Qu’est-ce que la similitude

Sur elev, cette leçon vient avec une vidéo, des exercices corrigés sur le moment et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev
Voir la vidéo de la leçon

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

שני משולשים דומים הם בעלי אותה צורה בדיוק.

הגודל יכול להיות שונה: אחד הוא תמונה מוגדלת של השני.

△ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF

הסימן ∼\sim מציין דמיון, כמו ש-≅\cong ציין חפיפה.

וכמו בחפיפה, סדר האותיות הוא הכול: הראשונה מתאימה לראשונה, השנייה לשנייה, השלישית לשלישית.

למדתם חפיפה? אז אתם כבר יודעים לקרוא את השורה הזאת. אותה מוסכמה בדיוק, עם סימן אחר.

ב-△ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF, לאיזה קודקוד מתאים CC?

Voir la réponse et le corrigé

ל-FF: שתיהן האות השלישית בשורה.

שני דברים קורים בו-זמנית

כאן △DEF\triangle DEF מסובב והפוך. המקום שלו בציור לא עוזר — רק סדר האותיות.

∠A=∠D\angle A = \angle D

הזוויות המתאימות שוות — הצורה לא השתנתה

ABDE=BCEF\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF}

הצלעות המתאימות ביחס קבוע — הגודל השתנה פי אותו מספר

המספר הקבוע הזה נקרא יחס הדמיון, ומסמנים אותו באות kk.

את kk מחפשים כמעט בכל שאלה בפרק.

נתון △ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF עם k=3k = 3, ו-AB=5AB = 5. כמה זה DEDE?

Voir la réponse et le corrigé

15: 5×35 \times 3. כל צלע נכפלת ב-kk, והזוויות לא משתנות.

ומה הקשר לחפיפה

חפיפה היא דמיון שבו k=1k = 1: אותה צורה, וגם אותו גודל.

k=1⟷חופפיםk = 1 \quad \longleftrightarrow\quad \text{חופפים}

לכן כל שני משולשים חופפים הם גם דומים. ההפך לא נכון.

הטעות שנובעת ישירות מהשפה.

«דומים» = נראים דומים\text{«דומים» = נראים דומים}
«דומים» = אותן זוויות, ויחס קבוע בין הצלעות\text{«דומים» = אותן זוויות, ויחס קבוע בין הצלעות}

במתמטיקה «דומים» היא מילה עם הגדרה מדויקת, לא התרשמות מהציור. שני משולשים יכולים להיראות דומים מאוד ולא להיות דומים כלל.

מה ההבדל בין חפיפה לדמיון?

Voir la réponse et le corrigé

חפיפה — אותו גודל בדיוק; דמיון — אותה צורה, בגודל אחר. הזוויות שוות בשניהם, הצלעות — רק פרופורציוניות בדמיון.

Exercices

Exercice 1

נתון △ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF. לאיזו צלע מתאימה הצלע ABAB?

  1. EFEF
  2. DEDE
  3. BCBC
  4. DFDF
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B DEDE

Corrigé :

A↔D,B↔EA \leftrightarrow D \quad ,\quad B \leftrightarrow E

לפי המיקום בשורת הדמיון

בדיוק אותה מוסכמה כמו בחפיפה: האות הראשונה לראשונה, השנייה לשנייה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

בשני משולשים דומים, מה נכון לגבי הזוויות?

  1. הזוויות קטנות ביחס הדמיון
  2. הזוויות גדלות ביחס הדמיון
  3. Impossible de savoir
  4. הזוויות המתאימות שוות
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D הזוויות המתאימות שוות

Corrigé :

∠A=∠D\angle A = \angle D

הצורה לא משתנה — רק הגודל

זוויות אינן אורכים. הגדלת צורה מותחת את הצלעות, אבל לא פותחת ולא סוגרת את הזוויות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

מה הקשר בין חפיפה לדמיון?

  1. דמיון הוא חפיפה שבה היחס הוא 1
  2. חפיפה היא דמיון שבו יחס הדמיון הוא 1
  3. אין קשר ביניהם
  4. כל שני משולשים דומים הם גם חופפים
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B חפיפה היא דמיון שבו יחס הדמיון הוא 1

Corrigé :

k=1⟶חופפיםk = 1 \quad \longrightarrow\quad \text{חופפים}

אותה צורה, ובמקרה גם אותו גודל

כל זוג חופף הוא גם דומה — אבל רוב הזוגות הדומים אינם חופפים, כי היחס שלהם אינו 1.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

שני משולשים נראים דומים מאוד בציור. האם זה מספיק כדי לקבוע שהם דומים?

  1. לא
  2. רק אם הם באותו גודל
  3. כן, אם הציור מדויק
  4. כן, תמיד
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A לא

Corrigé :

ציור≠נימוק\text{ציור} \neq \text{נימוק}

אותו כלל כמו בהוכחות

בדיוק כמו בפרק ההוכחות: מה שנראה בציור אינו נימוק. צריך זוויות שוות או יחס קבוע בין הצלעות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

שני ריבועים — האם הם בהכרח דומים?

  1. רק אם קטנים
  2. לא
  3. כן
  4. רק אם שווים
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C כן

Corrigé :

כל הזוויות 90, יחס אחיד\text{כל הזוויות 90, יחס אחיד}

כל הריבועים דומים: הזוויות תמיד 90°, והצלעות תמיד ביחס אחיד. זה נכון גם למעגלים ולמשולשים שווי-צלעות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

שני מלבנים — בהכרח דומים?

  1. כן
  2. לא
  3. רק גדולים
  4. תמיד
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B לא

Corrigé :

2:1≠5:12:1 \ne 5:1

מלבן ארוך ומלבן כמעט ריבוע

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

משולשים דומים ביחס 3. צלע במקור 7 — מה בצילום המוגדל?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 21

Corrigé :

7×3=217 \times 3 = 21

בדמיון כל הצלעות גדלות באותו יחס — לכן מכפילים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

מה נשמר בדמיון?

  1. הזוויות והיחס בין צלעות
  2. השטח
  3. ההיקף
  4. האורכים
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A הזוויות והיחס בין צלעות

Corrigé :

∠ , k\angle \ , \ k

צורה — לא גודל

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

יחס דמיון 1:4. היקף הקטן 9 — מהו היקף הגדול?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 36

Corrigé :

9×4=369 \times 4 = 36

ההיקף גדל כמו הצלעות

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

צילום מוקטן פי 2 של תמונה — הזוויות בו…

  1. לא השתנו
  2. גדלו פי 2
  3. תלוי בצורה
  4. קטנו פי 2
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A לא השתנו

Corrigé :

∠\angle

דמיון משמר זוויות

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

ABCDEF
אותה צורה, ו-△DEF\triangle DEF גדול פי 2.

במשולש ABCABC נתון AB=4AB = 4, BC=6BC = 6, AC=5AC = 5. במשולש DEFDEF נתון DE=8DE = 8, EF=12EF = 12, DF=10DF = 10. עוד נתון ∠A=∠D\angle A = \angle D ו-∠B=∠E\angle B = \angle E. הוכיחו לפי הגדרת הדמיון: △ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF.

  • AB=4AB = 4, BC=6BC = 6, AC=5AC = 5
  • DE=8DE = 8, EF=12EF = 12, DF=10DF = 10
  • ∠A=∠D\angle A = \angle D
  • ∠B=∠E\angle B = \angle E

△ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF

Voir la réponse et le corrigé
  1. ∠A=∠D\angle A = \angle D — נתון
  2. ∠B=∠E\angle B = \angle E — נתון
  3. ∠C=180∘−∠A−∠B\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B — סכום הזוויות במשולש שווה 180∘180^\circ
  4. ∠F=180∘−∠D−∠E\angle F = 180^\circ - \angle D - \angle E — סכום הזוויות במשולש שווה 180∘180^\circ
  5. ∠C=∠F\angle C = \angle F — הצבה של הזוויות השוות
  6. ABDE=BCEF=ACDF=12\dfrac{AB}{DE} = \dfrac{BC}{EF} = \dfrac{AC}{DF} = \dfrac{1}{2} — חישוב מהנתונים
  7. △ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF — הגדרת משולשים דומים: הזוויות המתאימות שוות והצלעות המתאימות ביחס שווה

Corrigé :

∠C=180∘−∠A−∠B=180∘−∠D−∠E=∠F\begin{aligned}\angle C &= 180^\circ - \angle A - \angle B \\ &= 180^\circ - \angle D - \angle E \\ &= \angle F\end{aligned}

הזווית השלישית — מסכום הזוויות בשני המשולשים

48=612=510=12\begin{aligned}\frac{4}{8} &= \frac{6}{12} \\ &= \frac{5}{10} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

שלושת היחסים בין הצלעות המתאימות

△ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF

שלוש זוויות שוות וצלעות ביחס שווה — זו ההגדרה

ההגדרה דורשת שני דברים: כל הזוויות המתאימות שוות, וגם כל הצלעות המתאימות ביחס שווה. לכן צריך גם את הזווית השלישית — היא לא נתונה, ומוצאים אותה מסכום הזוויות בכל אחד משני המשולשים. ביחידה הבאה נלמד משפטים שחוסכים חלק מהבדיקה הזאת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

שני משולשים דומים, ויחס הדמיון אינו 1. מה נכון תמיד?

  • נכון תמיד
  • לא נכון
  • הזוויות המתאימות שוות
  • היחס בין כל שתי צלעות מתאימות הוא אותו מספר
  • המשולשים חופפים
  • הצלעות המתאימות שוות
  • השטחים שווים
  • לשני המשולשים אותה צורה
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : הזוויות המתאימות שוות — נכון תמיד · לשני המשולשים אותה צורה — נכון תמיד · היחס בין כל שתי צלעות מתאימות הוא אותו מספר — נכון תמיד · הצלעות המתאימות שוות — לא נכון · השטחים שווים — לא נכון · המשולשים חופפים — לא נכון

Corrigé :

DEAB=EFBC=DFAC=k\begin{aligned}\frac{DE}{AB} &= \frac{EF}{BC} \\ &= \frac{DF}{AC} \\ &= k\end{aligned}

יחס קבוע בין צלעות מתאימות

k≠1⇒DE≠ABk \ne 1 \Rightarrow DE \ne AB

הצלעות אינן שוות, ולכן אין חפיפה

בדמיון הזוויות שוות והצלעות ביחס קבוע kk — אותה צורה, גודל אחר. כש-k≠1k \ne 1 הצלעות אינן שוות, ולכן גם השטחים אינם שווים והמשולשים אינם חופפים. חפיפה היא רק המקרה k=1k = 1.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 13

נתון △ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF, ובמשולש ABCABC: ∠A=50∘\angle A = 50^\circ ו-∠B=70∘\angle B = 70^\circ. השלימו.

∠D=\angle D = ____ מעלות, ו-∠F=\angle F = ____ מעלות

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : ∠D=\angle D = 50 מעלות, ו-∠F=\angle F = 60 מעלות

Corrigé :

∠D=∠A=50∘\begin{aligned}\angle D &= \angle A \\ &= 50^\circ\end{aligned}

האות הראשונה מתאימה לראשונה

∠C=180∘−50∘−70∘=60∘\begin{aligned}\angle C &= 180^\circ - 50^\circ - 70^\circ \\ &= 60^\circ\end{aligned}

הזווית השלישית במשולש ABCABC

∠F=∠C=60∘\begin{aligned}\angle F &= \angle C \\ &= 60^\circ\end{aligned}

האות השלישית מתאימה לשלישית

סדר האותיות בשורת הדמיון קובע מי מתאים למי: DD מול AA, ו-FF מול CC. זוויות מתאימות בדמיון שוות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 14

נתון △KLM∼△PQR\triangle KLM \sim \triangle PQR. התאימו כל צלע וכל זווית לבת-הזוג שלה.

  • KLKL
  • LMLM
  • KMKM
  • ∠M\angle M
  • ∠R\angle R
  • PQPQ
  • PRPR
  • QRQR
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : KLKL — PQPQ · LMLM — QRQR · KMKM — PRPR · ∠M\angle M — ∠R\angle R

Corrigé :

K↔P,L↔Q,M↔RK \leftrightarrow P ,\quad L \leftrightarrow Q ,\quad M \leftrightarrow R

לפי המקום בשורת הדמיון

הצלע KMKM מחברת את הראשונה לשלישית, ולכן היא מתאימה ל-PRPR. המלכודת: לחפש את הצלע לפי המקום בציור.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 15

נתון △ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF עם יחס דמיון k=2k = 2. לכן ∠D=2⋅∠A\angle D = 2 \cdot \angle A.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

∠D=∠A\angle D = \angle A

בדמיון הזוויות המתאימות שוות

רק אורכים נכפלים ב-kk. זווית אינה אורך: הגדלה לא פותחת ולא סוגרת אותה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 16

כל שני משולשים שווי-צלעות דומים זה לזה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

60∘, 60∘, 60∘60^\circ ,\ 60^\circ ,\ 60^\circ

בכל משולש שווה-צלעות

a2a1=a2a1=a2a1\begin{aligned}\frac{a_2}{a_1} &= \frac{a_2}{a_1} \\ &= \frac{a_2}{a_1}\end{aligned}

שלוש הצלעות באותו יחס

הזוויות תמיד שוות, והצלעות תמיד ביחס אחד. אצל משולשים שווי-שוקיים זה לא נכון: זווית הראש יכולה להשתנות.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe