La hauteur, et comment la tracer

Sur elev, cette leçon vient avec une vidéo, des exercices corrigés sur le moment et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev
Voir la vidéo de la leçon

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

גובה הוא לא «הקו שנראה גבוה». יש לו הגדרה מדויקת.

גובה הוא קטע שיוצא מקודקוד, ומאונך לצלע שממול. ההגדרה זהה במשולש ובמקבילית.

∙\bullet

יוצא מקודקוד — לא מאמצע הצלע ולא מנקודה אקראית.

⊥\perp

מאונך לצלע שממול — זווית של 90° בדיוק.

□\square

מסומן בריבוע קטן בנקודת המפגש. בלי הסימון, המורה לא רואה שזה גובה.

הכדור שנופל: הקודקוד מחזיק כדור, והצלע שממול היא הרצפה. הכדור נופל ישר למטה — המסלול שלו הוא הגובה.

ארבעה צעדים, בסרגל

באיזה רגע מותר להעביר את הקו?

Voir la réponse et le corrigé

רק כשהצלע של המשולש הישר נוגעת בקודקוד. לפני כן הקו לא עובר דרכו — והוא לא גובה.

שלושה גבהים, לא אחד

למשולש יש שלושה גבהים — אחד מכל קודקוד, אל הצלע שממול.

לכן כשכתוב «הגובה», שואלים תמיד: גובה לאיזו צלע?

הגובה והבסיס הם זוג. בוחרים בסיס — והגובה הוא האנך שיורד אליו. גובה של צלע אחרת ייתן שטח שגוי.

כשהגובה יוצא מחוץ לצורה

במשולש קהה-זווית, שני גבהים נופלים מחוץ למשולש.

זה תקין לגמרי: מאריכים את הצלע בקו מקווקו, ומורידים את האנך אל ההמשך.

במשולש קהה-זווית — כמה גבהים נופלים מחוץ למשולש?

Voir la réponse et le corrigé

שניים. רק הגובה מהקודקוד של הזווית הקהה נשאר בפנים. גובה שבחוץ עובד בנוסחת השטח בדיוק כרגיל.

האם זה גובה? שלוש בדיקות

כשמקבלים סרטוט עם קטע מודגש, לא מנחשים לפי איך שהוא נראה. שואלים שלוש שאלות:

11

יוצא מקודקוד?

22

מגיע אל הצלע שממול, או אל המשכה?

33

מאונך לה — יש ריבוע קטן?

שלושה «כן» — גובה. «לא» אחד מספיק — לא גובה.

שלוש הטעויות של הסימון.

קו מהקודקוד לאמצע הצלע\text{קו מהקודקוד לאמצע הצלע}
קו מהקודקוד, מאונך לצלע\text{קו מהקודקוד, מאונך לצלע}

קו לאמצע הצלע הוא תיכון, לא גובה. שני קטעים שונים לגמרי — הם מתלכדים רק במשולש שווה שוקיים.

הצלע הנטויה של המקבילית\text{הצלע הנטויה של המקבילית}
אנך מהקודקוד אל הצלע שממול\text{אנך מהקודקוד אל הצלע שממול}

במקבילית הצלע הנטויה אינה הגובה. הגובה קצר ממנה, והוא נמדד בזווית ישרה.

גובה בלי ריבוע קטן\text{גובה בלי ריבוע קטן}
גובה עם סימון של 90°\text{גובה עם סימון של 90°}

הסימון הוא חלק מהתשובה: הוא מה שמראה שהקו אכן מאונך, ולא סתם נראה כך.

מה שלושת הסימנים שהופכים קטע לגובה?

Voir la réponse et le corrigé

יוצא מקודקוד, מאונך לצלע שממול, ומסומן בריבוע קטן במפגש. חסר אחד — זה לא גובה.

Exercices

Exercice 1

מהו גובה במשולש?

  1. קטע מקודקוד לאמצע הצלע שממול
  2. קטע מקודקוד, מאונך לצלע שממול
  3. הצלע הארוכה ביותר
  4. קטע שמחבר שתי נקודות אמצע
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B קטע מקודקוד, מאונך לצלע שממול

Corrigé :

⊥\perp

האנכיות היא התנאי

קטע לאמצע הצלע הוא תיכון; קטע בין שתי נקודות אמצע הוא קטע אמצעים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

מה חייב להופיע בשרטוט כדי שהקו ייחשב גובה?

  1. חץ בקצה
  2. האות h
  3. ריבוע קטן שמסמן 90°
  4. קו מקווקו
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C ריבוע קטן שמסמן 90°

Corrigé :

90°90°

הסימון הוא ההוכחה שהקו מאונך

בלי הסימון, «נראה מאונך» אינו מספיק — לא בשרטוט ולא בהוכחה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

התאימו כל מושג למה שהוא

  • גובה
  • תיכון
  • ריבוע קטן
  • קו מקווקו
  • ההמשך של צלע
  • הסימן של זווית ישרה
  • קטע מקודקוד אל אמצע הצלע שממול
  • קטע מקודקוד, מאונך לצלע שממול
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : גובה — קטע מקודקוד, מאונך לצלע שממול · תיכון — קטע מקודקוד אל אמצע הצלע שממול · ריבוע קטן — הסימן של זווית ישרה · קו מקווקו — ההמשך של צלע

Corrigé :

⊥\perp

הגובה מאונך; התיכון הולך לאמצע

גובה ותיכון יוצאים שניהם מקודקוד — אבל רק הגובה מאונך לצלע.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

סדרו את הצעדים של שרטוט גובה בסרגל

  • מחליקים את המשולש הישר עד הקודקוד
  • מניחים סרגל לאורך הבסיס
  • מעבירים את הקו ומסמנים ריבוע קטן
  • מצמידים אליו משולש ישר בזווית ישרה
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : מניחים סרגל לאורך הבסיס · מצמידים אליו משולש ישר בזווית ישרה · מחליקים את המשולש הישר עד הקודקוד · מעבירים את הקו ומסמנים ריבוע קטן

Corrigé :

1→2→3→41 \to 2 \to 3 \to 4

סרגל, משולש ישר, החלקה, קו

קודם הסרגל ואחריו המשולש הישר. מעבירים את הקו רק כשהמשולש נוגע בקודקוד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

כמה גבהים יש למשולש?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

33

אחד מכל קודקוד

ולכן בשאלה תמיד צריך לדעת לאיזו צלע הגובה מתייחס.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

106
בסיס 10, והגובה אליו 6

במשולש הבסיס 10 ס״מ והגובה אליו 6 ס״מ. מה השטח בסמ״ר?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 30

Corrigé :

S=a×h2=10×62\begin{aligned}S &= \frac{a \times h}{2} \\ &= \frac{10 \times 6}{2}\end{aligned}

הבסיס והגובה שמותאם לו

=30= 30

Et on calcule (חשב)

הבסיס והגובה הם זוג — הגובה חייב להיות זה שיורד אל הבסיס הזה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

85
בסיס 8, והגובה אליו 5

במשולש הבסיס 8 ס״מ והגובה אליו 5 ס״מ. מה השטח בסמ״ר?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 20

Corrigé :

S=a×h2=8×52\begin{aligned}S &= \frac{a \times h}{2} \\ &= \frac{8 \times 5}{2}\end{aligned}

הבסיס והגובה שמותאם לו

=20= 20

Et on calcule (חשב)

הבסיס והגובה הם זוג — הגובה חייב להיות זה שיורד אל הבסיס הזה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

127
בסיס 12, והגובה אליו 7

במשולש הבסיס 12 ס״מ והגובה אליו 7 ס״מ. מה השטח בסמ״ר?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 42

Corrigé :

S=a×h2=12×72\begin{aligned}S &= \frac{a \times h}{2} \\ &= \frac{12 \times 7}{2}\end{aligned}

הבסיס והגובה שמותאם לו

=42= 42

Et on calcule (חשב)

הבסיס והגובה הם זוג — הגובה חייב להיות זה שיורד אל הבסיס הזה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

94
בסיס 9, והגובה אליו 4

במשולש הבסיס 9 ס״מ והגובה אליו 4 ס״מ. מה השטח בסמ״ר?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 18

Corrigé :

S=a×h2=9×42\begin{aligned}S &= \frac{a \times h}{2} \\ &= \frac{9 \times 4}{2}\end{aligned}

הבסיס והגובה שמותאם לו

=18= 18

Et on calcule (חשב)

הבסיס והגובה הם זוג — הגובה חייב להיות זה שיורד אל הבסיס הזה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

במקבילית, האם הצלע הנטויה היא הגובה?

  1. לא
  2. רק אם המקבילית נטויה מעט
  3. רק במעוין
  4. כן, תמיד
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A לא

Corrigé :

h<הצלע הנטויהh < \text{הצלע הנטויה}

האנך הוא המרחק הקצר ביותר

זו הטעות שהופכת כל חישוב שטח של מקבילית לשגוי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

במקבילית הבסיס 9 ס״מ והגובה אליו 4 ס״מ. מה השטח בסמ״ר?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 36

Corrigé :

S=a×h=9×4=36\begin{aligned}S &= a \times h \\ &= 9 \times 4 \\ &= 36\end{aligned}

במקבילית אין חלוקה ב-2

המשולש הוא חצי מקבילית — ולכן שם מחלקים ב-2, וכאן לא.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

במקבילית הבסיס 12 ס״מ והגובה אליו 5 ס״מ. מה השטח בסמ״ר?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 60

Corrigé :

S=a×h=12×5=60\begin{aligned}S &= a \times h \\ &= 12 \times 5 \\ &= 60\end{aligned}

במקבילית אין חלוקה ב-2

המשולש הוא חצי מקבילית — ולכן שם מחלקים ב-2, וכאן לא.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 13

דני חישב את שטח המשולש שבסרטוט. שורה אחת שגויה — מצאו אותה

a=10a = 10
h=8h = 8
S=10×82=40\begin{aligned}S &= \frac{10 \times 8}{2} \\ &= 40\end{aligned}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : h=8h = 8 → h=6h = 6

Corrigé :

h=6h = 6

הגובה לצלע ABAB הוא CDCD, המאונך

S=10×62=30\begin{aligned}S &= \frac{10 \times 6}{2} \\ &= 30\end{aligned}

ואז השטח

8 הוא אורך הצלע ACAC, שנוטה. הגובה הוא הקטע המאונך, 6.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 14

במשולש ישר-זווית — כמה מתוך שלושת הגבהים הם בעצם צלעות של המשולש?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

22

שני הניצבים

הניצבים מאונכים זה לזה, לכן כל אחד הוא הגובה אל השני. הגובה השלישי, אל היתר, הוא קטע חדש.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 15

הגובה יצא מחוץ למשולש. מה זה אומר?

  1. שצריך לבחור קודקוד אחר
  2. שהמשולש קהה-זווית
  3. שיש טעות בשרטוט
  4. שאין לו גובה
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B שהמשולש קהה-זווית

Corrigé :

מאריכים את הצלע\text{מאריכים את הצלע}

ומורידים אליה את האנך

הגובה נמדד עד הקו המקווקו — הוא עדיין גובה לכל דבר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 16

Complétez (השלימו)

למשולש יש ____ גבהים. במשולש קהה-זווית, ____ מהם נופלים מחוץ למשולש.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : למשולש יש 3 גבהים. במשולש קהה-זווית, 2 מהם נופלים מחוץ למשולש.

Corrigé :

33

אחד מכל קודקוד

22

רק הגובה מהזווית הקהה נשאר בפנים

גובה שבחוץ הוא גובה רגיל — מורידים אותו אל המשך הצלע.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 17

במשולש קהה-הזווית ABCABC, הגובה CDCD נופל על המשך הצלע ABAB. AB=6AB = 6 ס״מ, CD=4CD = 4 ס״מ. מה שטח המשולש, בסמ״ר?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 12

Corrigé :

S=6×42S = \frac{6 \times 4}{2}

הבסיס ABAB והגובה אליו

=12= 12

הגובה נופל בחוץ — אבל הוא עדיין הגובה לצלע ABAB. הבסיס הוא ABAB בלבד, 6, לא ABAB יחד עם ההמשך.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 18

ABCD

במשולש קהה-הזווית ABCABC האריכו את הצלע ABAB בקו מקווקו. הקטע המודגש CDCD הוא גובה במשולש.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

⊥\perp

אל ההמשך — עדיין גובה

הגובה מ-CC חייב להיות מאונך לצלע ABAB. כשהמשולש קהה-זווית, נקודת המפגש נופלת מעבר לקצה הצלע — אז מאריכים אותה בקו מקווקו ומורידים את האנך אל ההמשך. הריבוע הקטן ב-DD מאשר: זו זווית ישרה, וזה גובה לכל דבר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 19

ABCD

במשולש ABCABC שבסרטוט, הקטע המודגש CDCD הוא גובה במשולש.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

✓\checkmark

קודקוד + צלע שממול + ריבוע קטן

כשבודקים אם קטע הוא גובה, עוברים תמיד על שלוש שאלות: מקודקוד? כן, מ-CC. אל הצלע שממול? כן, אל ABAB. מאונך? כן — הריבוע הקטן בנקודה DD אומר בדיוק את זה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 20

ABCD
הנקודה DD היא אמצע הצלע ABAB.

הנקודה DD היא אמצע הצלע ABAB. הקטע המודגש CDCD הוא גובה במשולש ABCABC.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

תיכון≠גובה\text{תיכון} \ne \text{גובה}

לאמצע — לא בזווית ישרה

קטע מקודקוד אל אמצע הצלע שממול נקרא תיכון. גובה נמדד בזווית ישרה, ולא אכפת לו בכלל איפה האמצע. שני הקטעים מתלכדים רק במשולש שווה-שוקיים — וכאן רואים בבירור שהקטע נוטה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 21

ABCDE
הנקודה DD יושבת על הצלע ACAC — לא על קודקוד.

הנקודה DD נמצאת על הצלע ACAC. הקטע המודגש DEDE מאונך לצלע ABAB — והוא גובה במשולש ABCABC.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

לא מקודקוד\text{לא מקודקוד}

מאונך — אבל יוצא מנקודה סתמית

זה הפח שהריבוע הקטן טומן: רואים 90° וממהרים להגיד «גובה». אבל גובה של משולש חייב לצאת מקודקוד. קטע מאונך שיוצא מנקודה אחרת הוא סתם אנך — שימושי לפעמים, גובה הוא לא.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 22

ABC

במשולש ישר-הזווית ABCABC הזווית AA ישרה. הצלע המודגשת ACAC היא גם גובה במשולש.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

ניצב=גובה\text{ניצב} = \text{גובה}

הצלע עצמה עומדת בהגדרה

מפתיע, אבל עומד בכל שלוש הבדיקות: הקטע ACAC יוצא מהקודקוד CC, נגמר על הצלע ABAB (בנקודה AA), והזווית ביניהם ישרה. גובה לא חייב להיות קו «חדש» בתוך הצורה — לפעמים צלע קיימת עושה את העבודה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 23

ABCD

הקטע המודגש CDCD יורד «ישר למטה» מהקודקוד CC אל הצלע ABAB. הוא גובה במשולש ABCABC.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

למטה≠⊥\text{למטה} \ne \perp

גובה נמדד מהצלע, לא מהרצפה

הטעות הנפוצה ביותר: לחשוב שגובה תמיד «עומד» כמו קיר. אבל גובה מאונך לצלע — לא לרצפת הדף. כשהבסיס משופע, גם הגובה שלו משופע. סובבו את המחברת עד שהצלע ABAB «שוכבת» — ותראו שהקטע המודגש בכלל לא נופל ישר עליה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 24

במשולש ABCABC, איזה קטע הוא הגובה לצלע ABAB?

  1. CECE
  2. אין גובה לצלע ABAB
  3. CDCD
  4. CBCB
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C CDCD

Corrigé :

⊥\perp

CDCD מאונך ל-ABAB — יש ריבוע קטן ב-DD

CECE הולך אל אמצע הצלע: זה תיכון, לא גובה. CBCB הוא צלע.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 25

גובה או לא? מיינו

  • גובה
  • לא גובה
  • במלבן — צלע שמאונכת לבסיס
  • הצלע המשופעת של מקבילית
  • קטע מאונך לצלע, שיוצא מאמצע צלע אחרת
  • קטע מקודקוד אל אמצע הצלע שממול
  • קטע מקודקוד אל המשך הצלע שממול, בזווית ישרה
  • קטע מקודקוד, מאונך לצלע שממול
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : קטע מקודקוד, מאונך לצלע שממול — גובה · קטע מקודקוד אל אמצע הצלע שממול — לא גובה · קטע מקודקוד אל המשך הצלע שממול, בזווית ישרה — גובה · הצלע המשופעת של מקבילית — לא גובה · קטע מאונך לצלע, שיוצא מאמצע צלע אחרת — לא גובה · במלבן — צלע שמאונכת לבסיס — גובה

Corrigé :

3✓3 \checkmark

קודקוד, הצלע שממול, זווית ישרה

שלוש הבדיקות: קודקוד, הצלע שממול (או המשכה), זווית ישרה. חסרה אחת — לא גובה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 26

במשולש ABCABC, CDCD הוא הגובה לצלע ABAB. כמה מעלות יש בזווית ∠CDB\angle CDB?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 90

Corrigé :

CD⊥ABCD \perp AB

גובה מאונך לצלע

∠CDB=90∘\angle CDB = 90^\circ

וגם ∠CDA=90∘\angle CDA = 90^\circ

גובה יוצר תמיד זווית ישרה — 90∘90^\circ משני הצדדים של DD. זה מה שמבדיל אותו מתיכון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 27

במשולש ABCABC, הנקודה DD היא אמצע ABAB, ו-∠CDB=70∘\angle CDB = 70^\circ. מהו הקטע CDCD?

  1. גם תיכון וגם גובה
  2. צלע של המשולש
  3. תיכון — ולא גובה
  4. גובה — ולא תיכון
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C תיכון — ולא גובה

Corrigé :

AD=DBAD = DB

DD אמצע — לכן CDCD תיכון

70∘≠90∘70^\circ \ne 90^\circ

לא מאונך — לכן לא גובה

«גם וגם» קורה רק כשהתיכון יוצא מאונך, בזווית של 90∘90^\circ. כאן 70∘70^\circ.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 28

מבין כל הקטעים שיוצאים מהקודקוד CC אל הצלע ABAB, הגובה CDCD הוא הקצר ביותר.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

CD=5CD = 5

הגובה

CF≈5.4CE≈5.8CF \approx 5.4 \quad CE \approx 5.8

שני קטעים נטויים — ארוכים יותר

זה בדיוק מה שראיתם כשגררתם את DD: הקטע הכי קצר היה בדיוק ב-90∘90^\circ.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe