Le faisceau de parallèles

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

זה משפט תלס בגרסתו הכללית, והוא לא מזכיר משולש בכלל: חבורת ישרים מקבילים חותכת שני ישרים ביחסים שווים.

שימו לב להבדל מההרחבה הראשונה ומשעון החול (ההרחבה השנייה): שם קיבלנו שלושה יחסים שווים, וכאן — שני יחסים בלבד. אין כאן קטע שלישי שאפשר לצרף, כי אין משולש ואין צלע מקבילה שאפשר להשוות אליה. מי שכותב כאן שלושה יחסים — כותב משהו שלא נובע מהמשפט.

ABBC=DEEF\frac{AB}{BC} = \frac{DE}{EF}

כלומר: אם שלושה ישרים מקבילים חותכים שני ישרים אחרים, הקטעים שנוצרים על הישר הראשון עומדים באותו יחס כמו הקטעים שנוצרים על השני.

מקרה פרטי שימושי: אם המקבילים חותכים על ישר אחד קטעים שווים, הם חותכים קטעים שווים גם על השני. זו הדרך לחלק קטע לשלושה חלקים שווים בלי לחשב כלום.

המשפט ההפוך

תלס עובד גם בכיוון השני, וזה שימושי במיוחד בהוכחות: אם היחסים שווים, אפשר להסיק שהישרים מקבילים.

ADDB=AEEC⇒DE∥BC\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} \quad \Rightarrow\quad DE \parallel BC

במשולש ABCABC הנקודה DD על ABAB והנקודה EE על ACAC. נתון AD=3AD = 3, DB=6DB = 6, AE=4AE = 4, EC=8EC = 8. הוכיחו ש-DE∥BCDE \parallel BC.

AD=3AD = 3, DB=6DB = 6

AE=4AE = 4, EC=8EC = 8

DE∥BCDE \parallel BC

ADDB=36=12\frac{AD}{DB} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}

חישוב מהנתונים

AEEC=48=12\frac{AE}{EC} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}

חישוב מהנתונים

ADDB=AEEC\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}

כלל המעבר — שני היחסים שווים ל-12\frac{1}{2}

משפט תלס ההפוך

שימו לב שהמסקנה כאן היא מקבילות, לא אורך. זה מה שהופך את המשפט ההפוך לכלי הוכחה ולא לכלי חישוב.

סדר האיברים ביחס.

ADDB=ECAE\frac{AD}{DB} = \frac{EC}{AE}
ADDB=AEEC\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}

שני היחסים חייבים להיקרא באותו כיוון — הקטע העליון במונה בשני האגפים. היפוך באגף אחד בלבד הופך את המשוואה לשגויה.

שלושה ישרים מקבילים על שני מעבירים — מה שווה?

Voir la réponse et le corrigé

היחסים בין הקטעים המתאימים: המקבילים «מעתיקים» את היחס ממעביר למעביר.

Exercices

Exercice 1

שלושה ישרים מקבילים חותכים שני ישרים. על הישר הראשון נוצרו הקטעים AB=4AB = 4 ו-BC=6BC = 6, ועל השני DE=8DE = 8. מה אורך EFEF?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 12

Corrigé :

ABBC=DEEF\frac{AB}{BC} = \frac{DE}{EF}

חבורת מקבילים חותכת ביחסים שווים

46=8EF\frac{4}{6} = \frac{8}{EF}

On remplace (מציבים)

EF=12EF = 12

כפל בהצלבה

כאן אין משולש בכלל — רק שני ישרים חותכים וחבורת מקבילים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

שלושה ישרים מקבילים חותכים שני ישרים. על הישר הראשון נוצרו הקטעים AB=3AB = 3 ו-BC=5BC = 5, ועל השני DE=9DE = 9. מה אורך EFEF?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 15

Corrigé :

ABBC=DEEF\frac{AB}{BC} = \frac{DE}{EF}

חבורת מקבילים חותכת ביחסים שווים

35=9EF\frac{3}{5} = \frac{9}{EF}

On remplace (מציבים)

EF=15EF = 15

כפל בהצלבה

כאן אין משולש בכלל — רק שני ישרים חותכים וחבורת מקבילים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

שלושה ישרים מקבילים חותכים שני ישרים. על הישר הראשון נוצרו הקטעים AB=6AB = 6 ו-BC=9BC = 9, ועל השני DE=10DE = 10. מה אורך EFEF?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 15

Corrigé :

ABBC=DEEF\frac{AB}{BC} = \frac{DE}{EF}

חבורת מקבילים חותכת ביחסים שווים

69=10EF\frac{6}{9} = \frac{10}{EF}

On remplace (מציבים)

EF=15EF = 15

כפל בהצלבה

כאן אין משולש בכלל — רק שני ישרים חותכים וחבורת מקבילים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

במשולש ABCABC נתון AD=3AD = 3, DB=6DB = 6, AE=4AE = 4, EC=8EC = 8. האם DE∥BCDE \parallel BC?

  1. לא
  2. כן
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B כן

Corrigé :

36=0.5\frac{3}{6} = 0.5

היחס על הצלע הראשונה

48=0.5\frac{4}{8} = 0.5

והיחס על השנייה

היחסים שווים, ולכן לפי המשפט ההפוך הישרים מקבילים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

במשולש ABCABC נתון AD=2AD = 2, DB=6DB = 6, AE=5AE = 5, EC=15EC = 15. האם DE∥BCDE \parallel BC?

  1. לא
  2. כן
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B כן

Corrigé :

26=0.333\frac{2}{6} = 0.333

היחס על הצלע הראשונה

515=0.333\frac{5}{15} = 0.333

והיחס על השנייה

היחסים שווים, ולכן לפי המשפט ההפוך הישרים מקבילים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

במשולש ABCABC נתון AD=4AD = 4, DB=6DB = 6, AE=6AE = 6, EC=8EC = 8. האם DE∥BCDE \parallel BC?

  1. לא
  2. כן
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A לא

Corrigé :

46=0.667\frac{4}{6} = 0.667

היחס על הצלע הראשונה

68=0.75\frac{6}{8} = 0.75

והיחס על השנייה

היחסים שונים, ולכן הישרים אינם מקבילים. המשפט ההפוך דורש שוויון מדויק.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

מה מאפשר להסיק ממשפט תלס ההפוך?

  1. שהמשולש שווה שוקיים
  2. שהישרים מקבילים
  3. את אורך הצלע השלישית
  4. שהמשולשים חופפים
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B שהישרים מקבילים

Corrigé :

יחסים שווים⇒∥\text{יחסים שווים} \Rightarrow \parallel

הכיוון ההפוך

המשפט הישר נותן אורכים, ההפוך נותן מקבילות. שני כלים שונים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

חבורת מקבילים חותכת על ישר אחד שלושה קטעים שווים. מה נכון על הישר השני?

  1. הקטעים עליו כפולים
  2. Impossible de savoir
  3. גם עליו הקטעים שווים
  4. הקטעים עליו שונים תמיד
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C גם עליו הקטעים שווים

Corrigé :

11=xy⇒x=y\begin{aligned}\frac{1}{1} &= \frac{x}{y} \Rightarrow x \\ &= y\end{aligned}

יחס 1 נשמר

זו הדרך הקלאסית לחלק קטע לשלושה חלקים שווים בלי סרגל מדידה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

שלושה מקבילים: על מעביר אחד קטעים 6 ו-9, על השני הקטע הראשון 8. מהו השני?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 12

Corrigé :

69=8x\frac{6}{9} = \frac{8}{x}
6x=72  x=12\begin{aligned}6x &= 72 \ \\ \ x &= 12\end{aligned}

ישרים מקבילים חותכים על שני מעבירים קטעים ביחס שווה — זה משפט תלס.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

קטעים 5 ו-x על מעביר אחד, 10 ו-14 על השני. מהו x?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 7

Corrigé :

5x=1014\frac{5}{x} = \frac{10}{14}
10x=7010x = 70

אותו יחס, כיוון אחר. חשוב לשמור על הסדר: קטע ראשון מול קטע ראשון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

שלושה ישרים מקבילים חותכים שני ישרים. על הישר הראשון נוצרו הקטעים AB=4AB = 4 ו-BC=10BC = 10, ועל השני DE=6DE = 6. השלימו.

לפי משפט תלס ABBC=DEEF\frac{AB}{BC} = \frac{DE}{EF}, ולכן EF=EF = ____, והקטע DFDF כולו הוא ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : לפי משפט תלס ABBC=DEEF\frac{AB}{BC} = \frac{DE}{EF}, ולכן EF=EF = 15, והקטע DFDF כולו הוא 21

Corrigé :

410=6EF\frac{4}{10} = \frac{6}{EF}

מציבים במשפט

4⋅EF=60⇒EF=15\begin{aligned}4 \cdot EF &= 60 \quad \Rightarrow \quad EF \\ &= 15\end{aligned}

כפל בהצלבה

DF=DE+EF=6+15=21\begin{aligned}DF &= DE + EF \\ &= 6 + 15 \\ &= 21\end{aligned}

הקטע כולו הוא סכום שני החלקים

חבורת המקבילים מעתיקה את היחס 4:104 : 10 מהישר הראשון לשני. EF=15EF = 15, ו-DF=6+15=21DF = 6 + 15 = 21.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

במשולש ABCABC הנקודה DD על ABAB והנקודה EE על ACAC. מיינו כל זוג נתונים: האם אפשר להסיק ש-DE∥BCDE \parallel BC?

  • DE∥BCDE \parallel BC
  • DEDE אינו מקביל ל-BCBC
  • AD=2AD = 2, DB=4DB = 4, AE=3AE = 3, EC=6EC = 6
  • AD=3AD = 3, DB=5DB = 5, AE=6AE = 6, EC=9EC = 9
  • AD=5AD = 5, DB=10DB = 10, AE=4AE = 4, EC=8EC = 8
  • AD=6AD = 6, DB=4DB = 4, AE=9AE = 9, EC=7EC = 7
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : AD=2AD = 2, DB=4DB = 4, AE=3AE = 3, EC=6EC = 6 — DE∥BCDE \parallel BC · AD=5AD = 5, DB=10DB = 10, AE=4AE = 4, EC=8EC = 8 — DE∥BCDE \parallel BC · AD=3AD = 3, DB=5DB = 5, AE=6AE = 6, EC=9EC = 9 — DEDE אינו מקביל ל-BCBC · AD=6AD = 6, DB=4DB = 4, AE=9AE = 9, EC=7EC = 7 — DEDE אינו מקביל ל-BCBC

Corrigé :

24=36=12\begin{aligned}\frac{2}{4} &= \frac{3}{6} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

שווים — מקביל

510=48=12\begin{aligned}\frac{5}{10} &= \frac{4}{8} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

שווים — מקביל

35≠69=23\frac{3}{5} \ne \frac{6}{9} = \frac{2}{3}

שונים — לא מקביל

64=32≠97\frac{6}{4} = \frac{3}{2} \ne \frac{9}{7}

שונים — לא מקביל

משווים ADDB\frac{AD}{DB} ל-AEEC\frac{AE}{EC}. כשהיחסים שווים, DE∥BCDE \parallel BC לפי משפט תלס ההפוך. כשהם שונים, DEDE אינו מקביל ל-BCBC — אילו היה מקביל, משפט תלס היה נותן יחסים שווים.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe