Simplifier une fraction algébrique

Sur elev, cette leçon vient avec une vidéo, des exercices corrigés sur le moment et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev
Voir la vidéo de la leçon

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

שבר אלגברי הוא שבר שיש בו נעלם, כמו x2+3xx\frac{x^2 + 3x}{x}.

מצמצמים אותו בדיוק כמו את 69\frac{6}{9}. רק שקודם מפרקים לגורמים את המונה ואת המכנה.

את כלי הפירוק כבר יש: טרינום ונוסחאות הכפל המקוצר. אין כלי חדש — יש סדר חדש.

איך מצמצמים את 69\frac{6}{9}?

Voir la réponse et le corrigé

69=2⋅33⋅3=23\frac{6}{9} = \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} = \frac{2}{3}. מפרקים, ומוחקים את הגורם 3 שלמעלה ושלמטה.

הכלל שקובע הכול

a⋅ba⋅c=bc\frac{a \cdot b}{a \cdot c} = \frac{b}{c}

מותר: aa מוכפל — הוא גורם.

a+ba+c≠bc\frac{a + b}{a + c} \neq \frac{b}{c}

אסור: aa מחובר — הוא איבר בסכום.

מצמצמים רק גורמים — דברים שמוכפלים.

אסור לצמצם איבר מתוך סכום. זו הטעות שחוזרת הכי הרבה בפרק.

כמה זה 5xx\frac{5x}{x}? ואפשר לצמצם את x+5x\frac{x + 5}{x}?

Voir la réponse et le corrigé

5xx=5\frac{5x}{x} = 5 — כאן xx גורם. את x+5x\frac{x + 5}{x} אי אפשר לצמצם: שם xx איבר בסכום.

תחום ההגדרה

מכנה אסור שיהיה אפס. לכן רושמים אילו ערכים אסורים לנעלם: זה תחום ההגדרה.

רושמים אותו לפני הצמצום. אחרי הצמצום הגורם שנמחק כבר לא על הדף.

הטעות ששווה את כל הנקודות.

a2−aa−1=a21=a2\begin{aligned}\frac{a^2 - a}{a - 1} &= \frac{a^2}{1} \\ &= a^2\end{aligned}
a(a−1)a−1=a\frac{a(a - 1)}{a - 1} = a

מחקו את ה-aa ואת ה-11 מתוך סכומים. צמצום מותר רק אחרי פירוק, וכשמדובר בסוגריים שלמות מול סוגריים שלמות.

מתי אסור לצמצם ב-xx?

Voir la réponse et le corrigé

כש-xx עלול להיות אפס — או כשהוא מחובר ולא מוכפל: את x+3x\frac{x+3}{x} אסור «לצמצם» ל-3.

Exercices

Exercice 1

צמצמו את השבר:

a2−aa−1\frac{a^2 - a}{a - 1}
  1. 1a\frac{1}{a}
  2. a2a^2
  3. aa
  4. a−1a - 1
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C aa

Corrigé :

a(a−1)a−1\frac{a(a - 1)}{a - 1}

גורם משותף במונה

=a= a

מצמצמים את הגורם (a−1)(a-1)

תחום הגדרה: a≠1a \neq 1.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

צמצמו את השבר:

m2+mm2−1\frac{m^2 + m}{m^2 - 1}
  1. m+1m−1\frac{m + 1}{m - 1}
  2. mm
  3. mm+1\frac{m}{m + 1}
  4. mm−1\frac{m}{m - 1}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D mm−1\frac{m}{m - 1}

Corrigé :

m(m+1)(m−1)(m+1)\frac{m(m + 1)}{(m - 1)(m + 1)}

גורם משותף למעלה, הפרש ריבועים למטה

=mm−1= \frac{m}{m - 1}

מצמצמים (m+1)(m+1)

תחום הגדרה: m≠1m \neq 1 וגם m≠−1m \neq -1.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

צמצמו את השבר:

k2+4k+43k+6\frac{k^2 + 4k + 4}{3k + 6}
  1. 23\frac{2}{3}
  2. k23\frac{k^2}{3}
  3. k+23k\frac{k + 2}{3k}
  4. k+23\frac{k + 2}{3}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D k+23\frac{k + 2}{3}

Corrigé :

(k+2)23(k+2)\frac{(k + 2)^2}{3(k + 2)}

ריבוע מושלם למעלה, גורם משותף למטה

=k+23= \frac{k + 2}{3}

מצמצמים (k+2)(k+2) אחד

תחום הגדרה: k≠−2k \neq -2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

צמצמו את השבר:

2b2−72b2−7b+6\frac{2b^2 - 72}{b^2 - 7b + 6}
  1. b+6b−1\frac{b + 6}{b - 1}
  2. 2(b−6)b−1\frac{2(b - 6)}{b - 1}
  3. 2(b+6)b−1\frac{2(b + 6)}{b - 1}
  4. 22
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 2(b+6)b−1\frac{2(b + 6)}{b - 1}

Corrigé :

2(b−6)(b+6)(b−6)(b−1)\frac{2(b - 6)(b + 6)}{(b - 6)(b - 1)}

הפרש ריבועים למעלה, טרינום למטה

=2(b+6)b−1= \frac{2(b + 6)}{b - 1}

מצמצמים (b−6)(b-6)

הטרינום: מכפלה 6, סכום 7− — כלומר 6− ו-1−.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

צמצמו את השבר:

a3−aa2−2a+1\frac{a^3 - a}{a^2 - 2a + 1}
  1. a(a+1)a(a+1)
  2. a+1a−1\frac{a + 1}{a - 1}
  3. aa−1\frac{a}{a - 1}
  4. a(a+1)a−1\frac{a(a + 1)}{a - 1}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D a(a+1)a−1\frac{a(a + 1)}{a - 1}

Corrigé :

a(a−1)(a+1)(a−1)2\frac{a(a - 1)(a + 1)}{(a - 1)^2}

גורם משותף ואז הפרש ריבועים

=a(a+1)a−1= \frac{a(a + 1)}{a - 1}

מצמצמים (a−1)(a-1) אחד

תחום הגדרה: a≠1a \neq 1.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

צמצמו את השבר:

k3−6k2−16kk3−4k\frac{k^3 - 6k^2 - 16k}{k^3 - 4k}
  1. k−8k−2\frac{k - 8}{k - 2}
  2. k−8k+2\frac{k - 8}{k + 2}
  3. k+8k+2\frac{k + 8}{k + 2}
  4. k−8k - 8
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A k−8k−2\frac{k - 8}{k - 2}

Corrigé :

k(k2−6k−16)k(k2−4)\frac{k(k^2 - 6k - 16)}{k(k^2 - 4)}

גורם משותף kk בשניהם

k(k−8)(k+2)k(k−2)(k+2)\frac{k(k - 8)(k + 2)}{k(k - 2)(k + 2)}

טרינום למעלה, הפרש ריבועים למטה

=k−8k−2= \frac{k - 8}{k - 2}

מצמצמים kk ו-(k+2)(k+2)

הטרינום: מכפלה 16−, סכום 6− — כלומר 8− ו-2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

מה מותר לצמצם בשבר אלגברי?

  1. כל איבר שמופיע למעלה ולמטה
  2. רק מספרים
  3. רק גורמים
  4. רק נעלמים
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C רק גורמים

Corrigé :

a+ba+c≠bc\frac{a+b}{a+c} \neq \frac{b}{c}

איבר של סכום אינו גורם

זו הסיבה שמפרקים לגורמים לפני הצמצום: הפירוק הופך סכומים למכפלות. דברים שמוכפלים

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

מתי רושמים את תחום ההגדרה?

  1. אף פעם
  2. לפני הצמצום, על סמך המכנה המקורי
  3. רק אם השאלה מבקשת
  4. אחרי הצמצום, על סמך התוצאה
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B לפני הצמצום, על סמך המכנה המקורי

Corrigé :

a(a−1)a−1, a≠1\frac{a(a-1)}{a-1},\ a \neq 1

הגורם שנמחק נעלם מהדף

אחרי הצמצום כבר אי אפשר לדעת שהיה שם (a−1)(a-1) — ולכן התנאי חייב להירשם לפני.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

צמצמו: 6x23x\frac{6x^2}{3x} — מהו המקדם?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

6x23x=2x\frac{6x^2}{3x} = 2x

מצמצמים גם את המקדמים וגם את החזקות: 6:36:3 נותן 2, ו-x2:xx^2:x נותן xx.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

צמצמו: 5(x+2)10(x+2)\frac{5(x+2)}{10(x+2)} — מהו המכנה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

510=12\frac{5}{10} = \frac{1}{2}

הגורם הזהה מצטמצם

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

צמצמו: x2+3xx\frac{x^2 + 3x}{x} =

x ועוד ____.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x ועוד 3.

Corrigé :

x(x+3)x=x+3\frac{x(x+3)}{x} = x + 3

מוציאים גורם משותף — ואז מצמצמים

קודם מפרקים את המונה: x(x+3)x(x+3). עכשיו ה-x גורם כופל, ומותר לצמצם אותו עם המכנה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

מיינו: באילו שברים מותר לצמצם את ה-x — ובאילו אסור?

  • מותר לצמצם ב-x
  • אסור
  • 3x2x\frac{3x^2}{x}
  • 5xx\frac{5x}{x}
  • x2+1x\frac{x^2+1}{x}
  • x2+2xx\frac{x^2+2x}{x}
  • x+2x\frac{x+2}{x}
  • x+77x\frac{x+7}{7x}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x2+2xx\frac{x^2+2x}{x} — מותר לצמצם ב-x · x+2x\frac{x+2}{x} — אסור · 5xx\frac{5x}{x} — מותר לצמצם ב-x · x2+1x\frac{x^2+1}{x} — אסור · 3x2x\frac{3x^2}{x} — מותר לצמצם ב-x · x+77x\frac{x+7}{7x} — אסור

Corrigé :

x+2x≠1+2\frac{x+2}{x} \ne 1 + 2

מצמצמים גורמים, לא מחוברים

צמצום מותר רק כשה-x כופל את כל המונה. ב-x+2x\frac{x+2}{x} ה-2 לא מוכפל ב-x — נגיעה בו משנה את הערך.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 13

צמצום עם שגיאה — מצאו את השורה:

x2+5xx\frac{x^2 + 5x}{x}
=x2+5= x^2 + 5
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : =x2+5= x^2 + 5 → =x+5= x + 5

Corrigé :

x(x+5)x=x+5\frac{x(x+5)}{x} = x + 5

ה-x מתחלק מכל גורם

חילקו רק את האיבר השני. הדרך הבטוחה: להוציא גורם משותף קודם, ואז לצמצם גורם שלם.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 14

חשבו את 2x2+4x2x\frac{2x^2 + 4x}{2x} עבור x=3x = 3:

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5

Corrigé :

2x(x+2)2x=x+2=5\begin{aligned}\frac{2x(x+2)}{2x} &= x + 2 \\ &= 5\end{aligned}

הצמצום לפני ההצבה

מי שמציב ישר מחשב 306\frac{30}{6} — נכון אבל איטי. הצמצום נותן x+2x+2, וההצבה נהיית טריוויאלית.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 15

x(x−2)x−2=x\frac{x(x - 2)}{x - 2} = x לכל ערך של xx.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

x−2≠0  ⇒  x≠2x - 2 \neq 0 \;\Rightarrow\; x \neq 2

תחום ההגדרה של השבר המקורי

x(x−2)x−2=x(x≠2)\frac{x(x - 2)}{x - 2} = x \quad (x \neq 2)

הצמצום נכון — רק בתוך התחום

ב-x=2x = 2 השבר המקורי לא מוגדר, ו-xx דווקא כן. הצמצום לא מוחק את התנאי x≠2x \neq 2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 16

מהו הערך היחיד שאסור להציב ב-aa בשבר a2+3aa2+6a+9\frac{a^2 + 3a}{a^2 + 6a + 9}?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -3

Corrigé :

a(a+3)(a+3)2\frac{a(a + 3)}{(a + 3)^2}

גורם משותף למעלה, ריבוע מושלם למטה

a+3≠0  ⇒  a≠−3a + 3 \neq 0 \;\Rightarrow\; a \neq -3

מה שמאפס את המכנה

aa+3\frac{a}{a + 3}

ואחרי הצמצום

גם אחרי הצמצום a=−3a = -3 נשאר אסור. את a=0a = 0 מותר להציב: הוא מאפס את המונה, לא את המכנה.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe