Union, intersection, complémentaire

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

מטילים שתי קוביות: אחת כחולה ואחת אדומה. כל צירוף הוא משבצת בלוח של 6⋅6=366 \cdot 6 = 36 משבצות, וכולן שוות סיכוי. AA: «בקובייה הכחולה יצא 6». BB: «בקובייה האדומה יצא 6». כמה משבצות שייכות ל«AA או BB»?

כמה משבצות יש ב«AA או BB», ומה ההסתברות?

Voir la réponse et le corrigé

6+6−1=116 + 6 - 1 = 11 משבצות, ולכן 1136\frac{11}{36}. מורידים 1 כי המשבצת המשותפת נספרה פעמיים.

נוסחת האיחוד

A∪BA \cup B

איחוד: AA או BB — לפחות אחד מהם קרה (אפשר גם שניהם)

A∩BA \cap B

חיתוך: AA וגם BB — שניהם קרו

Aˉ\bar{A}

משלים: AA לא קרה

P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

החיתוך נספר פעם ב-P(A)P(A) ופעם ב-P(B)P(B), ולכן מורידים אותו פעם אחת.

סקר בשכבה

בסקר בשכבה נמצא: 60% מהתלמידים משחקים כדורגל, 45% מנגנים על כלי נגינה, ו-20% גם משחקים כדורגל וגם מנגנים. בוחרים תלמיד אקראי. מה ההסתברות שהוא משחק כדורגל או מנגן? ומה ההסתברות שלא עושה אף אחד מהשניים?

P(A)=0.6 P(B)=0.45 P(A∩B)=0.2\begin{aligned}P(A) &= 0.6 \\ \ P(B) &= 0.45 \\ \ P(A \cap B) &= 0.2\end{aligned}

מתרגמים אחוזים להסתברויות

P(A∪B)=0.6+0.45−0.2=0.85\begin{aligned}P(A \cup B) &= 0.6 + 0.45 - 0.2 \\ &= 0.85\end{aligned}

נוסחת האיחוד

1−0.85=0.151 - 0.85 = 0.15

«אף אחד» הוא המשלים של «לפחות אחד»

נתון P(A)=0.5P(A)=0.5, P(B)=0.4P(B)=0.4 ו-P(A∪B)=0.7P(A \cup B)=0.7. מהי P(A∩B)P(A \cap B)?

Voir la réponse et le corrigé

מציבים בנוסחה: 0.7=0.5+0.4−P(A∩B)0.7 = 0.5 + 0.4 - P(A \cap B), ולכן P(A∩B)=0.9−0.7=0.2P(A \cap B) = 0.9 - 0.7 = 0.2. הנוסחה עובדת לכל כיוון: שלושה נתונים מוצאים את הרביעי.

«לפחות אחד» — דרך המשלים

P(Aˉ)=1−P(A)P(\bar{A}) = 1 - P(A)

«לפחות אחד» הוא כל העץ חוץ מקצה אחד: הקצה של «אף אחד». במקום לחבר שלושה מסלולים, מחשבים מסלול אחד ומחסירים מ-1.

שני רמזורים

ברמזור הראשון ההסתברות לאדום היא 0.4, ובשני 0.5, באופן בלתי תלוי. מה ההסתברות לעצור לפחות ברמזור אחד?

0.6⋅0.5=0.30.6 \cdot 0.5 = 0.3

«אף אחד אדום»: ירוק וגם ירוק

1−0.3=0.71 - 0.3 = 0.7

המשלים

0.4+0.5−0.4⋅0.5=0.70.4 + 0.5 - 0.4 \cdot 0.5 = 0.7

בדיקה בנוסחת האיחוד: אותה תשובה ✓

כשהשאלה אומרת «לפחות אחד», שאלו קודם: מה המשלים? כמעט תמיד הוא «אף אחד», וזה מסלול אחד בעץ.

שלוש הטעויות של האיחוד.

P(A∪B)=0.4+0.5=0.9\begin{aligned}P(A \cup B) &= 0.4 + 0.5 \\ &= 0.9\end{aligned}
P(A∪B)=0.4+0.5−0.2=0.7\begin{aligned}P(A \cup B) &= 0.4 + 0.5 - 0.2 \\ &= 0.7\end{aligned}

שכחו להוריד את החיתוך. הוא נספר פעמיים.

P(A∪B)=P(A)⋅P(B)P(A \cup B) = P(A) \cdot P(B)
P(A∩B)=P(A)⋅P(B)P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)

כפל נותן את החיתוך («וגם»), ורק כשהמאורעות בלתי תלויים. איחוד («או») מחשבים בנוסחת האיחוד.

1−0.4⋅0.51 - 0.4 \cdot 0.5
1−0.6⋅0.51 - 0.6 \cdot 0.5

המשלים של «לפחות אחד אדום» הוא «שניהם ירוקים», לא «לא שניהם אדומים».

Exercices

Exercice 1

נתון P(A)=0.5P(A)=0.5, P(B)=0.3P(B)=0.3 ו-P(A∩B)=0.1P(A \cap B)=0.1. מהי P(A∪B)P(A \cup B)?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.7

Corrigé :

P(A∪B)=0.5+0.3−0.1=0.7\begin{aligned}P(A \cup B) &= 0.5 + 0.3 - 0.1 \\ &= 0.7\end{aligned}

נוסחת האיחוד

מי שענה 0.8 שכח להוריד את החיתוך, שנספר פעמיים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתון P(A)=0.45P(A)=0.45, P(B)=0.35P(B)=0.35 ו-P(A∪B)=0.6P(A \cup B)=0.6. מהי P(A∩B)P(A \cap B)?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.2

Corrigé :

0.6=0.45+0.35−P(A∩B)0.6 = 0.45 + 0.35 - P(A \cap B)

מציבים בנוסחת האיחוד

P(A∩B)=0.8−0.6=0.2\begin{aligned}P(A \cap B) &= 0.8 - 0.6 \\ &= 0.2\end{aligned}

מבודדים

הנוסחה קושרת ארבעה מספרים: שלושה ידועים מוצאים את הרביעי. 0.45⋅0.350.45 \cdot 0.35 אינו נכון כאן — לא נאמר שהמאורעות בלתי תלויים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

בשכבה: 55% מהתלמידים מתנדבים בקהילה, 40% חברים בתנועת נוער, ו-25% גם מתנדבים וגם חברים בתנועה. כמה אחוזים מהתלמידים אינם עושים אף אחד מהשניים? (כתבו מספר באחוזים)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 30

Corrigé :

55+40−25=7055 + 40 - 25 = 70

אחוז התלמידים שעושים לפחות אחד

100−70=30100 - 70 = 30

המשלים

אפשר לעבוד ישירות באחוזים. הטעות: 100−55−40=5100 - 55 - 40 = 5, שמוריד את 25 האחוזים של «גם וגם» פעמיים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

מטילים שתי קוביות הוגנות. מה ההסתברות שיצא 6 לפחות באחת מהן?

  1. 2536\frac{25}{36}
  2. 13\frac{1}{3}
  3. 1136\frac{11}{36}
  4. 136\frac{1}{36}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 1136\frac{11}{36}

Corrigé :

56⋅56=2536\frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{25}{36}

אף קובייה לא הראתה 6

1−2536=11361 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}

המשלים

הנכונה: 1136\frac{11}{36}. 13=1236\frac{1}{3} = \frac{12}{36} סופר את «6 וגם 6» פעמיים. 2536\frac{25}{36} היא ההסתברות לאף 6 — המשלים עצמו.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

מאיה שוכחת את המפתח בבית בהסתברות 0.1, ואחיה בהסתברות 0.2, באופן בלתי תלוי. מה ההסתברות שלפחות אחד מהם ישכח את המפתח?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.28

Corrigé :

0.9⋅0.8=0.720.9 \cdot 0.8 = 0.72

אף אחד לא שכח

1−0.72=0.281 - 0.72 = 0.28

המשלים

בדיקה בנוסחת האיחוד: 0.1+0.2−0.02=0.280.1 + 0.2 - 0.02 = 0.28 ✓. התשובה 0.30.3 שוכחת להוריד את החיתוך.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

באותם נתונים: מה ההסתברות שאף אחד מהם לא ישכח את המפתח?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.72

Corrigé :

1−0.1=0.91−0.2=0.8\begin{aligned}1 - 0.1 &= 0.9 \\ \quad 1 - 0.2 &= 0.8\end{aligned}

ההסתברויות לזכור

0.9⋅0.8=0.720.9 \cdot 0.8 = 0.72

זכרו שניהם — בלתי תלויים

«אף אחד לא שכח» ו«לפחות אחד שכח» הם משלימים: 0.72+0.28=10.72 + 0.28 = 1.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

נתון P(A)=0.6P(A)=0.6 ו-P(B)=0.7P(B)=0.7. אז בהכרח P(A∩B)>0P(A \cap B) > 0, כלומר AA ו-BB יכולים לקרות יחד.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

P(A∪B)≤1P(A \cup B) \leq 1

הסתברות אינה עולה על 1

P(A∩B)=0.6+0.7−P(A∪B)≥1.3−1=0.3\begin{aligned}P(A \cap B) &= 0.6 + 0.7 - P(A \cup B) \geq 1.3 - 1 \\ &= 0.3\end{aligned}

מבודדים מנוסחת האיחוד

נכון. אילו החיתוך היה 0, האיחוד היה 1.31.3 — גדול מ-1. לכן החיתוך הוא לפחות 0.30.3.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

AA ו-BB מאורעות בלתי תלויים, P(A)=0.4P(A)=0.4 ו-P(B)=0.5P(B)=0.5. השלימו.

P(A∩B)=P(A \cap B)= ____ , P(A∪B)=P(A \cup B)= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : P(A∩B)=P(A \cap B)= 0.2 , P(A∪B)=P(A \cup B)= 0.7

Corrigé :

P(A∩B)=0.4⋅0.5=0.2\begin{aligned}P(A \cap B) &= 0.4 \cdot 0.5 \\ &= 0.2\end{aligned}

בלתי תלויים — כופלים

P(A∪B)=0.4+0.5−0.2=0.7\begin{aligned}P(A \cup B) &= 0.4 + 0.5 - 0.2 \\ &= 0.7\end{aligned}

נוסחת האיחוד

קודם החיתוך, ואז האיחוד: נוסחת האיחוד צריכה את החיתוך.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

מה פירוש המאורע A∪BA \cup B?

  1. בדיוק אחד מהם קרה
  2. AA קרה, או BB קרה, או שניהם
  3. AA וגם BB קרו
  4. אף אחד מהם לא קרה
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B AA קרה, או BB קרה, או שניהם

Corrigé :

A∪BA \cup B

איחוד: לפחות אחד מהשניים

הנכונה: AA או BB או שניהם. «או» במתמטיקה כולל את «שניהם». «בדיוק אחד» הוא האיחוד בלי החיתוך.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

AA ו-BB לא יכולים לקרות יחד. P(A)=0.3P(A)=0.3 ו-P(B)=0.25P(B)=0.25. מהי P(A∪B)P(A \cup B)?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.55

Corrigé :

P(A∩B)=0P(A \cap B) = 0

מאורעות שלא קורים יחד: אין חיתוך

P(A∪B)=0.3+0.25−0=0.55\begin{aligned}P(A \cup B) &= 0.3 + 0.25 - 0 \\ &= 0.55\end{aligned}

נוסחת האיחוד

כשאין חיתוך, נוסחת האיחוד היא חיבור פשוט. הטעות: לכפול 0.3⋅0.250.3 \cdot 0.25 ולהציב אותו כחיתוך.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe