Équations à fractions algébriques

Sur elev, cette leçon vient avec une vidéo, des exercices corrigés sur le moment et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev
Voir la vidéo de la leçon

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

עד עכשיו פישטנו ביטויים. עכשיו יש משוואה.

ובמשוואה מותר מה שאסור בביטוי: לכפול את שני האגפים במכנה המשותף, ולהיפטר מהמכנים לגמרי.

סדר העבודה

11

מפרקים את כל המכנים לגורמים.

22

רושמים תחום הגדרה — כל ערך שמאפס מכנה כלשהו אסור.

33

כופלים את שני האגפים במכנה המשותף. המכנים נעלמים.

44

פותרים את המשוואה שנשארה — לרוב ריבועית.

55

פוסלים פתרונות שנמצאים מחוץ לתחום ההגדרה.

למה תחום ההגדרה אינו פורמליות

הכפל במכנה המשותף מגדיל את קבוצת הפתרונות: המשוואה החדשה יכולה לקבל ערך שהמקורית פסלה.

פתרון כזה נקרא פתרון זר. הוא נראה תקין לגמרי — עד שבודקים אותו מול תחום ההגדרה.

שתי הטעויות של היחידה.

פתרון=2  (כשהמכנה x−2)\text{פתרון} = 2 \;\text{(כשהמכנה } x-2)
אין פתרון\text{אין פתרון}

בלי תחום הגדרה אי אפשר לדעת שהפתרון פסול. זו הסיבה שהוא נרשם לפני ולא אחרי.

ab+cd=e⇒a+c=e\begin{aligned}\frac{a}{b} + \frac{c}{d} &= e \Rightarrow a + c \\ &= e\end{aligned}
כופלים את כל האגפים במכנה המשותף\text{כופלים את \textbf{כל} האגפים במכנה המשותף}

המכנים לא «נמחקים» — כופלים את שני האגפים, ולכן גם האגף הימני מוכפל.

במשוואה x+1x=2\frac{x+1}{x} = 2 — מה הצעד הראשון ומה הבדיקה האחרונה?

Voir la réponse et le corrigé

כופלים ב-xx (בהנחה שאינו אפס), ובסוף בודקים שהפתרון לא מאפס מכנה. כאן: x=1x = 1 — כשר.

Exercices

Exercice 1

פתרו את המשוואה:

xx−2=2x−2\frac{x}{x - 2} = \frac{2}{x - 2}
  1. x=2x = 2
  2. x=0x = 0
  3. pas de solution\text{pas de solution}
  4. x=−2x = -2
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C pas de solution\text{pas de solution}

Corrigé :

x≠2x \neq 2

תחום הגדרה

x=2x = 2

הפתרון היחיד

נפסל\text{נפסל}

הוא מחוץ לתחום

זו בדיוק הסיבה שרושמים תחום הגדרה מראש.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

פתרו את המשוואה:

12x=4\frac{12}{x} = 4
  1. x=3x = 3
  2. x=48x = 48
  3. pas de solution\text{pas de solution}
  4. x=4x = 4
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A x=3x = 3

Corrigé :

x≠0x \neq 0

תחום הגדרה

12=4x12 = 4x

כופלים ב-x

x=3x = 3

ובתחום

הכי פשוטה בפרק, ובכל זאת תחום ההגדרה נרשם.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

פתרו את המשוואה:

1x−6+7−xx+6=13x2−36\frac{1}{x - 6} + \frac{7 - x}{x + 6} = \frac{13}{x^2 - 36}
  1. x=6x = 6
  2. x=−6x = -6
  3. x=7x = 7
  4. pas de solution\text{pas de solution}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C x=7x = 7

Corrigé :

x≠±6x \neq \pm 6

תחום הגדרה

x2−14x+49=0x^2 - 14x + 49 = 0

אחרי הכפל והסידור

(x−7)2=0(x-7)^2 = 0

ריבוע מושלם

הפתרון 7 בתחום ההגדרה, ולכן מתקבל.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

פתרו את המשוואה:

3x2−9+112x+6=1\frac{3}{x^2 - 9} + \frac{11}{2x + 6} = 1
  1. x=3x = 3
  2. x=5 ou x=−2.5x = 5 \text{ ou } x = -2.5
  3. pas de solution\text{pas de solution}
  4. x=−3x = -3
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B x=5 ou x=−2.5x = 5 \text{ ou } x = -2.5

Corrigé :

x≠±3x \neq \pm 3

תחום הגדרה

6+11(x−3)=2(x2−9)6 + 11(x - 3) = 2(x^2 - 9)

כופלים במכנה המשותף 2(x−3)(x+3)2(x-3)(x+3)

2x2−11x−15=02x^2 - 11x - 15 = 0

מסדרים

שני הפתרונות בתחום ההגדרה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

מתי רושמים את תחום ההגדרה במשוואה עם שברים?

  1. אין צורך במשוואה
  2. אחרי שמצאנו את הפתרונות
  3. לפני הכפל במכנה המשותף
  4. רק אם השאלה מבקשת
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C לפני הכפל במכנה המשותף

Corrigé :

מכנה≠0\text{מכנה} \neq 0

על סמך המכנים המקוריים

אחרי הכפל המכנים נעלמים — ואיתם המידע מי אסור.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

מהו 2−x2 - x במונחים של x−2x - 2?

  1. −(x−2)-(x - 2)
  2. (x−2)2(x-2)^2
  3. אין קשר ביניהם
  4. x−2x - 2
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A −(x−2)-(x - 2)

Corrigé :

2−x=−(x−2)2 - x = -(x - 2)

מוציאים מינוס

זיהוי הקשר הזה מקצר את המכנה המשותף בחצי, ומונע מכנה משותף ענק.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

פתרו: x4=9x\frac{x}{4} = \frac{9}{x} — כתבו את הפתרון החיובי.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6

Corrigé :

x2=36x^2 = 36

הצלבה

x=±6x = \pm 6
Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

פתרו: 6x=3\frac{6}{x} = 3

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

6=3x  x=2\begin{aligned}6 &= 3x \ \\ \ x &= 2\end{aligned}

כופלים במכנה ומקבלים משוואה רגילה. ובודקים שהפתרון אינו מאפס את המכנה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

פתרו: x+23=x2\frac{x+2}{3} = \frac{x}{2}

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

2(x+2)=3x2(x+2) = 3x

הצלבה

2x+4=3x  x=4\begin{aligned}2x + 4 &= 3x \ \\ \ x &= 4\end{aligned}
Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

פתרו: 5x−1=10x+2\frac{5}{x-1} = \frac{10}{x+2}

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

5(x+2)=10(x−1)5(x+2) = 10(x-1)
5x+10=10x−10  x=4\begin{aligned}5x + 10 &= 10x - 10 \ \\ \ x &= 4\end{aligned}

ובדיקה: אף מכנה לא מתאפס ב-4.

Vérifier la réponse sur elev

Découvrir

Exercice 11

מהו תחום ההצבה של המשוואה 7x2−49=1x−7\frac{7}{x^2-49} = \frac{1}{x-7}?

  1. x≠49x \ne 49
  2. x≠7x \ne 7 וגם x≠−7x \ne -7
  3. כל xx
  4. x≠7x \ne 7 בלבד
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B x≠7x \ne 7 וגם x≠−7x \ne -7

Corrigé :

x2−49=(x−7)(x+7)x^2-49 = (x-7)(x+7) — שני ערכים מאפסים את המכנה, ושניהם אסורים. את התחום כותבים לפני שפותרים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

פתרו: 5x+2=3x−2\frac{5}{x+2} = \frac{3}{x-2}

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 8

Corrigé :

5(x−2)=3(x+2)5(x-2) = 3(x+2)

כפל בהצלבה — המכנים שונים מאפס

5x−10=3x+65x - 10 = 3x + 6
x=8x = 8

ו-8 אינו ±2 — הפתרון כשר

Vérifier la réponse sur elev

להתאמן

Exercice 13

פתרו: 2x−6=12x2−36\frac{2}{x-6} = \frac{12}{x^2-36}

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0

Corrigé :

x2−36=(x−6)(x+6)x^2-36 = (x-6)(x+6)

מפרקים את המכנה

2(x+6)=122(x+6) = 12

מכפילים ב-(x−6)(x+6)(x-6)(x+6)

x=0x = 0

רחוק מ-±6 — כשר

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 14

פתרו: 6x2−9=1x+3\frac{6}{x^2-9} = \frac{1}{x+3}

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 9

Corrigé :

6=x−36 = x - 3

אחרי כפל ב-(x−3)(x+3)(x-3)(x+3)

x=9x = 9
Vérifier la réponse sur elev

Exercice 15

פתרו: 1x−4+1x+4=8x2−16\frac{1}{x-4} + \frac{1}{x+4} = \frac{8}{x^2-16} — מה הפתרון?

  1. x=4x = 4
  2. אין פתרון
  3. x=8x = 8
  4. x=−4x = -4
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B אין פתרון

Corrigé :

2xx2−16=8x2−16\frac{2x}{x^2-16} = \frac{8}{x^2-16}

מאחדים את צד שמאל

2x=8⇒x=4\begin{aligned}2x &= 8 \Rightarrow x \\ &= 4\end{aligned}
x=4∉התחוםx = 4 \notin \text{התחום}

נפסל!

האלגברה נותנת 2x=82x = 8, כלומר x=4x=4 — אבל 4 מאפס את המכנה שהתחלנו ממנו. פתרון שמחוץ לתחום אינו פתרון. x=4x=4 נפסל בתחום ההצבה

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 16

x=3x = 3 הוא פתרון של המשוואה 6x2−9=1x−3\frac{6}{x^2-9} = \frac{1}{x-3}

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

6=x+3⇒x=3\begin{aligned}6 &= x+3 \Rightarrow x \\ &= 3\end{aligned}
x=3: 60x = 3: \ \frac{6}{0}

אסור

האלגברה מגיעה ל-x=3x=3 — אבל 3 מאפס את שני המכנים. אין למשוואה הזו פתרון. זה בדיוק התפקיד של תחום ההצבה.

Vérifier la réponse sur elev

לשחק ולבדוק

Exercice 17

סדרו את שלבי הפתרון של משוואה עם נעלם במכנה

  • בודקים שהפתרון בתוך התחום
  • מכפילים במכנה המשותף
  • מפרקים כל מכנה לגורמים
  • פותרים את המשוואה שהתקבלה
  • רושמים את תחום ההצבה
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : מפרקים כל מכנה לגורמים · רושמים את תחום ההצבה · מכפילים במכנה המשותף · פותרים את המשוואה שהתקבלה · בודקים שהפתרון בתוך התחום

Corrigé :

התחום נרשם שני — לפני שנוגעים במשוואה. והבדיקה בסוף היא שווה נקודות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 18

Une ligne est fausse (שגויה) — trouvez-la (מצאו)

x2−16=(x−4)(x+4)x^2 - 16 = (x-4)(x+4)
3x−4=6x2−16⇒3(x+4)=6\begin{aligned}\frac{3}{x-4} &= \frac{6}{x^2-16} \Rightarrow 3(x+4) \\ &= 6\end{aligned}
x+4=2⇒x=2\begin{aligned}x + 4 &= 2 \Rightarrow x \\ &= 2\end{aligned}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x+4=2⇒x=2x + 4 = 2 \Rightarrow x = 2 → x+4=2⇒x=−2x + 4 = 2 \Rightarrow x = -2

Corrigé :

טעות מעבר אגף פשוטה בסוף מסע אלגברי שלם — לכן בודקים כל שורה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 19

פתרו: 3x−2+12−x=1\frac{3}{x - 2} + \frac{1}{2 - x} = 1

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

12−x=−1x−2\frac{1}{2 - x} = -\frac{1}{x - 2}

מוציאים מינוס מהמכנה ההפוך

3x−2−1x−2=2x−2\frac{3}{x - 2} - \frac{1}{x - 2} = \frac{2}{x - 2}

עכשיו המכנה זהה

2x−2=1  ⟹  x−2=2{\frac{2}{x - 2} = 1} \;\Longrightarrow\; {x - 2 = 2}

כופלים ב-x−2x - 2, כש-x≠2x \neq 2

x=4≠2  ✓x = 4 \neq 2 \;\checkmark

בתוך התחום

מי שכופל ב-(x−2)(2−x)(x - 2)(2 - x) מגיע לאותה תשובה, בדרך ארוכה בהרבה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 20

מהו המכנה המשותף הקטן ביותר של 1x−5\frac{1}{x - 5} ו-25−x\frac{2}{5 - x}?

  1. (x−5)2(x - 5)^2
  2. x−5x - 5
  3. (x−5)(5−x)(x - 5)(5 - x)
  4. x2−25x^2 - 25
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B x−5x - 5

Corrigé :

5−x=−(x−5)5 - x = -(x - 5)

אותו גורם בסימן הפוך

25−x=−2x−5\frac{2}{5 - x} = -\frac{2}{x - 5}

המינוס יוצא לפני השבר

שני המכנים הם אותו גורם. המכפלה (x−5)(5−x)(x - 5)(5 - x) עובדת, אבל כפולה בגודלה.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe