L'écart type d'une liste

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

בשיעור הקודם ראינו שסכום הסטיות מהממוצע הוא תמיד 00. הסתכלו על ארבע עמודות, ועל הקו של הממוצע שלהן, כדי לראות למה.

מהן הסטיות של 4, 9, 6, 54,\ 9,\ 6,\ 5 מהממוצע 66? ומה הסכום של הריבועים שלהן?

Voir la réponse et le corrigé

הסטיות: −2, 3, 0, −1-2,\ 3,\ 0,\ -1, והסכום שלהן 00. הריבועים: 4, 9, 0, 14,\ 9,\ 0,\ 1, והסכום 1414. אחרי ההעלאה בריבוע אין מספרים שליליים, ולכן אין ביטול.

הנוסחה של סטיית התקן

S=(x1−xˉ)2+(x2−xˉ)2+⋯+(xn−xˉ)2nS = \sqrt{\frac{(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2}{n}}

זו הנוסחה שבנוסחאון. SS היא סטיית התקן, xˉ\bar{x} הממוצע ו-nn מספר הנתונים.

במילים: מעלים כל סטייה בריבוע, מחשבים את הממוצע של הריבועים, ומוציאים שורש. השורש מחזיר אותנו ליחידות של הנתונים: אם הנתונים במעלות, גם SS במעלות. סטיית התקן היא בערך המרחק הטיפוסי של נתון מהממוצע.

11

מחשבים את הממוצע xˉ\bar{x}

22

מחשבים לכל נתון את הסטייה x−xˉx-\bar{x}

33

מעלים כל סטייה בריבוע ומחברים

44

מחלקים ב-nn ומוציאים שורש

חמישה ימים של חורף בירושלים

הטמפרטורות המקסימליות (במעלות) היו 12, 15, 14, 17, 1212,\ 15,\ 14,\ 17,\ 12. מצאו את סטיית התקן.

xˉ=12+15+14+17+125=705=14\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{12+15+14+17+12}{5} \\ &= \frac{70}{5} \\ &= 14\end{aligned}

שלב 1: הממוצע

−2, 1, 0, 3, −2-2,\ 1,\ 0,\ 3,\ -2

שלב 2: הסטיות. בדיקה: הסכום 00

4+1+0+9+4=184 + 1 + 0 + 9 + 4 = 18

שלב 3: סכום הריבועים

S=185=3.6≈1.90\begin{aligned}S &= \sqrt{\frac{18}{5}} \\ &= \sqrt{3.6} \approx 1.90\end{aligned}

שלב 4: חלוקה ב-55 ושורש. בערך 1.91.9 מעלות

מהי סטיית התקן של 20, 20, 20, 2020,\ 20,\ 20,\ 20? ומה אפשר לומר על קבוצה שסטיית התקן שלה 00?

Voir la réponse et le corrigé

S=0S=0: כל הסטיות הן 00. ולהפך: אם S=0S=0, כל ריבוע הוא 00, ולכן כל הנתונים שווים לממוצע. סטיית תקן אף פעם אינה שלילית.

בבחינה מותר מחשבון, אבל כתבו את השלבים: ממוצע, סטיות, סכום ריבועים, חלוקה ושורש. כשמקלידים סטייה שלילית בריבוע, שימו סוגריים: (−2)2=4(-2)^2=4. בלי סוגריים המחשבון מחשב −22=−4-2^2=-4.

שלוש הטעויות בחישוב.

S=185=3.6\begin{aligned}S &= \frac{18}{5} \\ &= 3.6\end{aligned}
S=3.6≈1.90S = \sqrt{3.6} \approx 1.90

שכחו את השורש. 3.63.6 הוא הממוצע של הריבועים, והוא ביחידות «מעלות בריבוע».

(−2+1+0+3−2)2=0(-2+1+0+3-2)^2 = 0
(−2)2+12+02+32+(−2)2=18(-2)^2+1^2+0^2+3^2+(-2)^2 = 18

מעלים בריבוע כל סטייה לבד, ורק אחר כך מחברים.

−22=−4-2^2 = -4
(−2)2=4(-2)^2 = 4

ריבוע של מספר שלילי הוא חיובי. במחשבון: סוגריים.

Exercices

Exercice 1

שמונה חברים רשמו כמה שעות בשבוע הם מתאמנים בחדר כושר: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 92,\ 4,\ 4,\ 4,\ 5,\ 5,\ 7,\ 9. הממוצע הוא 55. מצאו את סטיית התקן.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

−3, −1, −1, −1, 0, 0, 2, 4-3,\ -1,\ -1,\ -1,\ 0,\ 0,\ 2,\ 4

הסטיות מ-55

9+1+1+1+0+0+4+16=329+1+1+1+0+0+4+16 = 32

סכום הריבועים

S=328=4=2\begin{aligned}S &= \sqrt{\frac{32}{8}} \\ &= \sqrt{4} \\ &= 2\end{aligned}

מחלקים ב-88 ומוציאים שורש

סטיית התקן 22 שעות. מחלקים ב-88, מספר החברים, ולא ב-55, מספר הערכים השונים. מי שענה 44 שכח את השורש.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

מצאו את סטיית התקן של הנתונים 6, 10, 146,\ 10,\ 14. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3.27

Corrigé :

xˉ=303=10\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{30}{3} \\ &= 10\end{aligned}

הממוצע

(−4)2+02+42=32(-4)^2 + 0^2 + 4^2 = 32

סכום הריבועים

S=323≈3.27S = \sqrt{\frac{32}{3}} \approx 3.27

חלוקה ב-33 ושורש

S≈3.27S \approx 3.27. מי שכתב 32≈5.66\sqrt{32} \approx 5.66 שכח לחלק במספר הנתונים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתונים: 7, 9, 11, 13, 157,\ 9,\ 11,\ 13,\ 15. השלימו את שלבי החישוב. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

הממוצע: ____ , סכום ריבועי הסטיות: ____ , סטיית התקן: ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : הממוצע: 11 , סכום ריבועי הסטיות: 40 , סטיית התקן: 2.83

Corrigé :

xˉ=555=11\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{55}{5} \\ &= 11\end{aligned}

הממוצע

16+4+0+4+16=4016 + 4 + 0 + 4 + 16 = 40

הסטיות −4, −2, 0, 2, 4-4,\ -2,\ 0,\ 2,\ 4 בריבוע

S=405=8≈2.83\begin{aligned}S &= \sqrt{\frac{40}{5}} \\ &= \sqrt{8} \approx 2.83\end{aligned}

חלוקה ושורש

הנתונים מרוחקים 22 זה מזה, וסטיית התקן יצאה קצת יותר מ-22. זו בדיקת היגיון טובה: SS צריכה להיות בערך המרחק הטיפוסי מהממוצע.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

מהי סטיית התקן של הנתונים 15, 15, 15, 15, 1515,\ 15,\ 15,\ 15,\ 15?

  1. 1515
  2. 11
  3. 00
  4. 33
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 00

Corrigé :

xˉ=15\bar{x} = 15

הממוצע

x−xˉ=0x - \bar{x} = 0

כל הסטיות אפס

S=0=0\begin{aligned}S &= \sqrt{0} \\ &= 0\end{aligned}

הנכונה: 00. כשכל הנתונים שווים אין פיזור בכלל. מי שענה 1515 בלבל בין הממוצע לבין סטיית התקן.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

נכון או לא נכון: סטיית תקן יכולה לצאת מספר שלילי כאשר רוב הנתונים מתחת לממוצע.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

(x−xˉ)2≥0(x - \bar{x})^2 \geq 0

כל ריבוע אינו שלילי

S=…≥0S = \sqrt{\dots} \geq 0

שורש אינו שלילי

לא נכון. סטיית התקן היא שורש של ממוצע ריבועים, ולכן תמיד S≥0S \geq 0. אם יצא לכם מספר שלילי, יש טעות בחישוב.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

אלה הטמפרטורות (במעלות) שנמדדו בתל אביב בחמישה בקרים: 20, 22, 25, 21, 2220,\ 22,\ 25,\ 21,\ 22. מצאו את סטיית התקן. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1.67

Corrigé :

xˉ=1105=22\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{110}{5} \\ &= 22\end{aligned}

הממוצע

−2, 0, 3, −1, 0-2,\ 0,\ 3,\ -1,\ 0

הסטיות

4+0+9+1+0=144 + 0 + 9 + 1 + 0 = 14

סכום הריבועים

S=145=2.8≈1.67\begin{aligned}S &= \sqrt{\frac{14}{5}} \\ &= \sqrt{2.8} \approx 1.67\end{aligned}

חלוקה ושורש

S≈1.67S \approx 1.67 מעלות. מי שענה 2.82.8 עצר לפני השורש.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

רון חישב את סטיית התקן של 4, 6, 84,\ 6,\ 8. שורה אחת שגויה: מצאו אותה.

xˉ=4+6+83=6\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{4+6+8}{3} \\ &= 6\end{aligned}
(4−6)2+(6−6)2+(8−6)2=8(4-6)^2 + (6-6)^2 + (8-6)^2 = 8
S=83≈2.67S = \frac{8}{3} \approx 2.67
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : S=83≈2.67S = \frac{8}{3} \approx 2.67 → S=83≈1.63S = \sqrt{\frac{8}{3}} \approx 1.63

Corrigé :

83≈2.67\frac{8}{3} \approx 2.67

זה ממוצע הריבועים

2.67≈1.63\sqrt{2.67} \approx 1.63

חסר השורש

השורה השלישית שגויה: רון שכח להוציא שורש. הממוצע וסכום הריבועים נכונים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

סדרו את שלבי החישוב של סטיית התקן.

  • On extrait la racine carrée (שורש)
  • מחלקים במספר הנתונים
  • מחשבים את הממוצע
  • מחשבים את הסטייה של כל נתון מהממוצע
  • מעלים כל סטייה בריבוע ומחברים
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : מחשבים את הממוצע · מחשבים את הסטייה של כל נתון מהממוצע · מעלים כל סטייה בריבוע ומחברים · מחלקים במספר הנתונים · On extrait la racine carrée (שורש)

Corrigé :

xˉ→x−xˉ→(x−xˉ)2→∑n→ \bar{x} \to x-\bar{x} \to (x-\bar{x})^2 \to \frac{\sum}{n} \to \sqrt{\ }

חמשת השלבים

אי אפשר לחשב סטיות לפני שיש ממוצע, והשורש הוא תמיד השלב האחרון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

לארבע הקבוצות אותו ממוצע, 5050. לאיזו מהן סטיית התקן הגדולה ביותר? ענו בלי לחשב.

  1. 50, 50, 5050,\ 50,\ 50
  2. 45, 50, 5545,\ 50,\ 55
  3. 40, 50, 6040,\ 50,\ 60
  4. 48, 50, 5248,\ 50,\ 52
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 40, 50, 6040,\ 50,\ 60

Corrigé :

±10 > ±5 > ±2 > 0\pm 10 \ > \ \pm 5 \ > \ \pm 2 \ > \ 0

הסטיות בכל קבוצה

הנכונה: 40, 50, 6040,\ 50,\ 60. הנתונים שלה הכי רחוקים מהממוצע. לא צריך מחשבון כדי להשוות פיזור כשהממוצע משותף.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

המשכורות של חמישה עובדים בחנות, באלפי ש״ח: 7, 8, 8, 9, 137,\ 8,\ 8,\ 9,\ 13. מצאו את סטיית התקן, באלפי ש״ח. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2.1

Corrigé :

xˉ=455=9\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{45}{5} \\ &= 9\end{aligned}

הממוצע

−2, −1, −1, 0, 4-2,\ -1,\ -1,\ 0,\ 4

הסטיות

4+1+1+0+16=224 + 1 + 1 + 0 + 16 = 22

סכום הריבועים

S=225=4.4≈2.10\begin{aligned}S &= \sqrt{\frac{22}{5}} \\ &= \sqrt{4.4} \approx 2.10\end{aligned}

חלוקה ושורש

S≈2.10S \approx 2.10 אלפי ש״ח. שימו לב: העובד שמרוויח 1313 תורם 1616 מתוך 2222. נתון רחוק מהממוצע מגדיל מאוד את סטיית התקן, כי הסטייה שלו מועלית בריבוע.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe