On résout ensemble · Triangles semblables · Kita יא

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

ארבע שאלות בנוסח שאלון 35371, כמו השאלה של הדמיון שמופיעה בכל מבחן: שני דגלים שווי שוקיים, מראה ומעלית, מדרגות נעות, ושני אוהלים. כל שאלה נפתרת יחד, סעיף אחרי סעיף. אחרי כל אחת מחכה לכם שאלה תאומה למטה, לפתור לבד.

לפני כל לחיצה אמרו לעצמכם מה אתם הייתם כותבים: איזו זווית שווה ולמה, מהו $k$ , ואיזה אורך מוכפל בו. הפער בין התוכנית שלכם לבין השלב שמופיע הוא מה שמלמד.

1 — שני דגלים: פיתגורס, יחס ושטח

הדגל

ABC

והדגל

DEF

: שני משולשים שווי שוקיים דומים.

AH

ו-

DK

הגבהים לבסיסים.

Activité interactive

לקראת יום העצמאות תופרים שני דגלים בצורת משולש שווה שוקיים. בדגל הקטן $ABC$ השוקיים $AB = AC = 50$ ס״מ והבסיס $BC = 60$ ס״מ. הדגל הגדול $DEF$ דומה לקטן, ויחס הצלעות $3:2$ . א. חשבו את הגובה $AH$ ואת שטח הדגל הקטן. ב. מצאו את צלעות הדגל הגדול. ג. מצאו את שטח הדגל הגדול. ד. סביב הדגל הגדול תופרים סרט באורך $2.5$ מטר. האם הסרט מספיק?

\begin{aligned}AB &= AC \\ &= 50 \\ \quad BC &= 60 \\ \quad k &= \frac{3}{2}\end{aligned}

לחצו «להתחיל». הגובה אינו נתון: הוא בא מפיתגורס.

א. חצי בסיס

\begin{aligned}BH &= \frac{60}{2} \\ &= 30\end{aligned}

במשולש שווה שוקיים הגובה לבסיס חוצה אותו.

א. גובה

\begin{aligned}AH &= \sqrt{50^2 - 30^2} \\ &= \sqrt{1600} \\ &= 40\end{aligned}

משפט פיתגורס במשולש $ABH$ .

א. שטח

\begin{aligned}S_{ABC} &= \frac{60 \cdot 40}{2} \\ &= 1200\end{aligned}

בסמ״ר.

ב.

\begin{aligned}DE &= DF \\ &= 50 \cdot 1.5 \\ &= 75 \\ \quad EF &= 60 \cdot 1.5 \\ &= 90\end{aligned}

יחס $3:2$ פירושו $k = 1.5$ מהקטן לגדול.

ג.

\begin{aligned}S_{DEF} &= 1200 \cdot 1.5^2 \\ &= 2700\end{aligned}

השטחים ביחס $k^2 = 2.25$ . בדיקה: הגובה $60$ , ו- $\frac{90 \cdot 60}{2} = 2700$ .

ד.

\begin{aligned}P_{DEF} &= 75 + 75 + 90 \\ &= 240 < 250\end{aligned}

$2.5$ מטר הם $250$ ס״מ. הסרט מספיק.

שני מקומות שבהם השאלה «תופסת»: לחצות את הבסיס בפיתגורס, ולהמיר מטרים לס״מ בסעיף ד.

Faire l'activité sur elev

בשאלה 1, מה היה יוצא בסעיף ג למי שכפל את השטח ב- $k$ ולא ב- $k^2$ ? איך הבדיקה בעזרת הגובה חושפת את הטעות?

Voir la réponse et le corrigé

$1200 \cdot 1.5 = 1800$ . אבל הגובה של הגדול הוא $60$ והבסיס $90$ , ו- $\frac{90 \cdot 60}{2} = 2700$ . שני אורכים גדלו פי $1.5$ , ולכן השטח פי $1.5 \cdot 1.5$ .

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה.

2 — מראה ומעלית

EF

גובה העיניים,

M

המראה,

TB

הבניין.

Activité interactive

שאלה 2 — גובה בניין במראה

יעל מניחה מראה $M$ על הקרקע ומתרחקת עד שהיא רואה בה את ראש הבניין $T$ . העיניים שלה בגובה $EF = 1.6$ מטר, היא עומדת $FM = 2$ מטר מהמראה, והמראה נמצאת $MB = 30$ מטר מבסיס הבניין. א. הסבירו למה $\triangle EFM \sim \triangle TBM$ . ב. מצאו את גובה הבניין. ג. מעלית עולה מהקרקע עד הגג במהירות $1.5$ מטר לשנייה. כמה שניות נמשכת העלייה?

$24$ מטר, $16$ שניות

$24$ מטר, $36$ שניות

$0.1$ מטר, $0.07$ שניות

$25.6$ מטר, $17$ שניות

סעיף א: אילו שתי זוויות שוות?

$\angle F = \angle B = 90^\circ$ , ו- $\angle EMF = \angle TMB$ כי זווית הפגיעה שווה לזווית ההחזרה

Voir la réponse et le corrigé

כן. יעל והבניין מאונכים לקרקע, והמראה מחזירה את הקרן באותה זווית.

$\angle E = \angle T$ כי הן זוויות קודקודיות

Voir la réponse et le corrigé

$E$ ו- $T$ רחוקות זו מזו; זוויות קודקודיות נוצרות רק בחיתוך של שני ישרים.

$EF = TB$

Voir la réponse et le corrigé

אורכים שווים אינם נתונים, ולא צריך אותם: ז.ז עובד עם זוויות.

\triangle EFM \sim \triangle TBM

משפט ז.ז.

סעיף ב: איזה יחס נותן את $TB$ ?

$\frac{TB}{EF} = \frac{MB}{FM} = \frac{30}{2}$

Voir la réponse et le corrigé

בשני היחסים המשולש של הבניין במונה.

$\frac{TB}{EF} = \frac{FM}{MB}$

Voir la réponse et le corrigé

היחס הפוך, והבניין היה יוצא נמוך מיעל.

$\frac{TB}{EF} = \frac{FB}{FM} = \frac{32}{2}$

Voir la réponse et le corrigé

$FB$ אינה צלע של המשולש $TBM$ .

\begin{aligned}TB &= 1.6 \cdot 15 \\ &= 24\end{aligned}

הבניין בגובה $24$ מטר.

סעיף ג: איך מחשבים את זמן העלייה?

מחלקים את הגובה במהירות

Voir la réponse et le corrigé

זמן = דרך חלקי מהירות.

כופלים את הגובה במהירות

Voir la réponse et le corrigé

$24 \cdot 1.5 = 36$ אינו זמן: היחידות הן מטר כפול מטר לשנייה.

\begin{aligned}t &= \frac{24}{1.5} \\ &= 16\end{aligned}

$16$ שניות.

Voir la réponse et le corrigé

$24$ מטר ו- $16$ שניות. המלכודת של המראה: המרחק מהבניין הוא עד המראה, $30$ , ולא עד יעל, $32$ .

Faire l'activité sur elev

אם יעל הייתה נסוגה עוד מטר אחד אחורה, האם הייתה רואה במראה נקודה גבוהה יותר או נמוכה יותר?

Voir la réponse et le corrigé

נמוכה יותר. עם $FM = 3$ נקבל $\frac{TB}{1.6} = \frac{30}{3}$ , כלומר $16$ מטר. כדי לראות את הגג שוב היא צריכה להזיז גם את המראה.

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה.

3 — מדרגות נעות

AC

המדרגות הנעות,

BC

הגובה,

DE

עמוד תמיכה אנכי.

Activité interactive

מדרגות נעות בקניון עולות מ- $A$ עד $C$ , לגובה $BC = 6$ מטר, לאורך מרחק אופקי $AB = 8$ מטר. עמוד תמיכה אנכי $DE$ עומד על הרצפה במרחק $AD = 3.2$ מטר מ- $A$ . א. חשבו את אורך המדרגות $AC$ . ב. הסבירו למה $\triangle ADE \sim \triangle ABC$ . ג. חשבו את $DE$ ואת $AE$ .

\begin{aligned}BC &= 6 \\ \quad AB &= 8 \\ \quad AD &= 3.2\end{aligned}

לחצו «להתחיל». סעיף א הוא פיתגורס, והדמיון מתחיל בסעיף ב.

א.

\begin{aligned}AC &= \sqrt{8^2 + 6^2} \\ &= \sqrt{100} \\ &= 10\end{aligned}

משפט פיתגורס במשולש ישר הזווית $ABC$ .

ב. זווית

\angle A = \angle A

זווית משותפת.

ב. זווית

\begin{aligned}\angle ADE &= \angle ABC \\ &= 90^\circ\end{aligned}

העמוד והקיר מאונכים לרצפה.

ב. מסקנה

\triangle ADE \sim \triangle ABC

משפט ז.ז.

ג. יחס

\begin{aligned}k &= \frac{AD}{AB} \\ &= \frac{3.2}{8} \\ &= 0.4\end{aligned}

מהגדול לקטן.

ג.

\begin{aligned}DE &= 6 \cdot 0.4 \\ &= 2.4 \\ \quad AE &= 10 \cdot 0.4 \\ &= 4\end{aligned}

$DE$ מתאימה ל- $BC$ , ו- $AE$ ל- $AC$ .

את $AE$ אפשר לחשב גם בפיתגורס, $\sqrt{3.2^2 + 2.4^2} = 4$ . שתי הדרכים חייבות להסכים.

Faire l'activité sur elev

נוסע עומד על המדרגות בנקודה שנמצאת $5$ מטר מ- $A$ לאורך $AC$ . באיזה גובה הוא נמצא?

Voir la réponse et le corrigé

אותו משולש, יחס אחר: $k = \frac{5}{10} = 0.5$ , ולכן הגובה $6 \cdot 0.5 = 3$ מטר.

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — אוהל קטן ב-20%

חזית האוהל הגדול

ABC

וחזית האוהל הקטן

DEF

: משולשים שווי שוקיים דומים.

Activité interactive

שאלה 4 — כמה בד חוסכים

חזית של אוהל גדול היא משולש שווה שוקיים: השוקיים $2.5$ מטר והבסיס $3$ מטר. באוהל קטן, שחזיתו דומה, כל צלע קצרה ב- $20\%$ . א. חשבו את שטח החזית של האוהל הגדול. ב. חשבו את שטח החזית של האוהל הקטן. ג. האם הבד בחזית הקטנה קטן ביותר מ- $30\%$ ?

$3$ ו- $2.4$ מ״ר; לא, קטן ב- $20\%$

$3$ ו- $1.92$ מ״ר; כן, קטן ב- $36\%$

$3.75$ ו- $2.4$ מ״ר; כן

$3$ ו- $1.92$ מ״ר; לא, קטן ב- $20\%$

סעיף א: איך מוצאים את הגובה של החזית הגדולה?

פיתגורס עם השוק $2.5$ וחצי הבסיס $1.5$

Voir la réponse et le corrigé

הגובה חוצה את הבסיס.

פיתגורס עם השוק $2.5$ והבסיס $3$

Voir la réponse et le corrigé

$2.5^2 - 3^2 < 0$ : הבסיס כולו אינו ניצב במשולש ישר הזווית.

\begin{aligned}h &= \sqrt{2.5^2 - 1.5^2} \\ &= 2 \\ \quad S &= \frac{3 \cdot 2}{2} \\ &= 3\end{aligned}

$3$ מ״ר.

סעיף ב: מהו יחס הדמיון מהגדול לקטן?

$k = 0.8$

Voir la réponse et le corrigé

קצר ב- $20\%$ : נשארים $80\%$ מכל צלע.

$k = 0.2$

Voir la réponse et le corrigé

$0.2$ הוא מה שהורידו, לא מה שנשאר.

$k = 1.2$

Voir la réponse et le corrigé

$1.2$ הוא הגדלה ב- $20\%$ .

\begin{aligned}S_{DEF} &= 3 \cdot 0.8^2 \\ &= 3 \cdot 0.64 \\ &= 1.92\end{aligned}

$1.92$ מ״ר.

סעיף ג: בכמה אחוזים קטן השטח?

$1 - 0.64 = 0.36$ , כלומר $36\%$

Voir la réponse et le corrigé

השטח קטן ב- $36\%$ , יותר מ- $30\%$ .

$20\%$ , כמו הצלעות

Voir la réponse et le corrigé

השטח יורד פי $k^2$ , לא פי $k$ .

36\% > 30\%

כן.

Voir la réponse et le corrigé

$3$ ו- $1.92$ מ״ר; כן, הבד קטן ב- $36\%$ . צלעות קצרות ב- $20\%$ נותנות שטח קטן ב- $36\%$ , ולא ב- $20\%$ .

Faire l'activité sur elev

ואם כל צלע הייתה ארוכה ב- $20\%$ , בכמה אחוזים היה גדל השטח?

Voir la réponse et le corrigé

$k = 1.2$ , ו- $k^2 = 1.44$ . השטח גדל ב- $44\%$ , ולא ב- $40\%$ .

השאלה התאומה: שאלה 4 ברשימה למטה, ושאלה 5 מסכמת.

תרגילים תאומים. חמשת התרגילים שלמטה בנויים כמו השאלות, עם נתונים אחרים.

Exercices

Exercice 1

תליון עשוי משני משולשים שווי שוקיים דומים. בקטן השוקיים $13$ מ״מ והבסיס $10$ מ״מ. כל צלע בגדול ארוכה פי $2$ . מהו שטח המשולש הגדול, במ״מ רבועים?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 240

Corrigé :

\begin{aligned}h &= \sqrt{13^2 - 5^2} \\ &= 12\end{aligned}

פיתגורס עם חצי הבסיס

\begin{aligned}S_1 &= \frac{10 \cdot 12}{2} \\ &= 60\end{aligned}

שטח הקטן

\begin{aligned}S_2 &= 60 \cdot 2^2 \\ &= 240\end{aligned}

השטח פי $k^2$

$240$ . מי שכפל ב- $2$ קיבל $120$ : שני אורכים גדלו, ולכן השטח פי $4$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

אורי רואה במראה שעל הקרקע את ראש המגדל. העיניים שלו בגובה $1.5$ מטר, הוא עומד $2.5$ מטר מהמראה, והמראה נמצאת $20$ מטר מבסיס המגדל. מה גובה המגדל, במטרים?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 12

Corrigé :

\triangle EFM \sim \triangle TBM

זוויות ישרות וזווית פגיעה שווה לזווית החזרה: משפט ז.ז

\begin{aligned}TB &= 1.5 \cdot \frac{20}{2.5} \\ &= 1.5 \cdot 8 \\ &= 12\end{aligned}

$\frac{TB}{EF} = \frac{MB}{FM}$

$12$ מטר. המרחק הוא מהמגדל עד המראה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

מדרגות נעות עולות לגובה $BC = 9$ מטר לאורך מרחק אופקי $AB = 12$ מטר. עמוד אנכי $DE$ עומד במרחק $AD = 4$ מטר מ- $A$ . השלימו.

$AC =$ ____ מטר , $DE =$ ____ מטר

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $AC =$ 15 מטר , $DE =$ 3 מטר

Corrigé :

\begin{aligned}AC &= \sqrt{12^2 + 9^2} \\ &= 15\end{aligned}

משפט פיתגורס

\triangle ADE \sim \triangle ABC

זווית $A$ משותפת ושתי זוויות ישרות: משפט ז.ז

\begin{aligned}DE &= 9 \cdot \frac{4}{12} \\ &= 3\end{aligned}

$\frac{DE}{BC} = \frac{AD}{AB}$

$AC = 15$ , $DE = 3$ . היחס בא מהמרחקים האופקיים, $AD$ מול $AB$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

חזית של אוהל גדול היא משולש שווה שוקיים: השוקיים $5$ מטר והבסיס $6$ מטר. באוהל קטן, שחזיתו דומה, כל צלע קצרה ב- $25\%$ . מהו שטח החזית של האוהל הקטן, במ״ר? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6.75

Corrigé :

\begin{aligned}h &= \sqrt{5^2 - 3^2} \\ &= 4 \\ \quad S &= \frac{6 \cdot 4}{2} \\ &= 12\end{aligned}

שטח החזית הגדולה

\begin{aligned}k &= 0.75 \\ \quad k^2 &= 0.5625\end{aligned}

קצר ב- $25\%$ : נשארים $75\%$

\begin{aligned}S_{DEF} &= 12 \cdot 0.5625 \\ &= 6.75\end{aligned}

$6.75$ מ״ר. מי שהוריד $25\%$ מהשטח קיבל $9$ : השטח קטן ביותר מ- $25\%$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

שלט הוא משולש שווה צלעות שצלעו $60$ ס״מ. שלט גדול דומה לו, ויחס הצלעות $5:3$ . סרט באורך $2.8$ מטר מספיק כדי להקיף את השלט הגדול.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

60 \cdot \frac{5}{3} = 100

צלע השלט הגדול, בס״מ

\begin{aligned}P &= 3 \cdot 100 \\ &= 300 > 280\end{aligned}

ההיקף, מול $2.8$ מטר שהם $280$ ס״מ

לא נכון: חסרים $20$ ס״מ. המלכודת: להכפיל ב- $\frac{3}{5}$ במקום ב- $\frac{5}{3}$ , או לשכוח להמיר מטרים לס״מ.

Vérifier la réponse sur elev

1 — שני דגלים: פיתגורס, יחס ושטח

2 — מראה ומעלית

3 — מדרגות נעות

4 — אוהל קטן ב-20%

Exercices

La suite se pratique sur elev