Angle d'élévation et angle de dépression

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

נועה עומדת בפארק בחיפה, 5050 מטר מבסיס של מגדל תצפית. היא מרימה את המבט אל ראש המגדל, והמבט יוצר עם הקרקע זווית של 35∘35^\circ. איש לא טיפס עם סרט מדידה, ובכל זאת אפשר לדעת את גובה המגדל. הסתכלו על השרטוט.

ABT
AA המקום של נועה, BB בסיס המגדל ו-TT ראשו. ATAT הוא קו הראייה. הזווית בין קו הראייה לקרקע, ∠TAB\angle TAB, נקראת זווית גובה.

באיזה יחס משתמשים כדי למצוא את BTBT? ומה גובה המגדל?

Voir la réponse et le corrigé

AB=50AB = 50 הוא הניצב שליד הזווית, ו-BTBT הניצב שמולה: טנגנס. BT=50tan⁡35∘≈35.01BT = 50\tan 35^\circ \approx 35.01 מטר.

זווית גובה וזווית עומק

זווית גובה: הזווית בין הקו האופקי לבין קו הראייה, כשמסתכלים למעלה. זווית עומק: הזווית בין הקו האופקי לבין קו הראייה, כשמסתכלים למטה. בשתיהן מודדים מהאופק, אף פעם לא מהקו האנכי.

TBSH
מראש הצוק TT רואים סירה SS. הקו המקווקו THTH אופקי. זווית העומק היא ∠HTS\angle HTS, בין האופק לקו הראייה. זווית הגובה מהסירה אל ראש הצוק היא ∠TSB\angle TSB.

למה זווית העומק ∠HTS\angle HTS שווה לזווית הגובה ∠TSB\angle TSB?

Voir la réponse et le corrigé

THTH אופקי, ולכן הוא מקביל לפני הים BSBS. הזוויות ∠HTS\angle HTS ו-∠TSB\angle TSB הן זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים, ולכן הן שוות. בחישוב מעבירים את זווית העומק פנימה, אל הקודקוד SS.

זווית העומק נמצאת מחוץ למשולש. הצעד הראשון בכל שאלה: להעביר אותה פנימה, אל הקודקוד שלמטה, בעזרת הזוויות המתחלפות. רק אז בוחרים יחס.

גובה העיניים

המבט יוצא מהעיניים, לא מהרגליים. אם אדם שעיניו בגובה 1.61.6 מטר מודד זווית גובה, המשולש ישר הזווית מתחיל בגובה העיניים. מחשבים את החלק שמעל העיניים, ומוסיפים את גובה העיניים בסוף.

PEBKT
PEPE הוא גובה העיניים של דני. EKEK אופקי, בגובה העיניים. המשולש ישר הזווית הוא EKTEKT, ו-KB=PEKB = PE.

גובה מגדל המים

דני עומד 3030 מטר ממגדל מים. עיניו בגובה 1.61.6 מטר, וזווית הגובה אל ראש המגדל היא 40∘40^\circ. מהו גובה המגדל? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

KT=30tan⁡40∘≈25.17KT = 30\tan 40^\circ \approx 25.17

במשולש EKTEKT: EK=30EK = 30 ליד הזווית, KTKT מולה

BT=KT+KB≈25.17+1.6=26.77\begin{aligned}BT &= KT + KB \approx 25.17 + 1.6 \\ &= 26.77\end{aligned}

מוסיפים את גובה העיניים

מגדל, צוק, רחפן וכבש

h=d⋅tan⁡αh = d \cdot \tan\alpha

מגדל, בניין, עמוד: מרחק על הקרקע וזווית גובה נותנים גובה.

d=htan⁡αd = \frac{h}{\tan\alpha}

צוק, מטוס, רחפן: גובה וזווית עומק נותנים מרחק אופקי.

ℓ=hsin⁡α\ell = \frac{h}{\sin\alpha}

קו ראייה, כבל, כבש: גובה וזווית נותנים את האורך המשופע, שהוא היתר.

רחפן מרחף בגובה 8080 מטר. זווית העומק ממנו אל ילד על החוף היא 20∘20^\circ. מה המרחק האופקי בין הילד לנקודה שמתחת לרחפן? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

מעבירים את 20∘20^\circ אל הילד. שם 8080 הוא הניצב שמול, והמרחק dd הניצב שליד: tan⁡20∘=80d\tan 20^\circ = \frac{80}{d}, ולכן d=80tan⁡20∘≈219.80d = \frac{80}{\tan 20^\circ} \approx 219.80 מטר. מי שכתב 80tan⁡20∘≈29.1280\tan 20^\circ \approx 29.12 השאיר את הזווית ליד הרחפן.

שלוש טעויות של זוויות גובה ועומק.

tan⁡28∘=BS40\tan 28^\circ = \frac{BS}{40}
tan⁡28∘=40BS\tan 28^\circ = \frac{40}{BS}

אחרי שמעבירים את זווית העומק 28∘28^\circ אל הסירה, הצוק TB=40TB = 40 נמצא מולה.

BT=30tan⁡40∘BT = 30\tan 40^\circ
BT=30tan⁡40∘+1.6BT = 30\tan 40^\circ + 1.6

שכחו את גובה העיניים: הזווית נמדדת מהעיניים, לא מהקרקע.

∠BTS=28∘\angle BTS = 28^\circ
∠BTS=90∘−28∘=62∘\begin{aligned}\angle BTS &= 90^\circ - 28^\circ \\ &= 62^\circ\end{aligned}

זווית העומק נמדדת מהאופק. הזווית בין הצוק האנכי לקו הראייה משלימה אותה ל-90∘90^\circ.

Exercices

Exercice 1

ABT

יעל עומדת בנקודה AA ומסתכלת על ראש העמוד TT. BB הוא בסיס העמוד, ו-ABAB אופקי. מהי זווית הגובה?

  1. ∠TAB\angle TAB
  2. ∠ATB\angle ATB
  3. ∠ABT\angle ABT
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A ∠TAB\angle TAB

Corrigé :

∠TAB\angle TAB

הזווית בין הקו האופקי ABAB לבין קו הראייה ATAT, בקודקוד שבו עומדת יעל

הנכונה: ∠TAB\angle TAB. ∠ATB\angle ATB היא הזווית בראש העמוד, בין העמוד לקו הראייה. ∠ABT\angle ABT היא הזווית הישרה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

ABT

מנקודה AA על הקרקע, במרחק 4040 מטר מבסיס בניין, זווית הגובה אל ראש הבניין היא 52∘52^\circ. מהו גובה הבניין? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 51.2

Corrigé :

tan⁡52∘=BT40\tan 52^\circ = \frac{BT}{40}

AB=40AB = 40 ליד הזווית, הגובה BTBT מולה

BT=40tan⁡52∘≈51.20BT = 40\tan 52^\circ \approx 51.20

כופלים

הגובה ≈51.20\approx 51.20 מטר. מי שהשתמש ב-sin⁡\sin חישב כאילו 4040 הוא קו הראייה, אבל 4040 הוא מרחק על הקרקע: ניצב, לא יתר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

PEBKT

עומר עומד 2525 מטר מעמוד תאורה. עיניו בגובה 1.71.7 מטר, וזווית הגובה מעיניו אל ראש העמוד היא 38∘38^\circ. מהו גובה העמוד? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 21.23

Corrigé :

KT=25tan⁡38∘≈19.53KT = 25\tan 38^\circ \approx 19.53

במשולש ישר הזווית שמתחיל בגובה העיניים

BT≈19.53+1.7=21.23BT \approx 19.53 + 1.7 = 21.23

מוסיפים את גובה העיניים

העמוד ≈21.23\approx 21.23 מטר. מי שענה 19.5319.53 שכח את גובה העיניים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

TBSH

מראש צוק בגובה 6060 מטר מעל פני הים, זווית העומק אל סירה היא 25∘25^\circ. מה המרחק בין הסירה לבסיס הצוק? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 128.67

Corrigé :

∠TSB=25∘\angle TSB = 25^\circ

זוויות מתחלפות: זווית העומק שווה לזווית הגובה מהסירה

tan⁡25∘=60BS ⇒ BS=60tan⁡25∘≈128.67\begin{aligned}\tan 25^\circ &= \frac{60}{BS} \ \Rightarrow \ BS \\ &= \frac{60}{\tan 25^\circ} \approx 128.67\end{aligned}

הצוק מול הזווית, המרחק לידה

המרחק ≈128.67\approx 128.67 מטר. מי שכתב 60tan⁡25∘≈27.9860\tan 25^\circ \approx 27.98 השאיר את הזווית למעלה, ליד TT.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

TBSH

רחפן מרחף בגובה 120120 מטר. זווית העומק ממנו אל מכונית חונה היא 35∘35^\circ. מה המרחק בקו ישר בין הרחפן למכונית? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 209.21

Corrigé :

∠TSB=35∘\angle TSB = 35^\circ

מעבירים את זווית העומק אל המכונית SS

sin⁡35∘=120TS ⇒ TS=120sin⁡35∘≈209.21\begin{aligned}\sin 35^\circ &= \frac{120}{TS} \ \Rightarrow \ TS \\ &= \frac{120}{\sin 35^\circ} \approx 209.21\end{aligned}

הגובה מול הזווית, והמרחק בקו ישר הוא היתר

המרחק ≈209.21\approx 209.21 מטר. «בקו ישר» הוא קו הראייה, היתר. המרחק על הקרקע, 120tan⁡35∘≈171.38\frac{120}{\tan 35^\circ} \approx 171.38, הוא תשובה לשאלה אחרת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

ABT

כבש בכניסה לחניון עולה לגובה 1.21.2 מטר לאורך מרחק אופקי של 8.58.5 מטר. מהי זווית השיפוע של הכבש עם הקרקע? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 8.04

Corrigé :

tan⁡α=1.28.5\tan\alpha = \frac{1.2}{8.5}

הגובה מול הזווית, המרחק האופקי לידה

α=tan⁡−1(1.28.5)≈8.04∘\alpha = \tan^{-1}\left(\frac{1.2}{8.5}\right) \approx 8.04^\circ

הפונקציה ההפוכה, במצב מעלות

α≈8.04∘\alpha \approx 8.04^\circ. 8.58.5 מטר הוא מרחק אופקי, לא אורך הכבש, ולכן לא sin⁡−1\sin^{-1}.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

ABT

חוט של עפיפון באורך 5050 מטר מתוח בקו ישר, בזווית של 48∘48^\circ עם הקרקע. הקצה התחתון של החוט קשור ליתד בקרקע. באיזה גובה נמצא העפיפון? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 37.16

Corrigé :

sin⁡48∘=BT50\sin 48^\circ = \frac{BT}{50}

החוט הוא היתר, הגובה מול הזווית

BT=50sin⁡48∘≈37.16BT = 50\sin 48^\circ \approx 37.16

כופלים

הגובה ≈37.16\approx 37.16 מטר. 50tan⁡48∘50\tan 48^\circ היה נכון רק אילו 5050 היה מרחק על הקרקע.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

TBSH

מראש מגדלור TT רואים סירה SS. זווית העומק מ-TT אל SS שווה לזווית הגובה מ-SS אל TT.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

TH∥BSTH \parallel BS

הקו האופקי דרך TT מקביל לפני הים

∠HTS=∠TSB\angle HTS = \angle TSB

זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים

נכון. זה מה שמאפשר להעביר את זווית העומק אל תוך המשולש. הטעות הנפוצה היא לשים את זווית העומק ב-∠BTS\angle BTS, בין המגדלור לקו הראייה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

ABT

עמוד בגובה 66 מטר מטיל צל באורך 8.58.5 מטר על קרקע אופקית. מהי זווית הגובה של השמש, הזווית בין קרני השמש לקרקע? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 35.22

Corrigé :

tan⁡α=68.5\tan\alpha = \frac{6}{8.5}

העמוד מול הזווית, הצל לידה

α=tan⁡−1(68.5)≈35.22∘\alpha = \tan^{-1}\left(\frac{6}{8.5}\right) \approx 35.22^\circ

במחשבון

α≈35.22∘\alpha \approx 35.22^\circ. מי שקיבל 54.78∘54.78^\circ חישב את הזווית בראש העמוד, בין העמוד לקרן.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

TBSH

מטוס טס בגובה 15001500 מטר ומתחיל לנחות. זווית העומק מהמטוס אל תחילת המסלול היא 12∘12^\circ. מה המרחק בקו ישר בין המטוס לתחילת המסלול? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 7214.6

Corrigé :

∠TSB=12∘\angle TSB = 12^\circ

זווית העומק עוברת אל תחילת המסלול SS

TS=1500sin⁡12∘≈7214.60TS = \frac{1500}{\sin 12^\circ} \approx 7214.60

הגובה מול הזווית, המרחק בקו ישר הוא היתר

המרחק ≈7214.60\approx 7214.60 מטר, כמעט 7.27.2 ק״מ. זווית קטנה נותנת מרחק גדול: אם יצא לכם מספר קטן מ-15001500, כפלתם במקום לחלק.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe