La méthode du trinôme

Sur elev, cette leçon vient avec une vidéo, des exercices corrigés sur le moment et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev
Voir la vidéo de la leçon

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

שיטת הטרינום מפרקת ביטוי ריבועי לשני סוגריים:

x2+bx+c=(x+m)(x+n)\begin{gathered} x^2 + \textcolor{#1f5fae}{b}x + \textcolor{#9a5b12}{c} \\ = (x + m)(x + n) \end{gathered}

היא עובדת רק כשהמקדם של x2x^2 הוא 1. את התנאי הזה בודקים לפני הכול.

כל העבודה: למצוא את שני המספרים mm ו-nn. יש להם בדיוק שני תנאים:

m⋅n=cm \cdot n = \textcolor{#9a5b12}{c}

המכפלה שלהם היא האיבר החופשי.

m+n=bm + n = \textcolor{#1f5fae}{b}

הסכום שלהם הוא המקדם של xx.

רואים את זה במלבן

בלי ציור: עוברים על הזוגות שמכפלתם c\textcolor{#9a5b12}{c}, עד שהסכום מתאים.

פרקו: x2+7x+12x^2 + \textcolor{#1f5fae}{7}x + \textcolor{#9a5b12}{12}

Voir la réponse et le corrigé

(x+3)(x+4)(x+3)(x+4) — מחפשים זוג שמכפלתו 12 וסכומו 7. שלוש וארבע.

סדר החיפוש

מתחילים תמיד מהמכפלה, לא מהסכום.

למכפלה יש מעט זוגות, ואפשר לעבור על כולם. לסכום יש אינסוף זוגות.

למה מתחילים מהמכפלה 12\textcolor{#9a5b12}{12}, ולא מהסכום 7\textcolor{#1f5fae}{7}?

Voir la réponse et le corrigé

למכפלה 12 יש רק שלושה זוגות חיוביים: 1⋅121 \cdot 12, 2⋅62 \cdot 6, 3⋅43 \cdot 4. לסכום 7 יש אינסוף: 3+43 + 4, 10+(−3)10 + (-3), 100+(−93)100 + (-93)…

הסימנים חוסכים חצי מהחיפוש. קוראים אותם לפני שמחפשים.

ומה עם x2−x−12x^2 \mathbin{\textcolor{#1f5fae}{-}} x - \textcolor{#9a5b12}{12}?

Voir la réponse et le corrigé

(x−4)(x+3)(x-4)(x+3) — מכפלה −12-12, סכום −1-1. סימנים שונים כשמכפלת הזוג שלילית.

התנאי שנשכח לפני שמתחילים.

2x2+6x+4=(x+?)(x+?)2x^2 + 6x + 4 = (x+?)(x+?)
2(x2+3x+2)=2(x+2)(x+1)2(x^2 + 3x + 2) = 2(x+2)(x+1)

כשהמקדם של x2x^2 אינו 1, השיטה לא עובדת כמו שהיא. קודם מוציאים גורם משותף, ורק אז מפעילים טרינום על מה שנשאר.

וכשהמקדם של x2x^2 אינו 1?

מנסים לחלק את כל האיברים במקדם של x2x^2.

כולם מתחלקים? מוציאים אותו מחוץ לסוגריים, ועושים טרינום על מה שנשאר בפנים.

אפילו איבר אחד לא מתחלק? הטרינום לא זמין. עוברים לנוסחת השורשים, שעובדת תמיד.

נוסחת השורשים

x1,2=−b±b2−4ac2ax_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

זו נוסחת השורשים, כמו במשוואות ריבועיות.

את aa, bb ו-cc לוקחים מהצורה ax2+bx+cax^2 + bx + c, עם הסימנים שלהם.

שתי הטעויות בנוסחת השורשים.

x1,2=−b±b2−4ac2x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2}
x1,2=−b±b2−4ac2ax_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

המכנה הוא 2a2a. כשהמקדם אינו 1 — וזה בדיוק המקרה שבו משתמשים בנוסחה — שכחת ה-aa הורסת את התשובה.

x1,2=−b2a±b2−4acx_{1,2} = \frac{-b}{2a} \pm \sqrt{b^2 - 4ac}
x1,2=−b±b2−4ac2ax_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

הקו של השבר עובר מתחת לכל המונה: גם −b-b וגם השורש נמצאים מעליו. זו טעות שנראית קטנה ומשנה את שתי התשובות.

זה סדר העבודה, תמיד:

11

המקדם של x2x^2 הוא 1? טרינום.

22

לא, אבל גורם משותף הופך אותו ל-1? מוציאים, ואז טרינום.

33

אחרת: נוסחת השורשים.

Exercices

Exercice 1

פרקו לגורמים:

Voir la réponse et le corrigé

Corrigé :

m⋅n=5m+n=6\begin{aligned}m \cdot n &= \textcolor{#9a5b12}{5} \quad \\ \quad m + n &= \textcolor{#1f5fae}{6}\end{aligned}

שני התנאים: המכפלה היא האיבר החופשי, והסכום הוא המקדם של xx

5×1=55 \times 1 = 5

זוג שמכפלתו מתאימה

5+1=65 + 1 = 6

והסכום מתאים גם הוא

x2+6x+5=(x+5)(x+1)x^2 + 6x + 5 = (x + 5)(x + 1)

וזה הפירוק

המכפלה חיובית והסכום חיובי, ולכן שני המספרים חיוביים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

פרקו לגורמים:

Voir la réponse et le corrigé

Corrigé :

m⋅n=6m+n=5\begin{aligned}m \cdot n &= \textcolor{#9a5b12}{6} \quad \\ \quad m + n &= \textcolor{#1f5fae}{5}\end{aligned}

שני התנאים: המכפלה היא האיבר החופשי, והסכום הוא המקדם של xx

3×2=63 \times 2 = 6

זוג שמכפלתו מתאימה

3+2=53 + 2 = 5

והסכום מתאים גם הוא

x2+5x+6=(x+3)(x+2)x^2 + 5x + 6 = (x + 3)(x + 2)

וזה הפירוק

המכפלה חיובית והסכום חיובי, ולכן שני המספרים חיוביים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

פרקו לגורמים:

Voir la réponse et le corrigé

Corrigé :

m⋅n=12m+n=7\begin{aligned}m \cdot n &= \textcolor{#9a5b12}{12} \quad \\ \quad m + n &= \textcolor{#1f5fae}{7}\end{aligned}

שני התנאים: המכפלה היא האיבר החופשי, והסכום הוא המקדם של xx

4×3=124 \times 3 = 12

זוג שמכפלתו מתאימה

4+3=74 + 3 = 7

והסכום מתאים גם הוא

x2+7x+12=(x+4)(x+3)x^2 + 7x + 12 = (x + 4)(x + 3)

וזה הפירוק

המכפלה חיובית והסכום חיובי, ולכן שני המספרים חיוביים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

פרקו לגורמים:

Voir la réponse et le corrigé

Corrigé :

m⋅n=12m+n=8\begin{aligned}m \cdot n &= \textcolor{#9a5b12}{12} \quad \\ \quad m + n &= \textcolor{#1f5fae}{8}\end{aligned}

שני התנאים: המכפלה היא האיבר החופשי, והסכום הוא המקדם של xx

6×2=126 \times 2 = 12

זוג שמכפלתו מתאימה

6+2=86 + 2 = 8

והסכום מתאים גם הוא

x2+8x+12=(x+6)(x+2)x^2 + 8x + 12 = (x + 6)(x + 2)

וזה הפירוק

המכפלה חיובית והסכום חיובי, ולכן שני המספרים חיוביים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

פרקו לגורמים:

Voir la réponse et le corrigé

Corrigé :

m⋅n=12m+n=−7\begin{aligned}m \cdot n &= \textcolor{#9a5b12}{12} \quad \\ \quad m + n &= \textcolor{#1f5fae}{-7}\end{aligned}

שני התנאים: המכפלה היא האיבר החופשי, והסכום הוא המקדם של xx

(−3)×(−4)=12(-3) \times (-4) = 12

זוג שמכפלתו מתאימה

(−3)+(−4)=−7(-3) + (-4) = -7

והסכום מתאים גם הוא

x2−7x+12=(x−3)(x−4)x^2 - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4)

וזה הפירוק

המכפלה חיובית והסכום שלילי, ולכן שני המספרים שליליים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

פרקו לגורמים:

Voir la réponse et le corrigé

Corrigé :

m⋅n=5m+n=−6\begin{aligned}m \cdot n &= \textcolor{#9a5b12}{5} \quad \\ \quad m + n &= \textcolor{#1f5fae}{-6}\end{aligned}

שני התנאים: המכפלה היא האיבר החופשי, והסכום הוא המקדם של xx

(−1)×(−5)=5(-1) \times (-5) = 5

זוג שמכפלתו מתאימה

(−1)+(−5)=−6(-1) + (-5) = -6

והסכום מתאים גם הוא

x2−6x+5=(x−1)(x−5)x^2 - 6x + 5 = (x - 1)(x - 5)

וזה הפירוק

המכפלה חיובית והסכום שלילי, ולכן שני המספרים שליליים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

פרקו לגורמים:

Voir la réponse et le corrigé

Corrigé :

m⋅n=−14m+n=5\begin{aligned}m \cdot n &= \textcolor{#9a5b12}{-14} \quad \\ \quad m + n &= \textcolor{#1f5fae}{5}\end{aligned}

שני התנאים: המכפלה היא האיבר החופשי, והסכום הוא המקדם של xx

7×(−2)=−147 \times (-2) = -14

זוג שמכפלתו מתאימה

7+(−2)=57 + (-2) = 5

והסכום מתאים גם הוא

x2+5x−14=(x+7)(x−2)x^2 + 5x - 14 = (x + 7)(x - 2)

וזה הפירוק

המכפלה שלילית, ולכן הסימנים שונים: מספר אחד חיובי ואחד שלילי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

פרקו לגורמים:

Voir la réponse et le corrigé

Corrigé :

m⋅n=−15m+n=2\begin{aligned}m \cdot n &= \textcolor{#9a5b12}{-15} \quad \\ \quad m + n &= \textcolor{#1f5fae}{2}\end{aligned}

שני התנאים: המכפלה היא האיבר החופשי, והסכום הוא המקדם של xx

5×(−3)=−155 \times (-3) = -15

זוג שמכפלתו מתאימה

5+(−3)=25 + (-3) = 2

והסכום מתאים גם הוא

x2+2x−15=(x+5)(x−3)x^2 + 2x - 15 = (x + 5)(x - 3)

וזה הפירוק

המכפלה שלילית, ולכן הסימנים שונים: מספר אחד חיובי ואחד שלילי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

פרקו לגורמים:

Voir la réponse et le corrigé

Corrigé :

m⋅n=−6m+n=−5\begin{aligned}m \cdot n &= \textcolor{#9a5b12}{-6} \quad \\ \quad m + n &= \textcolor{#1f5fae}{-5}\end{aligned}

שני התנאים: המכפלה היא האיבר החופשי, והסכום הוא המקדם של xx

1×(−6)=−61 \times (-6) = -6

זוג שמכפלתו מתאימה

1+(−6)=−51 + (-6) = -5

והסכום מתאים גם הוא

x2−5x−6=(x+1)(x−6)x^2 - 5x - 6 = (x + 1)(x - 6)

וזה הפירוק

המכפלה שלילית, ולכן הסימנים שונים: מספר אחד חיובי ואחד שלילי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

פרקו לגורמים:

Voir la réponse et le corrigé

Corrigé :

m⋅n=−32m+n=4\begin{aligned}m \cdot n &= \textcolor{#9a5b12}{-32} \quad \\ \quad m + n &= \textcolor{#1f5fae}{4}\end{aligned}

שני התנאים: המכפלה היא האיבר החופשי, והסכום הוא המקדם של xx

8×(−4)=−328 \times (-4) = -32

זוג שמכפלתו מתאימה

8+(−4)=48 + (-4) = 4

והסכום מתאים גם הוא

x2+4x−32=(x+8)(x−4)x^2 + 4x - 32 = (x + 8)(x - 4)

וזה הפירוק

המכפלה שלילית, ולכן הסימנים שונים: מספר אחד חיובי ואחד שלילי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

מתי מותר להשתמש בשיטת הטרינום?

  1. רק כשאין איבר חופשי
  2. כשהמקדם של x2x^2 הוא 1
  3. תמיד
  4. רק כשכל המקדמים חיוביים
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B כשהמקדם של x2x^2 הוא 1

Corrigé :

x2+bx+cx^2 + bx + c

המקדם הראשון הוא 1

אחרת מוציאים קודם גורם משותף, ורק אז מפעילים את השיטה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

בפירוק x2+6x+5x^2 + 6x + 5, אילו שני מספרים מחפשים?

  1. שהפרשם 5 וסכומם 6
  2. שמכפלתם 5 וסכומם 6
  3. שמכפלתם 6 וסכומם 5
  4. שמכפלתם 11
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B שמכפלתם 5 וסכומם 6

Corrigé :

m⋅n=c=5\begin{aligned}m \cdot n &= c \\ &= 5\end{aligned}

המכפלה היא האיבר החופשי

m+n=b=6\begin{aligned}m + n &= b \\ &= 6\end{aligned}

והסכום הוא המקדם של x

החלפה בין b ל-c היא הטעות הראשונה בפרק. c הוא זה שנמצא בסוף.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 13

האיבר החופשי cc שלילי. מה זה אומר על שני המספרים?

  1. שניהם שליליים
  2. Impossible de savoir
  3. שניהם חיוביים
  4. אחד חיובי ואחד שלילי
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D אחד חיובי ואחד שלילי

Corrigé :

m⋅n<0m \cdot n < 0

מכפלה שלילית = סימנים שונים

קריאת הסימנים לפני החיפוש חוסכת חצי מהזוגות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 14

התאימו לכל ביטוי את הפירוק שלו.

  • x2+7x+10x^2 + 7x + 10
  • x2+11x+10x^2 + 11x + 10
  • x2−7x+10x^2 - 7x + 10
  • x2+3x−10x^2 + 3x - 10
  • (x−2)(x−5)(x - 2)(x - 5)
  • (x+10)(x+1)(x + 10)(x + 1)
  • (x+5)(x−2)(x + 5)(x - 2)
  • (x+5)(x+2)(x + 5)(x + 2)
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x2+7x+10x^2 + 7x + 10 — (x+5)(x+2)(x + 5)(x + 2) · x2+11x+10x^2 + 11x + 10 — (x+10)(x+1)(x + 10)(x + 1) · x2−7x+10x^2 - 7x + 10 — (x−2)(x−5)(x - 2)(x - 5) · x2+3x−10x^2 + 3x - 10 — (x+5)(x−2)(x + 5)(x - 2)

Corrigé :

5⋅2=105+2=7\begin{aligned}5 \cdot 2 &= 10 \quad \\ \quad 5 + 2 &= 7\end{aligned}

מכפלה 10 וסכום 7

10⋅1=1010+1=11\begin{aligned}10 \cdot 1 &= 10 \quad \\ \quad 10 + 1 &= 11\end{aligned}

מכפלה 10 וסכום 11

(−5)⋅(−2)=10−5+(−2)=−7\begin{aligned}(-5) \cdot (-2) &= 10 \quad \\ \quad -5 + (-2) &= -7\end{aligned}

מכפלה חיובית וסכום שלילי: שניהם שליליים

5⋅(−2)=−105+(−2)=3\begin{aligned}5 \cdot (-2) &= -10 \quad \\ \quad 5 + (-2) &= 3\end{aligned}

מכפלה שלילית: סימנים שונים

לשלושה ביטויים אותה מכפלה, 10, והסכום הוא שמבדיל ביניהם. מי שבודק רק את המכפלה מתבלבל.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 15

בפירוק של x2−9x+20x^2 - 9x + 20 שני המספרים שליליים.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

20>0\textcolor{#9a5b12}{20} > 0

המכפלה חיובית: שני המספרים באותו סימן

−9<0\textcolor{#1f5fae}{-9} < 0

הסכום שלילי: שניהם שליליים

x2−9x+20=(x−4)(x−5)x^2 - 9x + 20 = (x - 4)(x - 5)

ואכן: −4-4 ו-−5-5

מכפלה חיובית לא אומרת שהמספרים חיוביים. היא אומרת רק שהסימנים שווים, והסכום קובע איזה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 16

מיינו לפי הסימנים של שני המספרים בפירוק.

  • אותו סימן
  • סימנים שונים
  • x2−5x+6x^2 - 5x + 6
  • x2−8x+15x^2 - 8x + 15
  • x2−x−6x^2 - x - 6
  • x2+2x−15x^2 + 2x - 15
  • x2+5x+6x^2 + 5x + 6
  • x2+x−6x^2 + x - 6
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x2+5x+6x^2 + 5x + 6 — אותו סימן · x2−5x+6x^2 - 5x + 6 — אותו סימן · x2+x−6x^2 + x - 6 — סימנים שונים · x2−x−6x^2 - x - 6 — סימנים שונים · x2−8x+15x^2 - 8x + 15 — אותו סימן · x2+2x−15x^2 + 2x - 15 — סימנים שונים

Corrigé :

m⋅n>0m \cdot n > 0

מכפלה חיובית: אותו סימן

m⋅n<0m \cdot n < 0

מכפלה שלילית: סימנים שונים

מסתכלים רק על הסימן של האיבר החופשי cc. הסימן של bb לא משנה את המיון: הוא קובע רק איזה סימן.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 17

פירוק עם שגיאה — מצאו את השורה:

x2+2x−24x^2 + 2x - 24
m⋅n=−24m+n=2\begin{aligned}m \cdot n &= -24 \quad \\ \quad m + n &= 2\end{aligned}
6⋅(−4)=−246+(−4)=2\begin{aligned}6 \cdot (-4) &= -24 \quad \\ \quad 6 + (-4) &= 2\end{aligned}
(x−6)(x+4)(x - 6)(x + 4)
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : (x−6)(x+4)(x - 6)(x + 4) → (x+6)(x−4)(x + 6)(x - 4)

Corrigé :

m=6  n=−4\begin{aligned}m &= 6 \ \\ \ n &= -4\end{aligned}

הזוג נכון

(x+6)(x−4)=x2+2x−24(x + 6)(x - 4) = x^2 + 2x - 24

ונכנס לסוגריים בסימנים שלו

הזוג נמצא נכון, אבל הסימנים התהפכו בדרך לסוגריים. בדיקה בפתיחה: (x−6)(x+4)=x2−2x−24(x - 6)(x + 4) = x^2 - 2x - 24, ולא +2x+2x.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 18

את 2x2+7x+62x^2 + 7x + 6 אפשר לחלק ב-2, ואז לפרק בשיטת הטרינום.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

2x2:2=x26:2=3\begin{aligned}2x^2 : 2 &= x^2 \quad \\ \quad 6 : 2 &= 3\end{aligned}

שני איברים מתחלקים

7x:2=3.5x7x : 2 = 3.5x

אבל 7 לא מתחלק ב-2

מספיק איבר אחד שלא מתחלק כדי שהטרינום לא יהיה זמין. כאן עוברים לנוסחת השורשים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 19

פתרו בנוסחת השורשים: 2x2−5x+2=02x^2 - 5x + 2 = 0. מהו הפתרון הגדול?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

a=2  b=−5  c=2\begin{aligned}a &= 2 \ \\ \ b &= -5 \ \\ \ c &= 2\end{aligned}

המקדמים, עם הסימנים

x1,2=5±(−5)2−4⋅2⋅22⋅2x_{1,2} = \dfrac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2}

−b-b הוא +5+5

x1,2=5±94=5±34\begin{aligned}x_{1,2} &= \dfrac{5 \pm \sqrt{9}}{4} \\ &= \dfrac{5 \pm 3}{4}\end{aligned}

מתחת לשורש: 25−16=925 - 16 = 9

x1=84=2x2=24=0.5\begin{aligned}x_1 &= \dfrac{8}{4} \\ &= 2 \quad \\ \quad x_2 &= \dfrac{2}{4} \\ &= 0.5\end{aligned}

שני הפתרונות

הטעות האורבת: לכתוב −5-5 במקום −b-b. כש-bb שלילי, −b-b חיובי.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe