L'arbre de probabilités

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

נועה נוסעת לבית הספר באוטובוס. מניסיון, האוטובוס מאחר ביום אחד מתוך ארבעה. מה יכול לקרות ביומיים ברצף? ארבעה סיפורים: איחר-איחר, איחר-בזמן, בזמן-איחר, בזמן-בזמן. עץ מסדר את ארבעתם, וכל סיפור הוא מסלול אחד מהשורש עד הקצה.

לפי העץ: מה ההסתברות שהאוטובוס יאחר בשני הימים?

Voir la réponse et le corrigé

מסלול אחד: איחר ואז איחר. 14⋅14=116\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{16}. שתי דרישות יחד, ולכן הסיכוי קטן מכל אחת מהן.

ארבעה כללים לבניית עץ

11

כל שלב בניסוי הוא קומה בעץ.

22

על כל ענף כותבים את ההסתברות שלו. שני ענפים שיוצאים מאותה נקודה — סכומם 1.

×\times

לאורך מסלול כופלים: זו ההסתברות שכל השלבים של המסלול יקרו.

++

כשמאורע מתקיים בכמה מסלולים — מחברים את המסלולים.

מאורעות בלתי תלויים

האוטובוס של היום לא «זוכר» מה קרה אתמול: ההסתברות לאיחור היא 14\frac{1}{4} בשני הימים. מאורעות כאלה נקראים בלתי תלויים: התוצאה של השלב הראשון לא משנה את ההסתברויות בשלב השני. עבורם הנוסחה מדף הנוסחאות היא:

P(A∩B)=P(A)⋅P(B)P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)

A∩BA \cap B פירושו «AA וגם BB»: שני המאורעות קרו.

שני מבחנים, שתי הסתברויות

ההסתברות שדנה תעבור את המבחן במתמטיקה היא 0.8, וההסתברות שתעבור את המבחן באנגלית היא 0.9. ההצלחות בלתי תלויות. מה ההסתברות שתעבור בדיוק מבחן אחד?

0.8⋅0.1=0.080.8 \cdot 0.1 = 0.08

מסלול 1: עברה מתמטיקה ונכשלה באנגלית. 1−0.9=0.11-0.9=0.1

0.2⋅0.9=0.180.2 \cdot 0.9 = 0.18

מסלול 2: נכשלה במתמטיקה ועברה אנגלית. 1−0.8=0.21-0.8=0.2

0.08+0.18=0.260.08 + 0.18 = 0.26

«בדיוק אחד» מתקיים בשני מסלולים, ולכן מחברים

באותו עץ: מה ההסתברות שדנה תעבור את שני המבחנים, ומה ההסתברות שלא תעבור אף אחד? בדקו שסכום ארבעת הקצוות הוא 1.

Voir la réponse et le corrigé

שניהם: 0.8⋅0.9=0.720.8 \cdot 0.9 = 0.72. אף אחד: 0.2⋅0.1=0.020.2 \cdot 0.1 = 0.02. הסכום: 0.72+0.08+0.18+0.02=10.72 + 0.08 + 0.18 + 0.02 = 1 ✓. העץ מכסה את כל האפשרויות.

בסוף כל עץ מחברים את כל הקצוות. אם הסכום אינו 1, יש ענף עם הסתברות שגויה.

שתי הטעויות של העץ.

0.8+0.9=1.70.8 + 0.9 = 1.7
0.8⋅0.9=0.720.8 \cdot 0.9 = 0.72

«וגם» לאורך מסלול — כופלים. הסתברות גדולה מ-1 היא סימן אזהרה מיידי.

P=0.08P = 0.08
P=0.08+0.18=0.26\begin{aligned}P &= 0.08 + 0.18 \\ &= 0.26\end{aligned}

«בדיוק אחד» לא אומר איזה מהשניים. שני מסלולים, ולכן שני מכפלות ואז חיבור.

Exercices

Exercice 1

האוטובוס מאחר בהסתברות 14\frac{1}{4} בכל יום, ללא תלות בימים אחרים. מה ההסתברות שהוא יאחר ביומיים ברצף?

  1. 12\frac{1}{2}
  2. 116\frac{1}{16}
  3. 18\frac{1}{8}
  4. 14\frac{1}{4}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B 116\frac{1}{16}

Corrigé :

14⋅14=116\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{16}

לאורך מסלול כופלים

הנכונה: 116\frac{1}{16}. 12\frac{1}{2} היא חיבור של שני הענפים במקום כפל. 18\frac{1}{8} מכפילה את המכנה ב-2 במקום לכפול את השברים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

באותו אוטובוס: מה ההסתברות שהוא יגיע בזמן בשני הימים? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.5625

Corrigé :

1−14=341 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}

ההסתברות להגיע בזמן ביום אחד

34⋅34=916≈0.56\frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} = \frac{9}{16} \approx 0.56

מסלול אחד: בזמן ואז בזמן

קודם מחשבים את ההסתברות של הענף «בזמן» (34\frac{3}{4}), ורק אז כופלים. הטעות: 1−1161 - \frac{1}{16}, שהיא «לא איחר פעמיים», ולא «בזמן פעמיים».

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

דנה עוברת מבחן במתמטיקה בהסתברות 0.8, ומבחן באנגלית בהסתברות 0.9, באופן בלתי תלוי. מה ההסתברות שתעבור את שניהם?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.72

Corrigé :

0.8⋅0.9=0.720.8 \cdot 0.9 = 0.72

«וגם» לאורך מסלול אחד

כופלים, לא מחברים: 0.8+0.9=1.70.8 + 0.9 = 1.7 גדול מ-1 ואינו הסתברות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

באותם נתונים: מה ההסתברות שדנה לא תעבור אף מבחן?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.02

Corrigé :

1−0.8=0.21−0.9=0.1\begin{aligned}1 - 0.8 &= 0.2 \\ \quad 1 - 0.9 &= 0.1\end{aligned}

ההסתברויות להיכשל

0.2⋅0.1=0.020.2 \cdot 0.1 = 0.02

מסלול אחד: נכשלה ואז נכשלה

הטעות הנפוצה: 1−0.72=0.281 - 0.72 = 0.28. זו ההסתברות שלא עברה את שניהם, כלומר נכשלה בלפחות אחד — מאורע אחר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

באותם נתונים: מה ההסתברות שדנה תעבור בדיוק מבחן אחד?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.26

Corrigé :

0.8⋅0.1=0.080.8 \cdot 0.1 = 0.08

עברה מתמטיקה בלבד

0.2⋅0.9=0.180.2 \cdot 0.9 = 0.18

עברה אנגלית בלבד

0.08+0.18=0.260.08 + 0.18 = 0.26

שני מסלולים — מחברים

מי שענה 0.08 או 0.18 חישב רק מסלול אחד. בדיקה: 0.72+0.02+0.26=10.72 + 0.02 + 0.26 = 1 ✓.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

בכל עץ הסתברויות, סכום ההסתברויות של כל הקצוות שווה ל-1.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

0.72+0.08+0.18+0.02=10.72 + 0.08 + 0.18 + 0.02 = 1

למשל בעץ של שני המבחנים

נכון. הקצוות הם כל הסיפורים האפשריים, ושניים מהם לא קורים יחד. סכום שאינו 1 מגלה ענף שגוי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

בשלב הראשון P(A)=0.6P(A)=0.6. בשלב השני P(B)=0.3P(B)=0.3, ללא תלות בשלב הראשון. השלימו את העץ.

P(Aˉ)=P(\bar{A})= ____ , P(Bˉ)=P(\bar{B})= ____ , P(A∩B)=P(A \cap B)= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : P(Aˉ)=P(\bar{A})= 0.4 , P(Bˉ)=P(\bar{B})= 0.7 , P(A∩B)=P(A \cap B)= 0.18

Corrigé :

P(Aˉ)=1−0.6=0.4\begin{aligned}P(\bar{A}) &= 1 - 0.6 \\ &= 0.4\end{aligned}

שני ענפים מאותה נקודה — סכומם 1

P(Bˉ)=1−0.3=0.7\begin{aligned}P(\bar{B}) &= 1 - 0.3 \\ &= 0.7\end{aligned}

כנ״ל בשלב השני

P(A∩B)=0.6⋅0.3=0.18\begin{aligned}P(A \cap B) &= 0.6 \cdot 0.3 \\ &= 0.18\end{aligned}

מאורעות בלתי תלויים — כופלים

Aˉ\bar{A} הוא המשלים של AA: «AA לא קרה». הענף שלו הוא מה שחסר עד 1.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

מטילים מטבע הוגן וקובייה הוגנת. מה ההסתברות לקבל «עץ» במטבע וגם 6 בקובייה?

  1. 18\frac{1}{8}
  2. 13\frac{1}{3}
  3. 112\frac{1}{12}
  4. 23\frac{2}{3}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 112\frac{1}{12}

Corrigé :

12⋅16=112\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{12}

המטבע והקובייה בלתי תלויים

הנכונה: 112\frac{1}{12}. 23\frac{2}{3} היא 12+16\frac{1}{2}+\frac{1}{6}: חיבור במקום כפל. 18\frac{1}{8} מחברת את המכנים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

ברמזור הראשון בדרך ההסתברות לאור ירוק היא 0.5, וברמזור השני 0.4. הרמזורים פועלים באופן בלתי תלוי. מה ההסתברות לירוק ברמזור הראשון ולאדום ברמזור השני?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.3

Corrigé :

1−0.4=0.61 - 0.4 = 0.6

ההסתברות לאדום ברמזור השני

0.5⋅0.6=0.30.5 \cdot 0.6 = 0.3

מסלול אחד: ירוק ואז אדום

המאורע נדרש בסדר מסוים: ירוק ואז אדום. זה מסלול אחד בלבד, בלי חיבור.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

שני הרמזורים מהשאלה הקודמת. כמה מסלולים בעץ מתאימים לכל מאורע?

  • מסלול אחד
  • שני מסלולים
  • בדיוק רמזור אחד ירוק
  • שני הרמזורים אדומים
  • שני הרמזורים באותו צבע
  • שני הרמזורים ירוקים
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : שני הרמזורים ירוקים — מסלול אחד · בדיוק רמזור אחד ירוק — שני מסלולים · שני הרמזורים אדומים — מסלול אחד · שני הרמזורים באותו צבע — שני מסלולים

Corrigé :

0.5⋅0.4=0.20.5 \cdot 0.4 = 0.2

ירוק-ירוק: מסלול יחיד

0.5⋅0.6+0.5⋅0.4=0.50.5 \cdot 0.6 + 0.5 \cdot 0.4 = 0.5

«בדיוק אחד ירוק»: ירוק-אדום ואדום-ירוק, שני מסלולים

«באותו צבע» נשמע כמו מאורע אחד, אבל הוא שני מסלולים: ירוק-ירוק או אדום-אדום.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe