La dispersion : pourquoi la moyenne ne suffit pas

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

דנה ויואב נוסעים כל בוקר לעבודה באוטובוס: דנה בקו 5 ויואב בקו 18. במשך שבוע שניהם רשמו כמה דקות נמשכה הנסיעה. אצל שניהם יצא אותו ממוצע, 3030 דקות. האם שני הקווים אמינים באותה מידה? הסתכלו על הנקודות לפני שעונים.

זמן הנסיעה בשבעה ימים (דקות)
ממוצע1520253035404503דקות
  • קו 5
  • קו 18
בשני הקווים הממוצע 3030 דקות. בקו 5 כל הנסיעות נמשכו בין 2828 ל-3232 דקות. בקו 18 הן נמשכו בין 1818 ל-4242 דקות.

יש לכם ראיון עבודה בשעה 9:00 בדיוק. באיזה קו כדאי לנסוע? ומהי הנסיעה הארוכה ביותר בכל קו?

Voir la réponse et le corrigé

בקו 5. הנסיעה הארוכה בו נמשכה 3232 דקות, ובקו 18 היא נמשכה 4242 דקות. הממוצע שווה, אבל בקו 18 אי אפשר לדעת מתי תגיעו.

מדד מרכז ומדד פיזור

מדד מרכז (ממוצע, חציון, שכיח) אומר איפה הנתונים נמצאים. מדד פיזור אומר כמה הם מתרחקים זה מזה ומהממוצע. קבוצה שהנתונים שלה קרובים זה לזה נקראת הומוגנית (אחידה). קבוצה שהנתונים שלה מפוזרים נקראת הטרוגנית. קו 5 הומוגני, קו 18 הטרוגני.

המדד הפשוט ביותר: הטווח

טווח=הגדול−הקטן\text{טווח} = \text{הגדול} - \text{הקטן}

הטווח של שני הקווים

מחשבים את הטווח של זמני הנסיעה בכל קו.

32−28=432 - 28 = 4

קו 5: טווח של 44 דקות

42−18=2442 - 18 = 24

קו 18: טווח של 2424 דקות

24>424 > 4

הפיזור בקו 18 גדול יותר

הטווח קל לחישוב, אבל הוא משתמש רק בשני נתונים: הגדול והקטן. כל מה שבאמצע לא משפיע עליו.

השוו בין הקבוצה 10, 10, 10, 10, 5010,\ 10,\ 10,\ 10,\ 50 לבין הקבוצה 10, 20, 30, 40, 5010,\ 20,\ 30,\ 40,\ 50. מה הטווח של כל אחת? האם הפיזור שלהן דומה?

Voir la réponse et le corrigé

לשתיהן טווח 4040. אבל בראשונה ארבעה נתונים שווים ורק אחד רחוק, ובשנייה הנתונים פרוסים באופן שווה. הטווח לא מבחין ביניהן, כי הוא לא רואה את האמצע. צריך מדד שמשתמש בכל הנתונים.

הסטייה מהממוצע

מדד שמשתמש בכל הנתונים מתחיל מהסטייה של כל נתון: x−xˉx - \bar{x}, ההפרש בין הנתון לממוצע. נתון מעל הממוצע מקבל סטייה חיובית, ונתון מתחת לממוצע מקבל סטייה שלילית.

−2, −1, 0, 0, 0, 1, 2-2,\ -1,\ 0,\ 0,\ 0,\ 1,\ 2

הסטיות בקו 5: כולן קטנות

−12, −8, −4, 0, 4, 8, 12-12,\ -8,\ -4,\ 0,\ 4,\ 8,\ 12

הסטיות בקו 18: חלקן גדולות

חברו את הסטיות בכל קו: יוצא 00. זה נכון תמיד, בכל קבוצת נתונים: מה שמעל הממוצע מאזן בדיוק את מה שמתחתיו. לכן אי אפשר למדוד פיזור בממוצע של הסטיות. בשיעור הבא נעלה כל סטייה בריבוע, ואז אין ביטול.

שתי טעויות של השיעור.

טווח=42\text{טווח} = 42
טווח=42−18=24\begin{aligned}\text{טווח} &= 42 - 18 \\ &= 24\end{aligned}

הטווח הוא הפרש בין הגדול לקטן, ולא הנתון הגדול עצמו.

xˉ1=xˉ2 ⇒ דומות\bar{x}_1 = \bar{x}_2 \ \Rightarrow \ \text{דומות}
xˉ1=xˉ2  4≠24\begin{aligned}\bar{x}_1 &= \bar{x}_2 \\ \ \ 4 \neq 24\end{aligned}

ממוצע שווה לא אומר שהקבוצות דומות. קו 5 וקו 18 הם בדיוק הדוגמה: אותו ממוצע, פיזור אחר לגמרי.

Exercices

Exercice 1

שתי קבוצות של שבעה חיילים רשמו כמה שעות ישנו בלילה. קבוצה א: 7, 7, 8, 8, 8, 9, 97,\ 7,\ 8,\ 8,\ 8,\ 9,\ 9. קבוצה ב: 5, 6, 8, 8, 8, 10, 115,\ 6,\ 8,\ 8,\ 8,\ 10,\ 11. לשתיהן ממוצע 88 שעות. איזו קבוצה הומוגנית יותר?

  1. שתיהן באותה מידה, כי הממוצע שווה
  2. אי אפשר לדעת בלי החציון
  3. קבוצה א
  4. קבוצה ב
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C קבוצה א

Corrigé :

9−7=29 - 7 = 2

הטווח בקבוצה א

11−5=611 - 5 = 6

הטווח בקבוצה ב

הנכונה: קבוצה א. כל הנתונים שלה בין 77 ל-99, קרובים לממוצע. מי שבחר «באותה מידה» הסתכל רק על מדד המרכז. גם החציון שווה כאן (88), ולכן הוא לא עוזר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

אלה הטמפרטורות המקסימליות באילת (במעלות) בשבוע אחד של יוני: 31, 34, 36, 33, 38, 35, 3231,\ 34,\ 36,\ 33,\ 38,\ 35,\ 32. מהו הטווח?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 7

Corrigé :

3838

הגדול ביותר

3131

הקטן ביותר

38−31=738 - 31 = 7

הטווח

הטווח הוא 77 מעלות. לא צריך לסדר את כל הנתונים: מספיק למצוא את הגדול ואת הקטן. מי שענה 3838 נתן את הנתון הגדול ולא את ההפרש.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

בכיתה ממוצע הציונים במבחן הוא 7575. נועה קיבלה 6868. מהי הסטייה של הציון של נועה מהממוצע?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -7

Corrigé :

x−xˉ=68−75x - \bar{x} = 68 - 75

הנתון פחות הממוצע

=−7= -7

סטייה שלילית: מתחת לממוצע

הסטייה היא −7-7. הסימן חשוב: מינוס אומר «מתחת לממוצע». מי שכתב 77 חישב 75−6875-68, בסדר הפוך.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

נכון או לא נכון: בכל קבוצת נתונים, סכום הסטיות מהממוצע הוא 00.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

∑(x−xˉ)=∑x−n⋅xˉ\sum (x - \bar{x}) = \sum x - n \cdot \bar{x}

מפרקים את הסכום

n⋅xˉ=∑x ⇒ ∑(x−xˉ)=0\begin{aligned}n \cdot \bar{x} &= \sum x \ \Rightarrow \ \sum (x - \bar{x}) \\ &= 0\end{aligned}

הממוצע כפול מספר הנתונים הוא הסכום

נכון. זו הסיבה שממוצע הסטיות אינו מדד פיזור: הוא תמיד 00, גם בקבוצה מפוזרת מאוד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

בקבוצה של חמישה נתונים, הסטיות של ארבעה מהם מהממוצע הן −3, 1, 4, −5-3,\ 1,\ 4,\ -5. מהי הסטייה של הנתון החמישי?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

−3+1+4−5=−3-3 + 1 + 4 - 5 = -3

סכום ארבע הסטיות הידועות

−3+d=0 ⇒ d=3\begin{aligned}-3 + d &= 0 \ \Rightarrow \ d \\ &= 3\end{aligned}

סכום כל הסטיות הוא 00

הסטייה החמישית היא 33. מי שענה −3-3 העתיק את הסכום במקום להשלים אותו ל-00.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

מיינו: אילו מדדים אומרים איפה הנתונים נמצאים, ואילו אומרים כמה הם מפוזרים?

  • מדד מרכז
  • מדד פיזור
  • חציון
  • טווח
  • ממוצע
  • סטיית תקן
  • שכיח
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : ממוצע — מדד מרכז · חציון — מדד מרכז · שכיח — מדד מרכז · טווח — מדד פיזור · סטיית תקן — מדד פיזור

Corrigé :

xˉ, Me, Mo\bar{x},\ Me,\ Mo

מרכז: ערך אחד שמייצג את הקבוצה

טווח, S\text{טווח},\ S

פיזור: כמה הנתונים רחוקים זה מזה

מדד מרכז עונה על «איפה», מדד פיזור עונה על «כמה מפוזר». סטיית התקן היא מדד פיזור, לא ממוצע נוסף.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

נתונות שתי קבוצות: 10, 10, 10, 10, 5010,\ 10,\ 10,\ 10,\ 50 ו-10, 20, 30, 40, 5010,\ 20,\ 30,\ 40,\ 50. מה נכון?

  1. הטווח של השנייה גדול יותר
  2. לשתיהן אותו טווח, 4040
  3. הטווח של הראשונה הוא 00, כי רוב הנתונים שווים
  4. הטווח של הראשונה הוא 5050
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B לשתיהן אותו טווח, 4040

Corrigé :

50−10=4050 - 10 = 40

הקבוצה הראשונה

50−10=4050 - 10 = 40

הקבוצה השנייה

הנכונה: אותו טווח. הטווח רואה רק את הגדול ואת הקטן. הקבוצות שונות מאוד באמצע, והטווח לא מרגיש בזה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

המשכורות החודשיות במשרד קטן נעות בין 8,5008{,}500 ש״ח לבין סכום גבוה יותר. הטווח של המשכורות הוא 6,0006{,}000 ש״ח. מהי המשכורת הגבוהה ביותר, בש״ח?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 14500

Corrigé :

הגדול−8500=6000\text{הגדול} - 8500 = 6000

הגדרת הטווח

הגדול=14500\text{הגדול} = 14500

מוסיפים

המשכורת הגבוהה היא 14,50014{,}500 ש״ח. מי שענה 2,5002{,}500 חיסר במקום לחבר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

זמני הנסיעה בקו 18 הם 18, 22, 26, 30, 34, 38, 4218,\ 22,\ 26,\ 30,\ 34,\ 38,\ 42 דקות, והממוצע 3030. השלימו את הסטיות.

הסטייה של 2222: ____ , הסטייה של 3838: ____ , סכום כל שבע הסטיות: ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : הסטייה של 2222: -8 , הסטייה של 3838: 8 , סכום כל שבע הסטיות: 0

Corrigé :

22−30=−822 - 30 = -8

מתחת לממוצע

38−30=838 - 30 = 8

מעל לממוצע

−12−8−4+0+4+8+12=0-12 - 8 - 4 + 0 + 4 + 8 + 12 = 0

הסכום

הנתונים של קו 18 סימטריים סביב 3030, ולכן כל סטייה חיובית מתבטלת מול סטייה שלילית. בכל קבוצה הסכום 00, גם כשאין סימטריה.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe