Les propriétés du rectangle

Sur elev, cette leçon vient avec une vidéo, des exercices corrigés sur le moment et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev
Voir la vidéo de la leçon

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

מלבן הוא מרובע שכל זוויותיו ישרות.

הוא גם מקבילית. לכן כל תכונות המקבילית נכונות בו, ועוד שתיים משלו.

באיזו זווית המקבילית הפכה למלבן? ומה קרה אז לאלכסונים?

Voir la réponse et le corrigé

ב-90°90°. ואז שני האלכסונים שווים. בכל זווית אחרת, אלכסון אחד ארוך מהשני.

התכונות

במלבן האלכסונים שווים. אבל הם עדיין לא מאונכים: אלכסונים מאונכים הם תכונה של מעוין.

עודף תכונות שנדבקות למלבן בטעות.

AC⊥BDAC \perp BD
AC=BDAC = BD

במלבן האלכסונים שווים אבל אינם מאונכים — אלא אם המלבן הוא גם ריבוע.

מה מוסיף המלבן על המקבילית?

Voir la réponse et le corrigé

זוויות ישרות — וכתוצאה מזה אלכסונים שווים. השוויון הזה הוא סימן ההיכר.

ארבעה חצאים שווים

האלכסונים חוצים זה את זה, וגם שווים זה לזה. לכן ארבעת החצאים שווים:

AO=BO=CO=DO\begin{aligned}AO &= BO \\ &= CO \\ &= DO\end{aligned}

לכן כל אחד מארבעת המשולשים סביב OO, כמו △AOB\triangle AOB, הוא שווה-שוקיים.

אלכסון המלבן 14 ס״מ. מה המרחק מ-OO לכל קודקוד?

Voir la réponse et le corrigé

7 ס״מ. חצי אלכסון — ואותו מרחק לכל ארבעת הקודקודים.

אורך האלכסון

האלכסון חוצה את המלבן לשני משולשים ישרי-זווית. את אורכו מוצאים במשפט פיתגורס:

AC2=AB2+BC2AC^2 = AB^2 + BC^2

צלעות המלבן 8 ו-15. מה אורך האלכסון?

Voir la réponse et le corrigé

17. 82+152=64+225=2898^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289, ו-289=17\sqrt{289} = 17.

Exercices

Exercice 1

במלבן שצלעותיו 6 ס״מ ו-8 ס״מ, מה אורך האלכסון? (השתמשו במשפט פיתגורס)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 10

Corrigé :

AC2=62+82=100\begin{aligned}AC^2 &= 6^2 + 8^2 \\ &= 100\end{aligned}

הזווית ישרה, ולכן פיתגורס

AC=10AC = 10

ומוציאים שורש

שני האלכסונים שווים, ולכן זה אורך שניהם.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

במלבן שצלעותיו 5 ס״מ ו-12 ס״מ, מה אורך האלכסון? (השתמשו במשפט פיתגורס)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 13

Corrigé :

AC2=52+122=169\begin{aligned}AC^2 &= 5^2 + 12^2 \\ &= 169\end{aligned}

הזווית ישרה, ולכן פיתגורס

AC=13AC = 13

ומוציאים שורש

שני האלכסונים שווים, ולכן זה אורך שניהם.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

במלבן שצלעותיו 9 ס״מ ו-12 ס״מ, מה אורך האלכסון? (השתמשו במשפט פיתגורס)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 15

Corrigé :

AC2=92+122=225\begin{aligned}AC^2 &= 9^2 + 12^2 \\ &= 225\end{aligned}

הזווית ישרה, ולכן פיתגורס

AC=15AC = 15

ומוציאים שורש

שני האלכסונים שווים, ולכן זה אורך שניהם.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

במלבן שצלעותיו 3 ס״מ ו-4 ס״מ, מה אורך האלכסון? (השתמשו במשפט פיתגורס)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5

Corrigé :

AC2=32+42=25\begin{aligned}AC^2 &= 3^2 + 4^2 \\ &= 25\end{aligned}

הזווית ישרה, ולכן פיתגורס

AC=5AC = 5

ומוציאים שורש

שני האלכסונים שווים, ולכן זה אורך שניהם.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

איזו תכונה מבדילה מלבן ממקבילית כללית?

  1. האלכסונים שווים זה לזה
  2. הזוויות הנגדיות שוות
  3. הצלעות הנגדיות שוות
  4. האלכסונים חוצים זה את זה
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A האלכסונים שווים זה לזה

Corrigé :

AC=BDAC = BD

רק במלבן

שלוש התשובות האחרות נכונות בכל מקבילית — הן לא מבדילות בין השתיים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

האם האלכסונים במלבן מאונכים זה לזה?

  1. כן, תמיד
  2. רק אם הוא ארוך מאוד
  3. לא, אלא אם המלבן הוא גם ריבוע
  4. לא, אף פעם
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C לא, אלא אם המלבן הוא גם ריבוע

Corrigé :

AC⊥BD⇔ריבועAC \perp BD \Leftrightarrow \text{ריבוע}

אנכיות שייכת למעוין

במלבן רגיל האלכסונים שווים, אבל נפגשים בזווית שאינה ישרה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

במלבן אלכסון 13 וצלע 5. מהי הצלע השנייה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 12

Corrigé :

132−52=14413^2 - 5^2 = 144

פיתגורס — האלכסון יוצר משולש ישר

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

אלכסוני מלבן נחתכים. אלכסון שלם 20 — כמה מהמפגש לקודקוד?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 10

Corrigé :

20:2=1020 : 2 = 10

חוצים זה את זה — וגם שווים

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

היקף מלבן 28 וצלע אחת 8. מהי השנייה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6

Corrigé :

14−8=614 - 8 = 6

חצי היקף פחות הצלע

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

במלבן האלכסונים יוצרים עם הצלע זווית 35°. מהי הזווית בין האלכסון לצלע השנייה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 55

Corrigé :

90−35=5590 - 35 = 55

האלכסון והצלעות יוצרים משולש ישר-זווית: שתי הזוויות החדות משלימות ל-90°.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

ABCD
שני אלכסוני המלבן.

נתון מלבן ABCDABCD. הוכיחו: AC=BDAC = BD.

  • ABCDABCD מלבן

AC=BDAC = BD

Voir la réponse et le corrigé
  1. ABCDABCD מלבן — נתון
  2. AB=DCAB = DC — הצלעות הנגדיות במלבן שוות
  3. ∠ABC=∠DCB\angle ABC = \angle DCB — כל זוויות המלבן ישרות
  4. BC=CBBC = CB — צלע משותפת לשני המשולשים
  5. △ABC≅△DCB\triangle ABC \cong \triangle DCB — משפט חפיפה צ.ז.צ
  6. AC=BDAC = BD — צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות

Corrigé :

AB=DC∠ABC=∠DCB=90∘BC=CB\begin{aligned}AB &= DC \\ \quad \angle ABC &= \angle DCB \\ &= 90^\circ \\ \quad BC &= CB\end{aligned}

צלע, זווית, צלע

△ABC≅△DCB\triangle ABC \cong \triangle DCB

צ.ז.צ

AC=BDAC = BD

צלעות מתאימות

הזוויות הישרות הן מה שמבדיל את המלבן: במקבילית כללית ∠ABC≠∠DCB\angle ABC \ne \angle DCB, והחפיפה נופלת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

מיינו: מה נכון בכל מלבן, ומה לא בהכרח?

  • נכון בכל מלבן
  • לא בהכרח
  • האלכסון חוצה את זווית המלבן
  • האלכסונים חוצים זה את זה
  • האלכסונים מאונכים זה לזה
  • האלכסונים שווים זה לזה
  • הצלעות הנגדיות מקבילות
  • כל הזוויות ישרות
  • כל הצלעות שוות
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : כל הזוויות ישרות — נכון בכל מלבן · האלכסונים שווים זה לזה — נכון בכל מלבן · האלכסונים חוצים זה את זה — נכון בכל מלבן · הצלעות הנגדיות מקבילות — נכון בכל מלבן · האלכסונים מאונכים זה לזה — לא בהכרח · כל הצלעות שוות — לא בהכרח · האלכסון חוצה את זווית המלבן — לא בהכרח

Corrigé :

∠A=∠B=∠C=∠D=90°\begin{aligned}\angle A &= \angle B \\ &= \angle C \\ &= \angle D \\ &= 90°\end{aligned}

כל הזוויות ישרות

AC=BDAO=OC\begin{aligned}AC &= BD \\ \quad AO &= OC\end{aligned}

אלכסונים שווים וחוצים זה את זה

המלבן יורש את תכונות המקבילית (צלעות נגדיות מקבילות, אלכסונים חוצים) ומוסיף זוויות ישרות ואלכסונים שווים. אלכסונים מאונכים, צלעות שוות ואלכסון שחוצה זווית — אלה מתקיימים רק כשהמלבן הוא גם ריבוע.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 13

במלבן ABCDABCD הצלעות הן 9 ס״מ ו-12 ס״מ, והאלכסונים נחתכים בנקודה MM. מחשבים את MAMA — שורה אחת שגויה

AC2=92+122=225\begin{aligned}AC^2 &= 9^2 + 12^2 \\ &= 225\end{aligned}
AC=15AC = 15
BD=AC=15\begin{aligned}BD &= AC \\ &= 15\end{aligned}
MA=BD=15\begin{aligned}MA &= BD \\ &= 15\end{aligned}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : MA=BD=15MA = BD = 15 → MA=AC2=7.5MA = \frac{AC}{2} = 7.5

Corrigé :

MA=152=7.5\begin{aligned}MA &= \frac{15}{2} \\ &= 7.5\end{aligned}

האלכסונים חוצים זה את זה

MM היא נקודת החיתוך של האלכסונים, והם חוצים זה את זה. לכן MAMA הוא חצי אלכסון, לא אלכסון שלם: MA=7.5MA = 7.5 ס״מ.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 14

Complétez (השלימו)

במלבן ABCDABCD האלכסונים נחתכים בנקודה MM, ונתון ∠MAB=40°\angle MAB = 40°. אז ∠MBA=\angle MBA = ____ מעלות, ∠AMB=\angle AMB = ____ מעלות, ו-∠MBC=\angle MBC = ____ מעלות.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : במלבן ABCDABCD האלכסונים נחתכים בנקודה MM, ונתון ∠MAB=40°\angle MAB = 40°. אז ∠MBA=\angle MBA = 40 מעלות, ∠AMB=\angle AMB = 100 מעלות, ו-∠MBC=\angle MBC = 50 מעלות.

Corrigé :

∠MBA=∠MAB=40°\begin{aligned}\angle MBA &= \angle MAB \\ &= 40°\end{aligned}

זוויות הבסיס במשולש שווה שוקיים

∠AMB=180°−40°−40°=100°\begin{aligned}\angle AMB &= 180° - 40° - 40° \\ &= 100°\end{aligned}

Somme (סכום) des angles (זוויות) dans un triangle (משולש)

∠MBC=90°−40°=50°\begin{aligned}\angle MBC &= 90° - 40° \\ &= 50°\end{aligned}

∠ABC=90°\angle ABC = 90°

במלבן האלכסונים שווים וחוצים זה את זה, ולכן MA=MBMA = MB והמשולש AMBAMB שווה שוקיים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 15

במלבן ABCDABCD נתון AB=12AB = 12 ס״מ ו-BC=5BC = 5 ס״מ, והאלכסונים נחתכים בנקודה MM. סדרו מהקצר לארוך

  • ABAB
  • ACAC
  • BCBC
  • MAMA
  • היקף המשולש AMBAMB
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : BCBC · MAMA · ABAB · ACAC · היקף המשולש AMBAMB

Corrigé :

AC=122+52=13\begin{aligned}AC &= \sqrt{12^2 + 5^2} \\ &= 13\end{aligned}
MA=132=6.5\begin{aligned}MA &= \frac{13}{2} \\ &= 6.5\end{aligned}

האלכסונים חוצים זה את זה

MA+MB+AB=6.5+6.5+12=25\begin{aligned}MA + MB + AB &= 6.5 + 6.5 + 12 \\ &= 25\end{aligned}

היקף △AMB\triangle AMB

5<6.5<12<13<255 < 6.5 < 12 < 13 < 25

קודם מחשבים את האלכסון בפיתגורס, ואז חצי ממנו.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 16

ABCD
מלבן ABCD.

כל מלבן הוא גם מקבילית.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

AB∥DC,AD∥BCAB \parallel DC ,\quad AD \parallel BC

שני זוגות של צלעות נגדיות מקבילות

נכון: במלבן הצלעות הנגדיות מקבילות, ולכן הוא מקבילית. ההפך לא נכון: לא כל מקבילית היא מלבן.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 17

ABCD
מקבילית מוטה ושני האלכסונים שלה.

במקבילית שזוויותיה 60°60° ו-120°120°, שני האלכסונים שווים.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

AC≈4.36BD=7\begin{aligned}AC \approx 4.36 \\ \quad BD &= 7\end{aligned}

מקבילית שצלעותיה 5 ו-3, וזווית DD בת 60°60°

לא נכון: האלכסונים שווים רק כשהזוויות ישרות. בזווית חדה, האלכסון שמול הזווית הקהה ארוך יותר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 18

מיינו: מה נכון בכל מקבילית, ומה רק במלבן?

  • בכל מקבילית
  • רק במלבן
  • האלכסונים חוצים זה את זה
  • האלכסונים שווים זה לזה
  • הזוויות הנגדיות שוות
  • הצלעות הנגדיות שוות
  • כל הזוויות ישרות
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : הצלעות הנגדיות שוות — בכל מקבילית · האלכסונים חוצים זה את זה — בכל מקבילית · הזוויות הנגדיות שוות — בכל מקבילית · כל הזוויות ישרות — רק במלבן · האלכסונים שווים זה לזה — רק במלבן

Corrigé :

AC=BDAC = BD

שתי התכונות שהמלבן מוסיף: זוויות ישרות, ואלכסונים שווים

שלוש התכונות הראשונות הן ירושה מהמקבילית. מי שממיין את «האלכסונים חוצים» ל«רק במלבן» מבלבל בין חוצים לשווים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 19

ABCDO
מלבן ABCD ונקודת המפגש O.

במלבן ABCDABCD האלכסונים נחתכים בנקודה OO. אז AO=BOAO = BO.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

AO=AC2BO=BD2\begin{aligned}AO &= \frac{AC}{2} \\ \quad BO &= \frac{BD}{2}\end{aligned}

האלכסונים חוצים זה את זה

AC=BD⇒AO=BO\begin{aligned}AC &= BD \Rightarrow AO \\ &= BO\end{aligned}

והם שווים

נכון. במקבילית כללית AO=OCAO = OC בלבד; רק השוויון AC=BDAC = BD של המלבן נותן גם AO=BOAO = BO.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 20

ABCDO
הזווית בין האלכסונים ליד הצלע AB היא 70°.

במלבן ABCDABCD האלכסונים נחתכים בנקודה OO, ו-∠AOB=70°\angle AOB = 70°. מה גודל ∠OAB\angle OAB במעלות?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 55

Corrigé :

AO=BOAO = BO

ארבעת החצאים שווים, ולכן △AOB\triangle AOB שווה-שוקיים

∠OAB=∠OBA=180°−70°2=55°\begin{aligned}\angle OAB &= \angle OBA \\ &= \frac{180° - 70°}{2} \\ &= 55°\end{aligned}

זוויות הבסיס שוות

הטעות הנפוצה היא 180°−70°=110°180° - 70° = 110°: שוכחים לחלק בין שתי זוויות הבסיס.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 21

ABCD
מלבן שצלעותיו 40 ו-9, והאלכסון AC.

Complétez (השלימו)

צלעות המלבן 9 ו-40. אורך האלכסון הוא ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : צלעות המלבן 9 ו-40. אורך האלכסון הוא 41

Corrigé :

AC2=92+402=81+1600=1681\begin{aligned}AC^2 &= 9^2 + 40^2 \\ &= 81 + 1600 \\ &= 1681\end{aligned}

פיתגורס במשולש ABCABC

AC=1681=41\begin{aligned}AC &= \sqrt{1681} \\ &= 41\end{aligned}

מוציאים שורש

לא מחברים את הצלעות (4949): מחברים את הריבועים שלהן, ואז מוציאים שורש.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe