On résout ensemble · Le cercle · Kita יא

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

ארבע שאלות בנוסח שאלת הגאומטריה של הבגרות, אחת לכל רעיון של הפרק: זווית על קוטר, מרובע חסום, משיק ורדיוס, ומיתר עם האנך מהמרכז. כל שאלה נפתרת יחד, שלב אחרי שלב. שאלה תאומה מחכה לכם למטה, לפתור לבד.

בבגרות כל שורה בהוכחה היא טענה ונימוק. הנימוק הוא שם של משפט, לא «רואים בשרטוט». לפני כל לחיצה, אמרו לעצמכם איזה משפט אתם הייתם כותבים.

משפטי המעגל, לניסוח הנימוקים. הקלידו היקפית, משיק או מיתר, והרשימה תצטמצם. חלק מהמשפטים ברשימה אינם בחומר של 4 יח״ל השנה, למשל שני משיקים מנקודה אחת.

1 — זווית על קוטר, פיתגורס ושטח

Activité interactive

$AB$ קוטר במעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו $5$ . הנקודה $C$ על המעגל, ו- $AC = 6$ . א. הוכיחו ש- $\angle ACB = 90^\circ$ . ב. חשבו את $BC$ . ג. חשבו את שטח המשולש $ABC$ ואת הגובה $CD$ לצלע $AB$ .

\begin{aligned}AB &= 2 \cdot 5 \\ &= 10 \\ \quad AC &= 6\end{aligned}

לחצו «להתחיל». המילה קוטר בשאלה היא הרמז הראשון: היא מבטיחה זווית ישרה.

א. זווית

\angle ACB = 90^\circ

זווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה.

ב. פיתגורס

\begin{aligned}BC &= \sqrt{10^2 - 6^2} \\ &= 8\end{aligned}

הקוטר $AB = 10$ הוא היתר של המשולש $ABC$ .

ג. שטח

\begin{aligned}S_{ABC} &= \frac{6 \cdot 8}{2} \\ &= 24\end{aligned}

במשולש ישר זווית, שני הניצבים הם בסיס וגובה.

ג. גובה

\begin{aligned}\frac{10 \cdot CD}{2} &= 24 \ \Rightarrow \ CD \\ &= 4.8\end{aligned}

אותו שטח, והפעם הבסיס הוא $AB$ .

הקוטר הפך שאלה על מעגל לשאלה על משולש ישר זווית. מכאן והלאה זה פיתגורס ושטח, כמו בכיתה י.

Faire l'activité sur elev

היכן נמצאת הנקודה $D$ : בין $A$ ל- $O$ , או בין $O$ ל- $B$ ?

Voir la réponse et le corrigé

בין $A$ ל- $O$ . במשולש $ACD$ : $AD = \sqrt{6^2 - 4.8^2} = 3.6$ , וזה פחות מהרדיוס $5$ .

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה.

2 — מרובע חסום עם קוטר

Activité interactive

מרובע חסום, ואלכסון שהוא קוטר

המרובע $ABCD$ חסום במעגל, והאלכסון $AC$ הוא קוטר. $\angle BAC = 35^\circ$ ו- $\angle DAC = 20^\circ$ . חשבו את $\angle BCD$ .

$125^\circ$

$55^\circ$

$145^\circ$

$90^\circ$

מה ידוע על $\angle ABC$ ?

$\angle ABC = 90^\circ$ : זווית היקפית על הקוטר $AC$

Voir la réponse et le corrigé

$AC$ קוטר, ו- $B$ על המעגל.

$\angle ABC = 70^\circ$ : פי שניים מ- $35^\circ$

Voir la réponse et le corrigé

הכפלה מתאימה לזווית מרכזית, ו- $B$ אינה במרכז.

\angle ABC = 90^\circ

זווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה

מהי הדרך הקצרה אל $\angle BCD$ ?

דרך הזווית הנגדית לה, $\angle BAD$

Voir la réponse et le corrigé

במרובע חסום במעגל זוויות נגדיות משלימות ל- $180^\circ$ .

מחברים $35^\circ + 20^\circ$ , וזו התשובה

Voir la réponse et le corrigé

הסכום הזה הוא $\angle BAD$ , לא $\angle BCD$ .

\begin{aligned}\angle BAD &= 35^\circ + 20^\circ \\ &= 55^\circ\end{aligned}

הזווית ב- $A$ מורכבת משני חלקים

כמה מעלות בזווית $\angle BCD$ ?

$180^\circ - 55^\circ = 125^\circ$

Voir la réponse et le corrigé

זוויות נגדיות במרובע חסום.

$90^\circ - 35^\circ = 55^\circ$

Voir la réponse et le corrigé

זו רק $\angle ACB$ , חלק אחד של $\angle BCD$ .

\begin{aligned}\angle BCD &= 180^\circ - 55^\circ \\ &= 125^\circ\end{aligned}

משלימה ל- $180^\circ$

Voir la réponse et le corrigé

$\angle BCD = 125^\circ$ . בדיקה: $\angle ACB = 55^\circ$ ו- $\angle ACD = 70^\circ$ , ויחד $125^\circ$ . התשובה $55^\circ$ היא רק $\angle ACB$ .

Faire l'activité sur elev

חשבו את $\angle ACD$ בדרך אחרת: דרך המשולש $ACD$ .

Voir la réponse et le corrigé

$70^\circ$ . גם $\angle ADC = 90^\circ$ , כי היא נשענת על הקוטר, ולכן $\angle ACD = 90^\circ - 20^\circ$ . ו- $55^\circ + 70^\circ = 125^\circ$ , כמו קודם.

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה.

3 — משיק, רדיוס ומשוואה

Activité interactive

$PA$ משיק למעגל שמרכזו $O$ בנקודה $A$ . הישר $PO$ חותך את המעגל בנקודה $B$ , הנמצאת בין $P$ ל- $O$ . נתון $PA = 12$ ו- $PB = 8$ . א. מצאו את רדיוס המעגל. ב. חשבו את שטח המשולש $OAP$ .

\begin{aligned}PA &= 12 \\ \quad PB &= 8 \\ \quad OA &= OB \\ &= r\end{aligned}

לחצו «להתחיל». הרדיוס לא ידוע, ולכן מסמנים אותו $r$ ובונים משוואה.

Angle droit (זווית הישרה)

\angle OAP = 90^\circ

המשיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה.

היתר

\begin{aligned}OP &= OB + BP \\ &= r + 8\end{aligned}

$OB$ רדיוס, ו- $B$ בין $P$ ל- $O$ .

פיתגורס

(r + 8)^2 = r^2 + 12^2

במשולש $OAP$ היתר הוא $OP$ .

א. פותרים

\begin{aligned}16r + 64 &= 144 \ \Rightarrow \ r \\ &= 5\end{aligned}

$r^2$ מופיע בשני האגפים ומתבטל.

ב. שטח

\begin{aligned}S_{OAP} &= \frac{5 \cdot 12}{2} \\ &= 30\end{aligned}

הניצבים הם $OA$ ו- $PA$ .

שאלת משיק כמעט תמיד נגמרת בפיתגורס במשולש $OAP$ . הזווית הישרה היא ב- $A$ , לא ב- $O$ .

Faire l'activité sur elev

מהו האורך $OP$ , ואיך בודקים את התשובה?

Voir la réponse et le corrigé

$OP = 5 + 8 = 13$ . בדיקה: $5^2 + 12^2 = 169 = 13^2$ ✓

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — מיתר, האנך מהמרכז ושוויון קטעים

Activité interactive

במעגל שמרכזו $O$ , המיתר $AB$ שאורכו $16$ נמצא במרחק $6$ מהמרכז. $M$ היא אמצע $AB$ . ממשיכים את $OM$ עד שהוא פוגש את המעגל בנקודה $D$ , על הקשת הקטנה $AB$ . א. מצאו את רדיוס המעגל. ב. הוכיחו ש- $AD = BD$ . ג. חשבו את $AD$ .

\begin{aligned}AB &= 16 \\ \quad OM &= 6\end{aligned}

לחצו «להתחיל». $M$ אמצע המיתר, ולכן הקטע $OM$ מאונך למיתר.

א. אנך

\begin{aligned}OM \perp AB \\ \quad AM &= 8\end{aligned}

קטע ממרכז המעגל שחוצה מיתר מאונך למיתר.

א. רדיוס

\begin{aligned}r &= \sqrt{6^2 + 8^2} \\ &= 10\end{aligned}

פיתגורס במשולש $OMA$ .

ב. אנך אמצעי

\begin{aligned}DM \perp AB \\ \quad AM &= MB\end{aligned}

הישר $DM$ מאונך ל- $AB$ ועובר דרך האמצע שלו: זה האנך האמצעי.

ב. מסקנה

AD = BD

כל נקודה על האנך האמצעי של קטע נמצאת במרחק שווה מקצות הקטע.

ג. הקטע MD

\begin{aligned}MD &= OD - OM \\ &= 10 - 6 \\ &= 4\end{aligned}

$OD$ הוא רדיוס.

ג. פיתגורס

\begin{aligned}AD &= \sqrt{8^2 + 4^2} \\ &= \sqrt{80} \\ &= 4\sqrt{5}\end{aligned}

פיתגורס במשולש $AMD$ ; תשובה מדויקת.

בשאלה אחת פעלו שלושה משפטים: האנך מהמרכז, פיתגורס, והאנך האמצעי. בכל שלב שם המשפט נכתב ליד הטענה.

Faire l'activité sur elev

למה אי אפשר לענות $AD = 10$ ?

Voir la réponse et le corrigé

כי $AD$ אינו רדיוס. $A$ ו- $D$ שתיהן על המעגל, ולכן $AD$ הוא מיתר. רק קטע שיוצא מ- $O$ הוא רדיוס.

השאלה התאומה: שאלה 4 ברשימה למטה. ושאלה 5 מסכמת: משולש ישר זווית בתוך מעגל, ושטח העיגול.

Exercices

Exercice 1

$AB$ קוטר במעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו $13$ . הנקודה $C$ על המעגל, ו- $AC = 10$ . חשבו את $BC$ ואת שטח המשולש $ABC$ .

$BC =$ ____ , $S_{ABC} =$ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $BC =$ 24 , $S_{ABC} =$ 120

Corrigé :

\angle ACB = 90^\circ

זווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה

\begin{aligned}BC &= \sqrt{26^2 - 10^2} \\ &= 24\end{aligned}

פיתגורס; הקוטר $AB = 26$ הוא היתר

\begin{aligned}S_{ABC} &= \frac{10 \cdot 24}{2} \\ &= 120\end{aligned}

שטח משולש ישר זווית: מכפלת הניצבים חלקי $2$

המלכודת: להציב את הרדיוס $13$ כיתר. היתר הוא הקוטר, $26$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

המרובע $ABCD$ חסום במעגל, והאלכסון $AC$ הוא קוטר. $\angle BAC = 40^\circ$ ו- $\angle DAC = 25^\circ$ . חשבו את $\angle BCD$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 115

Corrigé :

\begin{aligned}\angle BAD &= 40^\circ + 25^\circ \\ &= 65^\circ\end{aligned}

הזווית ב- $A$ מורכבת משני חלקים

\begin{aligned}\angle BCD &= 180^\circ - 65^\circ \\ &= 115^\circ\end{aligned}

במרובע חסום במעגל סכום זוויות נגדיות $180^\circ$

בדיקה: $\angle ACB = 50^\circ$ ו- $\angle ACD = 65^\circ$ , יחד $115^\circ$ . המלכודת: לעצור ב- $\angle ACB$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

$PA$ משיק למעגל שמרכזו $O$ בנקודה $A$ . הישר $PO$ חותך את המעגל בנקודה $B$ , הנמצאת בין $P$ ל- $O$ . נתון $PA = 15$ ו- $PB = 9$ . מצאו את רדיוס המעגל.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 8

Corrigé :

\angle OAP = 90^\circ

המשיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

(r + 9)^2 = r^2 + 15^2

פיתגורס במשולש $OAP$ , ו- $OP = r + 9$

\begin{aligned}18r + 81 &= 225 \ \Rightarrow \ r \\ &= 8\end{aligned}

$r^2$ מתבטל

בדיקה: $OP = 17$ , ו- $8^2 + 15^2 = 289 = 17^2$ ✓. המלכודת: $OP = 9$ . הקטע $PB$ הוא רק החלק שמחוץ למעגל.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

במעגל שמרכזו $O$ , המיתר $AB$ שאורכו $24$ נמצא במרחק $5$ מהמרכז. $M$ אמצע $AB$ , וההמשך של $OM$ פוגש את המעגל בנקודה $D$ שעל הקשת הקטנה $AB$ . מהו אורך $AD$ ?

$6\sqrt{13}$
$8$
$13$
$4\sqrt{13}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $4\sqrt{13}$

Corrigé :

\begin{aligned}r &= \sqrt{5^2 + 12^2} \\ &= 13\end{aligned}

האנך מהמרכז חוצה את המיתר; פיתגורס במשולש $OMA$

\begin{aligned}MD &= 13 - 5 \\ &= 8\end{aligned}

$OD$ רדיוס

\begin{aligned}AD &= \sqrt{12^2 + 8^2} \\ &= \sqrt{208} \\ &= 4\sqrt{13}\end{aligned}

פיתגורס במשולש $AMD$

הנכונה: $4\sqrt{13}$ . $6\sqrt{13}$ מתקבל כשמחברים $MD = 13 + 5$ ; $13$ הוא הרדיוס; $8$ הוא $MD$ עצמו.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

משולש ישר זווית, שאורכי הניצבים שלו $5$ ו- $12$ , חסום במעגל. שטח העיגול הוא $k\pi$ . מהו $k$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 42.25

Corrigé :

\begin{aligned}AB &= \sqrt{5^2 + 12^2} \\ &= 13\end{aligned}

פיתגורס: היתר

\begin{aligned}R &= \frac{13}{2} \\ &= 6.5\end{aligned}

זווית היקפית בת $90^\circ$ נשענת על קוטר: היתר הוא קוטר

\begin{aligned}S &= \pi \cdot 6.5^2 \\ &= 42.25\pi\end{aligned}

שטח העיגול

המלכודת: $169\pi$ , כשמציבים את הקוטר במקום הרדיוס.

Vérifier la réponse sur elev

1 — זווית על קוטר, פיתגורס ושטח

2 — מרובע חסום עם קוטר

3 — משיק, רדיוס ומשוואה

4 — מיתר, האנך מהמרכז ושוויון קטעים

Exercices

La suite se pratique sur elev