Côté ou angle manquant

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

בחצר של בית ספר בבאר שבע מעגנים עמוד תאורה בכבל מתוח. הכבל יוצא מראש העמוד, בגובה 99 מטר, ופוגש את הקרקע בזווית של 62∘62^\circ. כמה מטרים של כבל צריך לקנות? הסתכלו על השרטוט: העמוד, הקרקע והכבל סוגרים משולש ישר זווית.

CBA
BCBC הוא העמוד, ABAB הכבל ו-AA נקודת העיגון בקרקע. הזווית הישרה ב-CC, והזווית AA היא 62∘62^\circ.

ביחס לזווית AA: איזו צלע נתונה, איזו צלע מחפשים, ומה התפקיד של כל אחת?

Voir la réponse et le corrigé

נתון BC=9BC = 9, הניצב שמול AA. מחפשים את ABAB, היתר. מול ויתר: סינוס. sin⁡62∘=9AB\sin 62^\circ = \frac{9}{AB}, ולכן AB=9sin⁡62∘≈10.19AB = \frac{9}{\sin 62^\circ} \approx 10.19 מטר.

שלוש שאלות, יחס אחד

כל חישוב בפרק מתחיל באותן שלוש שאלות. איזו זווית חדה משתתפת? איזו צלע נתונה ביחס אליה? איזו צלע מחפשים? שתי הצלעות, הנתונה והמבוקשת, בוחרות את היחס:

sin⁡α\sin\alpha

הניצב שמול α\alpha והיתר

cos⁡α\cos\alpha

הניצב שליד α\alpha והיתר

tan⁡α\tan\alpha

הניצב שמול והניצב שליד. בלי יתר

כופלים או מחלקים?

אחרי שבחרנו יחס, כותבים משוואה עם שבר ורק אז מבודדים את הנעלם. נעלם במונה: כופלים. נעלם במכנה: מחלקים.

כמה רחוק מהעמוד נמצאת נקודת העיגון?

באותו עמוד: BC=9BC = 9 ו-∠A=62∘\angle A = 62^\circ. מצאו את ACAC. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

tan⁡62∘=BCAC=9AC\begin{aligned}\tan 62^\circ &= \frac{BC}{AC} \\ &= \frac{9}{AC}\end{aligned}

BCBC מול AA, ACAC ליד AA: שני ניצבים, טנגנס

AC=9tan⁡62∘≈4.79AC = \frac{9}{\tan 62^\circ} \approx 4.79

הנעלם במכנה, ולכן מחלקים

4.79<9<10.194.79 < 9 < 10.19

בדיקה: שני הניצבים קצרים מהיתר ABAB ✓

מהיחס אל הזווית

כשנתונות שתי צלעות ומחפשים זווית, מחשבים את היחס ואז משתמשים בפונקציה ההפוכה: sin⁡−1\sin^{-1}, cos⁡−1\cos^{-1} או tan⁡−1\tan^{-1} (במרבית המחשבונים: SHIFT ואז הכפתור). לפני כן בודקים שבמסך מופיעה האות D (או DEG): המחשבון צריך להיות במצב מעלות.

במשולש ישר זווית הניצב שמול α\alpha הוא 55 והיתר 1313. מהי α\alpha? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

מול ויתר: sin⁡α=513\sin\alpha = \frac{5}{13}, ולכן α=sin⁡−1(513)≈22.62∘\alpha = \sin^{-1}\left(\frac{5}{13}\right) \approx 22.62^\circ. והזווית החדה השנייה: 90∘−22.62∘=67.38∘90^\circ - 22.62^\circ = 67.38^\circ.

לא מעגלים באמצע הדרך. משאירים את התוצאה בזיכרון המחשבון (Ans) ומעגלים רק את התשובה הסופית. עיגול מוקדם מזיז את הספרה האחרונה.

שלוש טעויות שעולות נקודות.

AB=9sin⁡62∘AB = 9\sin 62^\circ
AB=9sin⁡62∘AB = \frac{9}{\sin 62^\circ}

היתר הוא הנעלם, והוא במכנה: מחלקים. 9sin⁡62∘≈7.959\sin 62^\circ \approx 7.95, קצר מהניצב 99, וזה בלתי אפשרי ליתר.

sin⁡30=−0.99\sin 30 = -0.99
sin⁡30∘=0.5\sin 30^\circ = 0.5

המחשבון במצב רדיאנים. עברו למצב מעלות (D) לפני כל שאלה בפרק.

α=sin⁡0.6\alpha = \sin 0.6
α=sin⁡−1(0.6)≈36.87∘\alpha = \sin^{-1}(0.6) \approx 36.87^\circ

מהיחס אל הזווית עוברים בפונקציה ההפוכה sin⁡−1\sin^{-1}, לא ב-sin⁡\sin.

Exercices

Exercice 1

CAB

במשולש ABCABC הזווית CC ישרה. נתונים היתר ABAB והזווית AA, ומחפשים את ACAC. באיזה יחס משתמשים?

  1. cos⁡A\cos A
  2. sin⁡A\sin A
  3. Théorème de Pythagore
  4. tan⁡A\tan A
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A cos⁡A\cos A

Corrigé :

cos⁡A=ACAB\cos A = \frac{AC}{AB}

ACAC יוצא מהקודקוד AA: הניצב שליד. ABAB היתר

הנכונה: cos⁡A\cos A. מי שבחר sin⁡A\sin A לקח את הניצב שמול, BCBC. ופיתגורס דורש שתי צלעות ידועות, ונתונה רק אחת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

CAB

במשולש ABCABC הזווית CC ישרה, AB=16AB = 16 ו-∠A=38∘\angle A = 38^\circ. חשבו את BCBC. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 9.85

Corrigé :

sin⁡38∘=BC16\sin 38^\circ = \frac{BC}{16}

BCBC מול AA, ABAB היתר: סינוס

BC=16sin⁡38∘≈9.85BC = 16\sin 38^\circ \approx 9.85

הנעלם במונה: כופלים

BC≈9.85BC \approx 9.85. מי שקיבל 12.6112.61 השתמש בקוסינוס וחישב את ACAC, הניצב שליד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

CAB

במשולש ABCABC הזווית CC ישרה, AC=12AC = 12 ו-∠A=27∘\angle A = 27^\circ. חשבו את BCBC. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6.11

Corrigé :

tan⁡27∘=BC12\tan 27^\circ = \frac{BC}{12}

BCBC מול AA, ACAC ליד AA: טנגנס

BC=12tan⁡27∘≈6.11BC = 12\tan 27^\circ \approx 6.11

כופלים

BC≈6.11BC \approx 6.11. היתר לא משתתף, ולכן לא סינוס ולא קוסינוס. 12sin⁡27∘≈5.4512\sin 27^\circ \approx 5.45 היא טעות נפוצה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

CAB

במשולש ABCABC הזווית CC ישרה, BC=7BC = 7 ו-∠A=32∘\angle A = 32^\circ. חשבו את היתר ABAB. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 13.21

Corrigé :

sin⁡32∘=7AB\sin 32^\circ = \frac{7}{AB}

BCBC מול AA, ABAB היתר

AB=7sin⁡32∘≈13.21AB = \frac{7}{\sin 32^\circ} \approx 13.21

הנעלם במכנה: מחלקים

AB≈13.21AB \approx 13.21. מי שכפל קיבל 3.713.71, קצר מהניצב 77: יתר לא יכול להיות קצר מניצב.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

CAB

במשולש ABCABC הזווית CC ישרה, AC=18AC = 18 ו-∠B=58∘\angle B = 58^\circ. חשבו את BCBC. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 11.25

Corrigé :

tan⁡58∘=ACBC=18BC\begin{aligned}\tan 58^\circ &= \frac{AC}{BC} \\ &= \frac{18}{BC}\end{aligned}

הזווית היא BB: מולה ACAC, לידה BCBC

BC=18tan⁡58∘≈11.25BC = \frac{18}{\tan 58^\circ} \approx 11.25

הנעלם במכנה: מחלקים

BC≈11.25BC \approx 11.25. הזווית הנתונה היא BB, לא AA: «מול» ו«ליד» נקבעים לפי הזווית שבשאלה. מי שכתב 18tan⁡58∘≈28.8118\tan 58^\circ \approx 28.81 התייחס ל-58∘58^\circ כאילו היא בקודקוד AA.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

CAB

במשולש ABCABC הזווית CC ישרה, AC=9AC = 9 ו-BC=5BC = 5. חשבו את ∠A\angle A במעלות. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 29.05

Corrigé :

tan⁡A=BCAC=59\begin{aligned}\tan A &= \frac{BC}{AC} \\ &= \frac{5}{9}\end{aligned}

שני ניצבים: טנגנס

A=tan⁡−1(59)≈29.05∘A = \tan^{-1}\left(\frac{5}{9}\right) \approx 29.05^\circ

במחשבון, במצב מעלות

∠A≈29.05∘\angle A \approx 29.05^\circ. מי שקיבל 60.95∘60.95^\circ הפך את השבר ומצא את ∠B\angle B.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

CAB

במשולש ABCABC הזווית CC ישרה, AB=14AB = 14 ו-AC=11AC = 11. חשבו את ∠A\angle A במעלות. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 38.21

Corrigé :

cos⁡A=ACAB=1114\begin{aligned}\cos A &= \frac{AC}{AB} \\ &= \frac{11}{14}\end{aligned}

ליד ויתר: קוסינוס

A=cos⁡−1(1114)≈38.21∘A = \cos^{-1}\left(\frac{11}{14}\right) \approx 38.21^\circ

הפונקציה ההפוכה

∠A≈38.21∘\angle A \approx 38.21^\circ. עם sin⁡−1\sin^{-1} מקבלים 51.79∘51.79^\circ: זה היה נכון אילו 1111 היה הניצב שמול AA.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

CAB

במשולש ABCABC הזווית CC ישרה, AC=10AC = 10 ו-∠A=40∘\angle A = 40^\circ. תלמיד חישב את היתר ABAB. שורה אחת שגויה: מצאו אותה.

cos⁡40∘=10AB\cos 40^\circ = \frac{10}{AB}
AB=10cos⁡40∘≈7.66AB = 10\cos 40^\circ \approx 7.66
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : AB=10cos⁡40∘≈7.66AB = 10\cos 40^\circ \approx 7.66 → AB=10cos⁡40∘≈13.05AB = \frac{10}{\cos 40^\circ} \approx 13.05

Corrigé :

cos⁡40∘=10AB\cos 40^\circ = \frac{10}{AB}

השורה הראשונה נכונה: ליד ויתר

AB=10cos⁡40∘≈13.05AB = \frac{10}{\cos 40^\circ} \approx 13.05

ABAB במכנה: כופלים את שני האגפים ב-ABAB ומחלקים ב-cos⁡40∘\cos 40^\circ

השורה השנייה שגויה: הנעלם היה במכנה, והתלמיד כפל. הבדיקה הייתה חושפת את זה: 7.66<107.66 < 10, ויתר אינו קצר מניצב.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

CAB

במשולש ישר זווית, אם sin⁡α=0.8\sin\alpha = 0.8 אז cos⁡α=0.2\cos\alpha = 0.2.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

sin⁡α=0.8=45\begin{aligned}\sin\alpha &= 0.8 \\ &= \frac{4}{5}\end{aligned}

למשל ניצב 44 מול α\alpha ויתר 55

52−42=3 ⇒ cos⁡α=35=0.6\begin{aligned}\sqrt{5^2 - 4^2} &= 3 \ \Rightarrow \ \cos\alpha \\ &= \frac{3}{5} \\ &= 0.6\end{aligned}

משפט פיתגורס נותן את הניצב שליד

לא נכון: cos⁡α=0.6\cos\alpha = 0.6. הסינוס והקוסינוס אינם משלימים ל-11. מה שמשלים ל-11 הוא סכום הריבועים שלהם: 0.64+0.36=10.64 + 0.36 = 1.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

CAB

במשולש ABCABC הזווית CC ישרה, היתר AB=20AB = 20 ו-∠A=55∘\angle A = 55^\circ. חשבו את היקף המשולש. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 47.85

Corrigé :

BC=20sin⁡55∘≈16.38BC = 20\sin 55^\circ \approx 16.38

מול ויתר

AC=20cos⁡55∘≈11.47AC = 20\cos 55^\circ \approx 11.47

ליד ויתר

P=20+16.38+11.47≈47.85P = 20 + 16.38 + 11.47 \approx 47.85

סכום שלוש הצלעות

ההיקף ≈47.85\approx 47.85. מי שחיבר רק את שני הניצבים שכח את היתר, שהוא הנתון עצמו.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe