה

(x+4)(x−3)=0(x+4)(x-3) = 0

x = 3 או x = −4

הטריק של הדוגמה: פותחים סוגריים, וה-xyxy כבר נתון — המערכת מתקפלת למשוואה פשוטה. בדיקה: (−4+1)(−3−1)=12(-4+1)(-3-1) = 12 ✓

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

פתרו: x2=8xx^2 = 8x — כתבו את הפתרון שאינו אפס.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 8

Corrigé :

x(x−8)=0x(x - 8) = 0

אסור לחלק ב-x — מאבדים את הפתרון אפס

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

פתרו: x2−100=0x^2 - 100 = 0 — הפתרון החיובי?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 10

Corrigé :

x2=100x^2 = 100

שורש נותן שני פתרונות. השאלה מבקשת את החיובי — אבל השלילי קיים גם הוא.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

פתרו: 3x2=273x^2 = 27 — הפתרון החיובי?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

x2=9x^2 = 9

קודם מחלקים במקדם כדי לבודד את x2x^2, ורק אז מוציאים שורש.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

כמה פתרונות ל-x2+16=0x^2 + 16 = 0?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0

Corrigé :

x2=−16x^2 = -16

ריבוע לא שלילי

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

פתרו: (x−4)2=0(x-4)^2 = 0

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

x=4x = 4

פתרון יחיד — כפול

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 13

Une ligne est fausse (שגויה) — trouvez-la (מצאו)

x2=8xx^2 = 8x
x2x=8xx\frac{x^2}{x} = \frac{8x}{x}
x=8x = 8
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x2x=8xx\frac{x^2}{x} = \frac{8x}{x} → x2−8x=0  ⇒  x(x−8)=0x^2 - 8x = 0 \;\Rightarrow\; x(x - 8) = 0

Corrigé :

x(x−8)=0  ⇒  x=0  או  x=8\begin{aligned}x(x - 8) &= 0 \;\Rightarrow\; x \\ &= 0 \;\text{או}\; x \\ &= 8\end{aligned}

גורם משותף, בלי לחלק

מי שמחלק ב-xx מאבד את הפתרון x=0x = 0.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 14

פתרו את המערכת y=x2+4xy = x^2 + 4x וגם y=x2+2x+6y = x^2 + 2x + 6. מהו שיעור ה-yy של נקודת החיתוך?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 21

Corrigé :

x2+4x=x2+2x+6x^2 + 4x = x^2 + 2x + 6

משווים בין שני ה-yy

2x=6  ⇒  x=3\begin{aligned}2x &= 6 \;\Rightarrow\; x \\ &= 3\end{aligned}

ה-x2x^2 מתבטל, ונשארת משוואה פשוטה

y=32+4⋅3=21\begin{aligned}y &= 3^2 + 4 \cdot 3 \\ &= 21\end{aligned}

מציבים באחת המשוואות

כשה-x2x^2 מתבטל יש נקודה אחת בלבד: (3, 21)(3,\, 21). בדיקה בשנייה: 9+6+6=219 + 6 + 6 = 21.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 15

למערכת y=x2+1y = x^2 + 1 וגם y=x2+5y = x^2 + 5 אין אף פתרון.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

x2+1=x2+5x^2 + 1 = x^2 + 5

משווים

1=51 = 5

ה-x2x^2 מתבטל, ונשאר שוויון שקר

שתי פרבולות זהות, אחת מוזזת 4 יחידות מעל השנייה: הן לא נפגשות. כשה-x2x^2 מתבטל יש לכל היותר נקודה אחת, ולפעמים אף לא אחת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 16

המערכת y=x2−2x+5y = x^2 - 2x + 5 וגם y=3x2+4x−3y = 3x^2 + 4x - 3. משווים ומעבירים הכול לאגף ימין, ומקבלים 0=2x2+bx+c0 = 2x^2 + bx + c.

b=b = ____ ; c=c = ____ ; הפתרון החיובי: x=x = ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : b=b = 6 ; c=c = -8 ; הפתרון החיובי: x=x = 1

Corrigé :

x2−2x+5=3x2+4x−3x^2 - 2x + 5 = 3x^2 + 4x - 3

משווים

0=2x2+6x−80 = 2x^2 + 6x - 8

−2x-2x עובר כ-+2x+2x, ו-+5+5 עובר כ-−5-5

x2+3x−4=0  ⇒  (x+4)(x−1)=0\begin{aligned}x^2 + 3x - 4 &= 0 \;\Rightarrow\; (x + 4)(x - 1) \\ &= 0\end{aligned}

מחלקים ב-2 ומפרקים

איבר שעובר לאגף השני מחליף סימן: 4x−(−2x)=6x4x - (-2x) = 6x, ו-−3−5=−8-3 - 5 = -8. הפתרונות: x=1x = 1 או x=−4x = -4.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 17

פתרו את המערכת xy=6xy = 6 וגם (x−1)(y+1)=6(x - 1)(y + 1) = 6. בפתרון שבו xx חיובי — מהו yy?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

xy+x−y−1=6xy + x - y - 1 = 6

פותחים את הסוגריים

6+x−y−1=6  ⇒  y=x−1\begin{aligned}6 + x - y - 1 &= 6 \;\Rightarrow\; y \\ &= x - 1\end{aligned}

מציבים xy=6xy = 6 ונשארת משוואה פשוטה

x(x−1)=6  ⇒  x2−x−6=0\begin{aligned}x(x - 1) &= 6 \;\Rightarrow\; x^2 - x - 6 \\ &= 0\end{aligned}

מציבים ב-xy=6xy = 6

(x−3)(x+2)=0(x - 3)(x + 2) = 0

x=3x = 3 או x=−2x = -2

x=3  ⇒  y=3−1=2\begin{aligned}x &= 3 \;\Rightarrow\; y \\ &= 3 - 1 \\ &= 2\end{aligned}

חוזרים ל-y=x−1y = x - 1

הפתרונות: (3, 2)(3,\, 2) ו-(−2, −3)(-2,\, -3). בדיקה: (3−1)(2+1)=6(3 - 1)(2 + 1) = 6.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe