Intérêts composés et croissance exponentielle · Croissance et décroissance · Kita יא

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

« Augmente de 10 chaque année (שנה) » et « augmente de 10 pour cent (אחוז) chaque année » se ressemblent. La première année, ils donnent même le même nombre. Ensuite, ils se séparent complètement.

הנוסחה

P_n = P_0 \cdot (1 + r)^n

P_0

הסכום ההתחלתי.

r

שיעור הגדילה כשבר — $10\%$ הם $0.1$ .

n

מספר התקופות.

האחוז נכתב כשבר. $5\%$ הם $0.05$ , ולכן המכפיל הוא $1.05$ — לא $1.5$ ולא $5$ . זו הטעות שהופכת תשובה סבירה לתשובה מגוחכת.

פיקדון בבנק

1000 ש״ח בריבית שנתית $5\%$ . כמה יהיה אחרי 3 שנים?

P_3 = 1000 \cdot 1.05^3

On remplace (מציבים)

1.05^3 \approx 1.157625

\approx 1157.63

ש״ח

בריבית פשוטה היה מתקבל $1150$ . ההפרש של $7.63$ נראה זניח — אבל אחרי עשר שנים הוא כבר $128.89$ , ואחרי עשרים הוא גדול מהקרן המקורית.

למה $1.05^3$ ולא $1000 \cdot 0.05 \cdot 3$ ?

Voir la réponse et le corrigé

כי בשנה השנייה האחוז נלקח מ- $1050$ , לא מ- $1000$ . הריבית עצמה מתחילה לשאת ריבית — וזה בדיוק מה ש«דריבית» אומר.

מתי מכפילים את הכסף

שאלה נפוצה: אחרי כמה שנים הסכום מוכפל? פותרים $\left(1+r\right)^n = 2$ , ובחמש יחידות עושים זאת בלוגריתם.

1.05^n = 2

התנאי — הסכום כפול מהמקורי.

n = \frac{\log 2}{\log 1.05} \approx 14.2

כלומר בערך ארבע-עשרה שנים ורבע.

אם הריבית $10\%$ במקום $5\%$ — האם הזמן להכפלה נחתך בדיוק לחצי?

Voir la réponse et le corrigé

לא. $\frac{\log 2}{\log 1.1} \approx 7.3$ שנים, ולא $7.1$ . הקשר אינו יחס ישר — הוא לוגריתמי. זו טעות אינטואיטיבית נפוצה.

שתי הטעויות של הגדילה המעריכית.

P = 1000 \cdot 1.5^3

P = 1000 \cdot 1.05^3

$5\%$ הם $0.05$ , ולכן המכפיל $1.05$ . עם $1.5$ מקבלים גדילה של חמישים אחוז בשנה.

P = P_0 + P_0 r n

P = P_0 (1+r)^n

זו ריבית פשוטה, לא דריבית. היא נכונה רק כשהריבית אינה נצברת — ובבגרות זה נאמר במפורש.

Exercices

Exercice 1

1000 shekels (ש״ח) avec des intérêts (ריבית) annuels de $5\%$ . Combien y aura-t-il après 3 ans (שנה) ? (Arrondissez (עגלו) à deux chiffres (ספרות))

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1157.63

Corrigé :

1000 \cdot 1.05^3

\approx 1157.63

Avec des intérêts simples (ריבית פשוטה), il y aurait eu $1150$ — la différence (הפרש) correspond aux intérêts (ריבית) qui ont rapporté des intérêts.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

Quel est le coefficient multiplicateur annuel pour une croissance (גדילה) de $8\%$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1.08

Corrigé :

1 + 0.08

Le pour cent (אחוז) sous forme de fraction (שבר)

= 1.08

Ni $8$ ni $1.8$ . Le pour cent (אחוז) s'écrit sous forme de nombre décimal (שבר עשרוני).

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

2000 shekels (ש״ח) avec un taux d'intérêts (ריבית) de $8\%$ par an (שנה). Combien après 5 ans ? (arrondissez (עגלו) à deux chiffres (ספרות))

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2938.66

Corrigé :

2000 \cdot 1.08^5

\approx 2938.66

Presque $1.5$ fois (פי) plus — en cinq ans seulement.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

Quel est le coefficient multiplicateur annuel lors d'une diminution de $15\%$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.85

Corrigé :

1 - 0.15

Diminution — on soustrait

= 0.85

En décroissance (דעיכה), le coefficient multiplicateur est inférieur à 1. C'est exactement la même formule (נוסחה), avec un moins.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

מכונית שווה 20000 ומאבדת $15\%$ מערכה בכל שנה. כמה תהיה שווה אחרי 3 שנים? (עגלו לשתי ספרות)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 12282.5

Corrigé :

20000 \cdot 0.85^3

= 12282.5

לא $20000 - 3 \cdot 3000 = 11000$ : כל שנה מורידה $15\%$ מערך חדש, קטן יותר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

אוכלוסייה גדלה ב- $3\%$ בשנה. מהי הנוסחה אחרי $n$ שנים?

$P_0 \cdot 3^n$
$P_0 \cdot 0.03^n$
$P_0 + 0.03n$
$P_0 \cdot 1.03^n$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $P_0 \cdot 1.03^n$

Corrigé :

P_0(1+r)^n

r = 0.03

התשובה השנייה היא גדילה קווית — היא מתעלמת מכך שהאחוז נלקח מסכום גדל.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

100 ש״ח בגדילה של $10\%$ בשנה. כמה אחרי שנה אחת?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 110

Corrigé :

100 \cdot 1.1 = 110

בשנה הראשונה זה בדיוק כמו להוסיף 10. ההבדל מתחיל בשנה השנייה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

100 ש״ח בגדילה של $10\%$ בשנה. כמה אחרי שנתיים? (שתי ספרות)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 121

Corrigé :

100 \cdot 1.1^2 = 121

בגדילה קווית היה $120$ . השקל הנוסף הוא הריבית על הריבית — וממנו הכול מתחיל.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

מה ההבדל בין ריבית פשוטה לריבית דריבית?

בדריבית האחוז נלקח מסכום שכבר גדל
פשוטה מתאימה רק לסכומים קטנים
אין הבדל אחרי שנה
בדריבית האחוז גבוה יותר

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A בדריבית האחוז נלקח מסכום שכבר גדל

Corrigé :

P_0(1+r)^n \ \text{מול} \ P_0(1+rn)

« אין הבדל אחרי שנה » נכון רק לשנה הראשונה — וזו בדיוק המלכודת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

חומר רדיואקטיבי, 80 גרם, זמן מחצית חיים 6 שעות. כמה נשאר אחרי 18 שעות?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 10

Corrigé :

18 : 6 = 3

שלוש מחציות חיים

80 \cdot \left(\tfrac{1}{2}\right)^3

= 10

גרם

סופרים כמה מחציות עברו, ולא כמה שעות. שלוש מחציות — חלקי שמונה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

אחרי כמה שנים יוכפל סכום בריבית $5\%$ ? (עגלו לשתי ספרות)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 14.21

Corrigé :

1.05^n = 2

התנאי

n = \frac{\log 2}{\log 1.05}

לוגריתם משני האגפים

\approx 14.21

שנים

בערך ארבע-עשרה שנה ורבע — בלי תלות בסכום ההתחלתי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

סכום $P_0$ גדל ב- $r$ בכל תקופה. הוכיחו: אחרי $n$ תקופות הסכום הוא $P_0(1+r)^n$ .

בכל תקופה הסכום גדל בשיעור $r$ מערכו הנוכחי
הסכום ההתחלתי הוא $P_0$

$P_n = P_0(1+r)^n$

Voir la réponse et le corrigé

$P_1 = P_0 + P_0 r$ — מוסיפים $r$ מהסכום הנוכחי $P_0$
$P_1 = P_0(1+r)$ — הוצאת $P_0$ כגורם משותף
$P_2 = P_1(1+r)$ — אותו כלל, הפעם על $P_1$
$P_2 = P_0(1+r)^2$ — הצבת $P_1$
כל תקופה מכפילה ב- $(1+r)$ בדיוק — הכלל זהה בכל שלב, ואינו תלוי בסכום
$P_n = P_0(1+r)^n$ — $n$ תקופות, כל אחת מכפילה ב- $(1+r)$

Vérifier la réponse sur elev

הנוסחה

מתי מכפילים את הכסף

Exercices

La suite se pratique sur elev