Figures découpées en triangles rectangles · Trigonométrie appliquée · Kita יא

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

שער חניה מלבני ברוחב $3.6$ מטר. כדי שלא יתעקם, מרתכים בו קורה באלכסון, מהפינה התחתונה אל הפינה העליונה שממול. הקורה יוצרת עם הצלע התחתונה זווית של $30^\circ$ . מה גובה השער, ומה אורך הקורה? אין כאן משולש, עד שמסתכלים על חצי מהשער.

AC

היא הקורה. היא חוצה את המלבן לשני משולשים ישרי זווית,

ABC

ו-

ADC

במשולש $ABC$ : מה ידוע, ומה אפשר לחשב? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

$AB = 3.6$ ליד הזווית $30^\circ$ , והזווית $B$ ישרה. הגובה: $BC = 3.6\tan 30^\circ \approx 2.08$ מטר. הקורה, היתר: $AC = \frac{3.6}{\cos 30^\circ} \approx 4.16$ מטר.

איפה מסתתר המשולש ישר הזווית?

\angle B = 90^\circ

מלבן: האלכסון חוצה אותו לשני משולשים ישרי זווית. הצלעות הן הניצבים, והאלכסון הוא היתר.

\begin{aligned}BD &= DC \\ &= \frac{BC}{2}\end{aligned}

משולש שווה שוקיים: הגובה לבסיס חוצה את הבסיס ואת זווית הראש. עובדים עם חצי בסיס.

\begin{aligned}AE &= FB \\ &= \frac{AB - DC}{2}\end{aligned}

טרפז שווה שוקיים: שני גבהים מהבסיס הקצר חותכים מהבסיס הארוך, משני הצדדים, שני קטעים שווים.

\begin{aligned}AO &= \frac{AC}{2} \ \\ \ \angle AOB &= 90^\circ\end{aligned}

מעוין: האלכסונים מאונכים זה לזה, חוצים זה את זה וחוצים את הזוויות. עובדים עם חצי אלכסון וחצי זווית.

הדרך תמיד אותה דרך: מורידים גובה או מעבירים אלכסון, מסמנים את המשולש ישר הזווית, וכותבים ליד כל צלע שלו את אורכה במשולש. לפעמים זה חצי מהצלע של הצורה. רק אז בוחרים יחס.

טרפז שווה שוקיים

גובה, שוק, היקף ושטח

בטרפז שווה שוקיים $ABCD$ ( $AB \parallel DC$ ) הבסיסים $AB = 22$ ו- $DC = 12$ , וזווית הבסיס $\angle A = 48^\circ$ . $DE$ ו- $CF$ הם גבהים. מצאו את הגובה, את השוק, את ההיקף ואת השטח. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

\begin{aligned}AE &= \frac{22 - 12}{2} \\ &= 5\end{aligned}

$EF = DC = 12$ , והשארית מתחלקת שווה בשווה בין שני הצדדים

DE = 5\tan 48^\circ \approx 5.55

במשולש $AED$ : $AE$ ליד הזווית, $DE$ מולה

AD = \frac{5}{\cos 48^\circ} \approx 7.47

השוק היא היתר של המשולש $AED$

P = 22 + 12 + 2 \cdot 7.47 \approx 48.94

שתי שוקיים שוות

S = \frac{22 + 12}{2} \cdot 5.55 \approx 94.40

שטח טרפז: ממוצע הבסיסים כפול הגובה

למה $AE = FB$ ? נמקו.

Voir la réponse et le corrigé

המשולשים $AED$ ו- $BFC$ ישרי זווית. היתרים שלהם שווים, $AD = BC$ (שוקי הטרפז), וגם ניצב אחד, $DE = CF$ (גבהים בין אותם ישרים מקבילים). לכן הם חופפים, ו- $AE = FB$ . ומכיוון ש- $EF = DC$ , כל אחד מהם הוא $\frac{AB - DC}{2}$ .

מעוין

במעוין $ABCD$ שצלעו $10$ וזוויתו $\angle DAB = 64^\circ$ , המשולש $AOB$ ישר זווית ב- $O$ . הזווית $\angle OAB = 32^\circ$ , חצי מזווית המעוין, והיתר הוא הצלע $AB = 10$ .

מהו אורך האלכסון $AC$ ? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

$AO = 10\cos 32^\circ \approx 8.48$ , והאלכסונים חוצים זה את זה: $AC = 2 \cdot AO \approx 16.96$ .

היקף: מחברים את כל הצלעות של הצורה, לא של המשולש. שטח: נוסחת השטח של הצורה, או סכום השטחים של המשולשים שבתוכה.

שלוש טעויות של «חצי».

\tan 52^\circ = \frac{AD}{16}

\tan 52^\circ = \frac{AD}{8}

במשולש שווה שוקיים שבסיסו $16$ , הניצב במשולש ישר הזווית הוא חצי הבסיס.

\begin{aligned}AE &= 22 - 12 \\ &= 10\end{aligned}

\begin{aligned}AE &= \frac{22 - 12}{2} \\ &= 5\end{aligned}

בטרפז שווה שוקיים ההפרש בין הבסיסים מתחלק בין שני הצדדים.

AO = 10\cos 64^\circ

AO = 10\cos 32^\circ

האלכסון חוצה את זווית המעוין: במשולש $AOB$ עובדים עם החצי.

Exercices

Exercice 1

במלבן $ABCD$ הצלע $AB = 10$ , והאלכסון $AC$ יוצר עם $AB$ זווית של $28^\circ$ . חשבו את הצלע $BC$ . עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5.32

Corrigé :

\angle B = 90^\circ

כל זוויות המלבן ישרות, ולכן $ABC$ ישר זווית

BC = 10\tan 28^\circ \approx 5.32

$AB$ ליד הזווית, $BC$ מולה: טנגנס

$BC \approx 5.32$ . מי שחישב $10\sin 28^\circ$ התייחס ל- $AB$ כאל יתר, אבל היתר הוא האלכסון $AC$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

במלבן $ABCD$ האלכסון $AC = 13$ , והוא יוצר עם הצלע $AB$ זווית של $40^\circ$ . חשבו את שטח המלבן. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 83.22

Corrigé :

AB = 13\cos 40^\circ \approx 9.96

ליד ויתר

BC = 13\sin 40^\circ \approx 8.36

מול ויתר

S = AB \cdot BC \approx 83.22

שטח מלבן: אורך כפול רוחב

השטח $\approx 83.22$ . מי שחישב $\frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC$ מצא את שטח המשולש $ABC$ , חצי מהמלבן.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

במשולש שווה שוקיים $ABC$ ( $AB = AC$ ) הבסיס $BC = 16$ וזווית הבסיס $\angle B = 52^\circ$ . $AD$ הוא הגובה לבסיס. חשבו את $AD$ . עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 10.24

Corrigé :

\begin{aligned}BD &= \frac{16}{2} \\ &= 8\end{aligned}

במשולש שווה שוקיים הגובה לבסיס הוא גם תיכון

AD = 8\tan 52^\circ \approx 10.24

במשולש $ABD$ : $BD$ ליד $B$ , $AD$ מולה

$AD \approx 10.24$ . מי שכתב $16\tan 52^\circ \approx 20.48$ שכח שהגובה חוצה את הבסיס.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

במשולש שווה שוקיים $ABC$ השוקיים $AB = AC = 9$ וזווית הראש $\angle BAC = 70^\circ$ . $AD$ הוא הגובה לבסיס. חשבו את הבסיס $BC$ . עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 10.32

Corrigé :

\angle BAD = 35^\circ

הגובה לבסיס חוצה את זווית הראש

BD = 9\sin 35^\circ \approx 5.16

במשולש $ABD$ : $BD$ מול $35^\circ$ , $AB$ היתר

BC = 2 \cdot BD \approx 10.32

הגובה הוא גם תיכון

$BC \approx 10.32$ . שתי טעויות של חצי: לעבוד עם $70^\circ$ במקום $35^\circ$ , או לעצור ב- $BD$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

בטרפז שווה שוקיים $ABCD$ ( $AB \parallel DC$ ) הבסיסים $AB = 18$ ו- $DC = 10$ . $DE$ הוא גובה. מהו אורך $AE$ ?

$14$
$9$
$8$
$4$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $4$

Corrigé :

\begin{aligned}EF &= DC \\ &= 10\end{aligned}

$DCFE$ הוא מלבן

\begin{aligned}AE &= \frac{18 - 10}{2} \\ &= 4\end{aligned}

שני הקטעים בצדדים שווים

הנכונה: $4$ . $8$ הוא ההפרש כולו, בלי לחלק לשני הצדדים. $14$ הוא ממוצע הבסיסים, ששייך לנוסחת השטח.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

בטרפז שווה שוקיים $ABCD$ ( $AB \parallel DC$ ) הבסיסים $AB = 20$ ו- $DC = 12$ , וזווית הבסיס $\angle A = 50^\circ$ . $DE$ הוא גובה. חשבו את $DE$ . עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4.77

Corrigé :

\begin{aligned}AE &= \frac{20 - 12}{2} \\ &= 4\end{aligned}

הטרפז שווה שוקיים

DE = 4\tan 50^\circ \approx 4.77

במשולש $AED$ : $AE$ ליד $A$ , $DE$ מולה

$DE \approx 4.77$ . מי שקיבל $9.53$ לקח $AE = 8$ , את ההפרש כולו.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

בטרפז שווה שוקיים $ABCD$ ( $AB \parallel DC$ ) הבסיסים $AB = 26$ ו- $DC = 14$ , וזווית הבסיס $\angle A = 40^\circ$ . חשבו את שטח הטרפז. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 100.69

Corrigé :

\begin{aligned}AE &= \frac{26 - 14}{2} \\ &= 6\end{aligned}

הגובה $DE$ חותך קטע שווה בכל צד

DE = 6\tan 40^\circ \approx 5.03

טנגנס במשולש $AED$

S = \frac{26 + 14}{2} \cdot 5.03 \approx 100.69

ממוצע הבסיסים כפול הגובה

השטח $\approx 100.69$ . בנוסחת הטרפז מחברים את הבסיסים ( $\frac{26 + 14}{2}$ ), ובחישוב $AE$ מחסרים אותם ( $\frac{26 - 14}{2}$ ). לא להחליף.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

במעוין $ABCD$ הצלע $10$ והזווית $\angle DAB = 70^\circ$ . האלכסונים נפגשים ב- $O$ . חשבו את האלכסון $BD$ . עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 11.47

Corrigé :

\begin{aligned}\angle OAB &= 35^\circ \\ \ \angle AOB &= 90^\circ\end{aligned}

במעוין האלכסונים מאונכים וחוצים את הזוויות

BO = 10\sin 35^\circ \approx 5.74

$BO$ מול $35^\circ$ , $AB$ היתר

BD = 2 \cdot BO \approx 11.47

האלכסונים חוצים זה את זה

$BD \approx 11.47$ . $BD$ נמצא מול הזווית $A$ , ולכן סינוס. $2 \cdot 10\cos 35^\circ$ נותן את האלכסון השני, $AC$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

במעוין $ABCD$ האלכסונים $AC = 16$ ו- $BD = 12$ נפגשים ב- $O$ . חשבו את הזווית $\angle DAB$ של המעוין. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 73.74

Corrigé :

\begin{aligned}AO &= 8 \\ \ BO &= 6\end{aligned}

האלכסונים חוצים זה את זה

\tan\angle OAB = \frac{6}{8} \ \Rightarrow \ \angle OAB \approx 36.87^\circ

במשולש $AOB$ , ישר זווית ב- $O$

\angle DAB = 2 \cdot \angle OAB \approx 73.74^\circ

האלכסון חוצה את זווית המעוין

$\angle DAB \approx 73.74^\circ$ . מי שעצר ב- $36.87^\circ$ מצא רק את חצי הזווית.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

במשולש שווה שוקיים $ABC$ ( $AB = AC$ ) הבסיס $BC = 16$ וזווית הבסיס $\angle B = 52^\circ$ . $AD$ הוא הגובה לבסיס. חשבו את היקף המשולש. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 41.99

Corrigé :

BD = 8

הגובה לבסיס הוא גם תיכון

AB = \frac{8}{\cos 52^\circ} \approx 12.99

במשולש $ABD$ : $BD$ ליד $B$ , $AB$ היתר

P = 16 + 2 \cdot 12.99 \approx 41.99

שתי שוקיים ובסיס

ההיקף $\approx 41.99$ . ההיקף הוא של המשולש $ABC$ : מי שחיבר $8 + AB + AD$ חישב את היקף המשולש הקטן $ABD$ .

Vérifier la réponse sur elev

איפה מסתתר המשולש ישר הזווית?

טרפז שווה שוקיים

מעוין

Exercices

La suite se pratique sur elev