Série 2 — moyen · Polygones dans le repère · Kita יא

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

עשר שאלות בינוניות: כל אחת משלבת שניים או שלושה כלים. קודקוד כנקודת חיתוך, גובה ועקבו, סוג המרובע עם כל הבדיקות, נקודה לפי שטח, זווית ושטח של מרובע.

לפני שמחשבים שטח, חפשו צלע או אלכסון מקבילים לציר. ובכל «איזה מרובע», עלו בסולם עד הסוף: מקבילית, ואז מלבן, מעוין, ריבוע.

Exercices

Exercice 1

$ABCD$ מלבן. $A(-3,\,2)$ , $B(1,\,4)$ , והקודקוד $C$ נמצא על ציר ה- $x$ . מצאו את $C$ ואת $D$ .

$C($ ____ $,0)$ , $D($ ____ $,$ ____ $)$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $C($ 3 $,0)$ , $D($ -1 $,$ -2 $)$

Corrigé :

\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{2}{4} \\ &= \frac{1}{2} \ \Rightarrow \ m_{BC} \\ &= -2\end{aligned}

$BC \perp AB$

\begin{aligned}y - 4 &= -2(x - 1) \ \Rightarrow \ y \\ &= -2x + 6\end{aligned}

הישר $BC$

y = 0 \ \Rightarrow \ C(3,\,0)

חיתוך עם ציר ה- $x$

\begin{aligned}D &= A + C - B \\ &= (-1,\,-2)\end{aligned}

מלבן הוא מקבילית

$C(3,\,0)$ ו- $D(-1,\,-2)$ . בדיקה: $m_{AD} = \frac{-2-2}{-1+3} = -2$ , ולכן גם $AD \perp AB$ ✓.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתון המשולש $ABC$ : $A(0,\,1)$ , $B(4,\,3)$ , $C(0,\,6)$ . $CH$ הוא הגובה לצלע $AB$ . מצאו את $H$ .

$H($ ____ $,$ ____ $)$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $H($ 2 $,$ 2 $)$

Corrigé :

AB: \ y = \frac{1}{2}x + 1

שיפוע $\frac{1}{2}$ דרך $A$

CH: \ y = -2x + 6

מאונך, דרך $C$

\begin{aligned}\frac{1}{2}x + 1 &= -2x + 6 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2 \\ \ y &= 2\end{aligned}

חיתוך

$H(2,\,2)$ . כאן עקב הגובה יצא גם אמצע $AB$ , כי המשולש שווה שוקיים: $CA = 5$ ו- $CB = \sqrt{16 + 9} = 5$ . במשולש כללי העקב אינו האמצע, ולכן מוצאים אותו כחיתוך של שני ישרים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתון המשולש $ABC$ : $A(0,\,1)$ , $B(4,\,3)$ , $C(0,\,6)$ . $CH$ הוא הגובה לצלע $AB$ . $H(2,\,2)$ . חשבו את שטח המשולש.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 10

Corrigé :

\begin{aligned}AB &= \sqrt{16 + 4} \\ &= 2\sqrt{5} \\ \quad CH &= \sqrt{4 + 16} \\ &= 2\sqrt{5}\end{aligned}

בסיס וגובה

\begin{aligned}S &= \frac{2\sqrt{5} \cdot 2\sqrt{5}}{2} \\ &= 10\end{aligned}

חצי בסיס כפול גובה

\begin{aligned}AC &= 5 \\ \ h_B &= 4 \ \Rightarrow \ S \\ &= \frac{5 \cdot 4}{2} \\ &= 10\end{aligned}

בדיקה עם הבסיס האנכי $AC$ ✓

השטח $10$ . הצלע $AC$ על ציר ה- $y$ , ולכן הדרך השנייה קצרה בהרבה. כדאי לחפש אותה לפני שמתחילים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

הוכיחו או הפריכו: המרובע $ABCD$ , עם $A(0,\,0)$ , $B(6,\,0)$ , $C(4,\,3)$ , $D(1,\,3)$ , הוא טרפז שווה שוקיים.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

\begin{aligned}m_{AB} &= m_{DC} \\ &= 0\end{aligned}

טרפז: בסיסים אופקיים

\begin{aligned}AD &= \sqrt{1 + 9} \\ &= \sqrt{10}\end{aligned}

שוק אחת

\begin{aligned}BC &= \sqrt{4 + 9} \\ &= \sqrt{13}\end{aligned}

שוק שנייה

הטענה שגויה. זה טרפז, אבל השוקיים שונות. בשרטוט ההבדל כמעט לא נראה, ולכן מחשבים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

$A(2,\,4)$ , $B(2,\,-2)$ . הנקודה $K$ על ציר ה- $x$ , ושטח המשולש $ABK$ הוא $15$ . ל- $K$ שתי אפשרויות. מצאו את שיעור ה- $x$ השלילי.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -3

Corrigé :

AB = 6

$AB$ אנכית: הבסיס

\begin{aligned}K(t,\,0) \\ \quad h &= |t - 2|\end{aligned}

הגובה אופקי: מרחק מהישר $x = 2$

\begin{aligned}\frac{6 \cdot |t - 2|}{2} &= 15 \ \Rightarrow \ |t - 2| \\ &= 5\end{aligned}

משוואת השטח

\begin{aligned}t &= 7 \ \text{או} \ t \\ &= -3\end{aligned}

שני צדדים

$K(-3,\,0)$ , והאפשרות השנייה $K(7,\,0)$ . כאן הבסיס הוא $AB$ האנכית, ו- $K$ קובע את הגובה, לא את הבסיס.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

נתון המרובע $ABCD$ : $A(1,\,0)$ , $B(5,\,2)$ , $C(3,\,6)$ , $D(-1,\,4)$ . איזה מרובע הוא?

מעוין שאינו ריבוע
מלבן שאינו ריבוע
מקבילית שאינה מלבן ואינה מעוין
ריבוע

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D ריבוע

Corrigé :

\begin{aligned}M_{AC} &= (2,\,3) \\ &= M_{BD}\end{aligned}

מקבילית

\begin{aligned}m_{AB} \cdot m_{BC} &= \frac{1}{2} \cdot (-2) \\ &= -1\end{aligned}

מלבן

\begin{aligned}AB &= BC \\ &= \sqrt{20}\end{aligned}

מעוין

הנכונה: ריבוע, כי הוא גם מלבן וגם מעוין. מי שעצר אחרי בדיקה אחת ענה «מלבן» או «מעוין». צריך את שתיהן.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

הנקודה $P$ נמצאת על הישר $y = x + 1$ , במרחקים שווים מ- $A(1,\,4)$ ומ- $B(7,\,2)$ . מצאו את $P$ .

$P($ ____ $,$ ____ $)$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $P($ 5 $,$ 6 $)$

Corrigé :

\begin{aligned}M_{AB} &= (4,\,3) \\ \quad m_{AB} &= -\frac{1}{3}\end{aligned}

אמצע ושיפוע

\begin{aligned}y - 3 &= 3(x - 4) \ \Rightarrow \ y \\ &= 3x - 9\end{aligned}

האנך האמצעי של $AB$

\begin{aligned}3x - 9 &= x + 1 \ \Rightarrow \ x \\ &= 5 \\ \ y &= 6\end{aligned}

חיתוך עם הישר הנתון

\begin{aligned}PA^2 &= 16 + 4 \\ &= 20 \\ &= 4 + 16 \\ &= PB^2\end{aligned}

בדיקה ✓

$P(5,\,6)$ . כל הנקודות במרחקים שווים מ- $A$ ומ- $B$ נמצאות על האנך האמצעי. מתוכן, רק אחת נמצאת גם על הישר הנתון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

נתון המשולש $ABC$ : $A(0,\,0)$ , $B(6,\,0)$ , $C(2,\,3)$ . חשבו את הזווית $\angle CAB$ , במעלות. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 56.31

Corrigé :

\begin{aligned}m_{AC} &= \frac{3}{2} \\ &= 1.5\end{aligned}

שיפוע $AC$

\tan\alpha = 1.5 \ \Rightarrow \ \alpha \approx 56.31^\circ

$AB$ על הכיוון החיובי של ציר ה- $x$

$\angle CAB \approx 56.31^\circ$ . מי שקיבל $33.69^\circ$ חישב $\tan\alpha = \frac{2}{3}$ : הפך מונה ומכנה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

נתון המרובע $ABCD$ : $A(-2,\,2)$ , $B(1,\,6)$ , $C(6,\,2)$ , $D(3,\,-3)$ . חשבו את שטח המרובע.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 36

Corrigé :

\begin{aligned}AC &= 6 - (-2) \\ &= 8\end{aligned}

האלכסון $AC$ אופקי

\begin{aligned}h_B &= 6 - 2 \\ &= 4 \\ \quad h_D &= 2 - (-3) \\ &= 5\end{aligned}

גבהים ל- $AC$

\begin{aligned}S &= \frac{8 \cdot 4}{2} + \frac{8 \cdot 5}{2} \\ &= 16 + 20 \\ &= 36\end{aligned}

שני משולשים

השטח $36$ . $h_D = 5$ ולא $3$ : מודדים מהישר $y = 2$ של האלכסון, לא מציר ה- $x$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

$ABCD$ טרפז שבו $AB \parallel DC$ . $A(0,\,0)$ , $B(6,\,3)$ , $D(0,\,5)$ , והקודקוד $C$ נמצא על הישר $x = 4$ . מצאו את שיעור ה- $y$ של $C$ .

$C(4,$ ____ $)$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $C(4,$ 7 $)$

Corrigé :

m_{AB} = \frac{1}{2}

שיפוע הבסיס

DC: \ y = \frac{1}{2}x + 5

מקביל ל- $AB$ , דרך $D$

\begin{aligned}x &= 4 \ \Rightarrow \ y \\ &= 7\end{aligned}

$C(4,\,7)$

$C(4,\,7)$ . ועוד פרט: $m_{BC} = \frac{7-3}{4-6} = -2$ , ו- $\frac{1}{2} \cdot (-2) = -1$ . הטרפז ישר זווית ב- $B$ וב- $C$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercices

La suite se pratique sur elev