Équations à dénominateurs — avec ou sans inconnue

Sur elev, cette leçon vient avec une vidéo, des exercices corrigés sur le moment et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev
Voir la vidéo de la leçon

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

לפני שפותרים משוואה עם שברים, שואלים שאלה אחת: האם הנעלם נמצא במכנה?

התשובה קובעת אם צריך תחום הגדרה. זה ההבדל היחיד בין שתי המשפחות.

הכלל שמפריד בין שתי המשפחות

יש xx במכנה? — רושמים תחום הגדרה לפני הכול, ובודקים את הפתרון מולו בסוף. אין xx במכנה? — אין תחום הגדרה בכלל, וכל פתרון שיוצא מתקבל.

□x−3  ⇒  x≠3□4  ⇒  —\frac{\square}{x-3} \;\Rightarrow\; x \neq 3 \qquad \frac{\square}{4} \;\Rightarrow\; \text{---}

משפחה ראשונה — מכנה מספרי

הכלל אחד: כופלים את כל המשוואה במכנה המשותף, והשברים נעלמים.

כופלים כל איבר — גם את זה שאין לו מכנה.

במשוואה x3+2=5\frac{x}{3} + 2 = 5 — במה כופלים, ומה קורה ל-2?

Voir la réponse et le corrigé

כופלים ב-3, וגם ה-2 מוכפל: x+6=15x + 6 = 15. לכן x=9x = 9.

משפחה שנייה — נעלם במכנה

אותה שיטה בדיוק, ועוד שני צעדים: תחום הגדרה בהתחלה, ובדיקה מולו בסוף.

שתי הטעויות של שתי המשפחות.

x−5x−3=0  ⇒  x=3\begin{aligned}\frac{x-5}{x-3} &= 0 \;\Rightarrow\; x \\ &= 3\end{aligned}
x≠3x \neq 3

פתרון שנופל בדיוק על הערך האסור נפסל — ואז התשובה היא «אין פתרון».

x4+1=2  ⇒  x+1=8\begin{aligned}\frac{x}{4} + 1 &= 2 \;\Rightarrow\; x + 1 \\ &= 8\end{aligned}
x+4=8x + 4 = 8

כשכופלים במכנה — כופלים כל איבר, גם את זה שאין לו שבר.

מה תחום ההצבה של 5x−2\frac{5}{x-2}?

Voir la réponse et le corrigé

כל xx חוץ מ-2 — המכנה אסור שיתאפס. בודקים תחום לפני שפותרים, לא אחרי.

Exercices

Exercice 1

פתרו (מכנה מספרי):

−x+64=−2\frac{-x+6}{4} = -2
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 14

Corrigé :

−x+6=−8-x + 6 = -8

כופלים ב-4

−x=−14-x = -14
x=14x = 14

כופלים ב-−1-1

אין נעלם במכנה — אין תחום הגדרה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

פתרו (מכנה מספרי):

1−x2+x−36=0\frac{1-x}{2} + \frac{x-3}{6} = 0
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0

Corrigé :

3(1−x)+(x−3)=03(1-x) + (x-3) = 0

כופלים ב-6

3−3x+x−3=03 - 3x + x - 3 = 0
−2x=0⇒x=0\begin{aligned}-2x &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0\end{aligned}

אפס הוא פתרון תקין. אין שום סיבה לפסול אותו.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

פתרו (מכנה מספרי):

2x+13−x−42=1\frac{2x+1}{3} - \frac{x-4}{2} = 1
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -8

Corrigé :

2(2x+1)−3(x−4)=62(2x+1) - 3(x-4) = 6

כופלים ב-6

4x+2−3x+12=64x + 2 - 3x + 12 = 6

המינוס נכנס לסוגריים

x=−8x = -8

בדיקה: −153−−122=−5+6=1\frac{-15}{3} - \frac{-12}{2} = -5 + 6 = 1 ✓

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

פתרו (מכנה מספרי):

x+35=2x−13\frac{x+3}{5} = \frac{2x-1}{3}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

3(x+3)=5(2x−1)3(x+3) = 5(2x-1)

כפל בהצלבה

3x+9=10x−53x + 9 = 10x - 5
7x=14⇒x=2\begin{aligned}7x &= 14 \Rightarrow x \\ &= 2\end{aligned}

שבר מול שבר — הצלבה, גם כשאין נעלם במכנה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

פתרו (נעלם במכנה — אל תשכחו תחום הגדרה):

x−5x−3−12=0\frac{x-5}{x-3} - \frac{1}{2} = 0
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 7

Corrigé :

x≠3x \neq 3

תחום הגדרה

2(x−5)−(x−3)=02(x-5) - (x-3) = 0

מכנה משותף 2(x−3)2(x-3)

2x−10−x+3=02x - 10 - x + 3 = 0
x=7  ✓x = 7 \;\checkmark

בתחום

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

פתרו (נעלם במכנה):

6x−1=2\frac{6}{x-1} = 2
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

x≠1x \neq 1

תחום הגדרה

6=2(x−1)6 = 2(x-1)
x=4  ✓x = 4 \;\checkmark
Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

פתרו (נעלם במכנה):

3x+2=5x−2\frac{3}{x+2} = \frac{5}{x-2}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -8

Corrigé :

x≠±2x \neq \pm 2

שני מכנים — שני תנאים

3(x−2)=5(x+2)3(x-2) = 5(x+2)

הצלבה

3x−6=5x+103x - 6 = 5x + 10
x=−8  ✓x = -8 \;\checkmark

בדיקה: 3−6=5−10=−12\frac{3}{-6} = \frac{5}{-10} = -\frac{1}{2} ✓

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

פתרו (נעלם במכנה):

xx−4=2\frac{x}{x-4} = 2
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 8

Corrigé :

x≠4x \neq 4

תחום הגדרה

x=2(x−4)x = 2(x-4)
x=2x−8⇒x=8  ✓\begin{aligned}x &= 2x - 8 \Rightarrow x \\ &= 8 \;\checkmark\end{aligned}
Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

באיזו משוואה חייבים לרשום תחום הגדרה?

  1. 2x+16=0\frac{2x+1}{6} = 0
  2. x3+x4=7\frac{x}{3} + \frac{x}{4} = 7
  3. 5x−1=2\frac{5}{x-1} = 2
  4. x−15=2\frac{x-1}{5} = 2
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 5x−1=2\frac{5}{x-1} = 2

Corrigé :

x−1≠0x - 1 \neq 0

הנעלם במכנה

רק כשהנעלם יושב למטה. בשלושת האחרים המכנה הוא מספר, ואף ערך אינו אסור.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

פתרו: xx−2=2x−2\frac{x}{x-2} = \frac{2}{x-2}

  1. אין פתרון
  2. x=0x = 0
  3. כל xx
  4. x=2x = 2
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A אין פתרון

Corrigé :

x≠2x \neq 2

תחום הגדרה

x=2x = 2

אחרי המחיקה

נפסל\text{נפסל}

הפתרון היחיד אסור

זה בדיוק המקרה שבשבילו רושמים תחום הגדרה מראש.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

פתרו את המשוואה:

x3+x6=9\frac{x}{3} + \frac{x}{6} = 9
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 18

Corrigé :

2x+x=54  ⇒  x=18\begin{aligned}2x + x &= 54 \;\Rightarrow\; x \\ &= 18\end{aligned}

כופלים את כל המשוואה ב-6

הכפל במכנה המשותף מוחק את השברים בבת אחת — ומשאיר משוואה רגילה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

כפלו במכנה — שורה אחת שגויה:

x5+2=4\frac{x}{5} + 2 = 4
x+2=20x + 2 = 20
x=18x = 18
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x+2=20x + 2 = 20 → x+10=20x + 10 = 20

Corrigé :

5⋅2=105 \cdot 2 = 10

כל איבר משלם את הכפל

כפלו ב-5 את השבר ואת אגף ימין — ודילגו על ה-2. משוואה כופלים איבר-איבר, בלי חסינויות. (ואגב, גם הדרך הקצרה עובדת: x5=2\frac{x}{5} = 2, ולכן x=10x = 10.)

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 13

פתרו בעל-פה:

אם x חלקי 7 שווה 3, אז x = ____ ; ואם 2x חלקי 3 שווה 8, אז x = ____.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : אם x חלקי 7 שווה 3, אז x = 21 ; ואם 2x חלקי 3 שווה 8, אז x = 12.

Corrigé :

x=212x=24\begin{aligned}x &= 21 \\ \quad 2x &= 24\end{aligned}

המכנה עובר ככפל

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 14

סדרו את שלבי הפתרון:

  • x2+x3=5\frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 5
  • 3x+2x=303x + 2x = 30
  • 5x=305x = 30
  • x=6x = 6
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x2+x3=5\frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 5 · 3x+2x=303x + 2x = 30 · 5x=305x = 30 · x=6x = 6

Corrigé :

×6\times 6

כפל במכנה המשותף — ואז משוואה רגילה

ובדיקה: 3 ועוד 2 הם 5. שלב הכפל הוא כל הסיפור — השאר כבר מוכר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 15

מיינו: באילו משוואות חייבים לרשום תחום הגדרה?

  • חייבים — נעלם במכנה
  • אין צורך — מכנה מספרי
  • 1x+14=1\frac{1}{x} + \frac{1}{4} = 1
  • 2x7+x=9\frac{2x}{7} + x = 9
  • 6x−4=2\frac{6}{x - 4} = 2
  • x+45=1\frac{x + 4}{5} = 1
  • x2=3x\frac{x}{2} = \frac{3}{x}
  • x2−18=3\frac{x^2 - 1}{8} = 3
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x+45=1\frac{x + 4}{5} = 1 — אין צורך — מכנה מספרי · 6x−4=2\frac{6}{x - 4} = 2 — חייבים — נעלם במכנה · x2−18=3\frac{x^2 - 1}{8} = 3 — אין צורך — מכנה מספרי · x2=3x\frac{x}{2} = \frac{3}{x} — חייבים — נעלם במכנה · 2x7+x=9\frac{2x}{7} + x = 9 — אין צורך — מכנה מספרי · 1x+14=1\frac{1}{x} + \frac{1}{4} = 1 — חייבים — נעלם במכנה

Corrigé :

6x−4  ⇒  x≠4\frac{6}{x - 4} \;\Rightarrow\; x \neq 4

יש xx במכנה — רושמים ערך אסור

x2−18  ⇒  —\frac{x^2 - 1}{8} \;\Rightarrow\; \text{---}

המכנה הוא מספר — אין מה לפסול

מסתכלים רק על המכנים. x2x^2 גדול במונה, או xx שאין לו שבר, לא משנים דבר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 16

מהו הערך האסור במשוואה 42x−6=1\frac{4}{2x - 6} = 1?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

2x−6≠02x - 6 \neq 0

המכנה אסור שיתאפס

2x≠6  ⇒  x≠32x \neq 6 \;\Rightarrow\; x \neq 3

הערך האסור אינו 6: פותרים 2x−6=02x - 6 = 0. (והפתרון של המשוואה עצמה הוא x=5x = 5 — מותר.)

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe