On résout ensemble

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

ארבע שאלות בסגנון שאלות החדו״א בבגרות: פונקציה לפי הנגזרת ושטח, שטח בין שני גרפים, פרמטר עם שטח מתחת לנגזרת, ופרמטר שנמצא מתוך שטח. כל שאלה נפתרת יחד, שלב אחרי שלב. שאלה תאומה מחכה למטה, לפתור לבד.

בכל שאלת שטח, לפני כל חישוב: איפה החיתוכים, ומי עליון. שני הדברים האלה קובעים את הגבולות ואת הסימן.

1 — הפונקציה לפי הנגזרת, ואחר כך שטח

למה אין צורך לחלק את הקטע [0, 2][0,\,2] בסעיף ג?

Voir la réponse et le corrigé

כי f(x)=(x+1)(x−2)2≥0f(x)=(x+1)(x-2)^2 \geq 0 בקטע: הגרף נוגע בציר ב-x=2x=2 ולא חוצה אותו. אין חלק מתחת לציר.

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה.

2 — שטח בין פרבולה לישר

האם בשאלה הזו השטח מתחת לגרף של gg, בין x=1x=1 ל-x=4x=4, גדול מ-4.54.5?

Voir la réponse et le corrigé

כן. שטח הטרפז שמתחת לישר הוא (2+5)⋅32=10.5\frac{(2+5) \cdot 3}{2}=10.5, והשטח בין הגרפים הוא חלק ממנו: 10.510.5 פחות השטח שמתחת לפרבולה, 66.

השאלות התאומות: שאלה 2 ושאלה 5 ברשימה למטה.

3 — פרמטר, ושטח מתחת לגרף הנגזרת

בסעיף ב, מה היה משתנה אם ff הייתה עולה בקטע?

Voir la réponse et le corrigé

אז f′>0f'>0, הגרף של f′f' מעל הציר, והשטח היה פשוט f(4)−f(3)f(4)-f(3), בלי היפוך סימן. הסימן של f′f' הוא הכיוון של ff.

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — למצוא פרמטר מתוך שטח

אם השטח היה 4.54.5 במקום 3636, מה היה kk?

Voir la réponse et le corrigé

k36=4.5\frac{k^3}{6}=4.5, ולכן k3=27k^3=27 ו-k=3k=3.

השאלה התאומה: שאלה 4 ברשימה למטה.

Exercices

Exercice 1

נגזרת הפונקציה ff היא f′(x)=3x2−12f'(x)=3x^2-12, והגרף של ff עובר בנקודה (1, 5)(1,\,5). השלימו.

f(x)=x3−12x+f(x)=x^3-12x+ ____ ; נקודת המינימום: x=x= ____ ; השטח המוגבל על ידי הגרף וציר ה-xx וציר ה-yy ברביע הראשון: ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : f(x)=x3−12x+f(x)=x^3-12x+ 16 ; נקודת המינימום: x=x= 2 ; השטח המוגבל על ידי הגרף וציר ה-xx וציר ה-yy ברביע הראשון: 12

Corrigé :

f(x)=x3−12x+Cf(1)=−11+C=5 ⇒ C=16\begin{aligned}f(x) &= x^3-12x+C \\ \quad f(1) &= -11+C \\ &= 5 \ \Rightarrow \ C \\ &= 16\end{aligned}

הנקודה

f′(x)=3(x−2)(x+2) ⇒ min⁡(2, 0)f'(x)=3(x-2)(x+2) \ \Rightarrow \ \min (2,\,0)

מ-−- ל-++ ב-x=2x=2

∫02(x3−12x+16) dx=4−24+32=12\begin{aligned}\int_0^2 (x^3-12x+16)\,dx &= 4-24+32 \\ &= 12\end{aligned}

השטח, מ-00 עד נקודת המגע x=2x=2

שוב המינימום יושב על ציר ה-xx וקובע את הגבול. מי שחישב עד x=4x=4 או עד x=−4x=-4 לא בדק איפה הגרף פוגש את הציר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתונות f(x)=2x2−4x+1f(x)=2x^2-4x+1 ו-g(x)=2x+1g(x)=2x+1. חשבו את השטח המוגבל בין שני הגרפים.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 9

Corrigé :

2x2−4x+1=2x+1 ⇒ 2x(x−3)=0\begin{aligned}2x^2-4x+1 &= 2x+1 \ \Rightarrow \ 2x(x-3) \\ &= 0\end{aligned}

חיתוכים: x=0, x=3x=0 ,\ x=3

g(1)=3>f(1)=−1\begin{aligned}g(1) &= 3>f(1) \\ &= -1\end{aligned}

הישר עליון

∫03(6x−2x2) dx=27−18=9\begin{aligned}\int_0^3 (6x-2x^2)\,dx &= 27-18 \\ &= 9\end{aligned}

השטח

שני הגרפים חותכים את ציר ה-yy באותה נקודה, (0, 1)(0,\,1): היא אחת מנקודות החיתוך. מי שחיפש חיתוך עם ציר ה-xx סטה מהשאלה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתונה f(x)=a(x+1)2f(x)=\frac{a}{(x+1)^2}. שיפוע המשיק לגרף בנקודה שבה x=1x=1 הוא −3-3. השלימו.

a=a= ____ ; השטח המוגבל על ידי הגרף של f′f', ציר ה-xx והישרים x=1x=1 ו-x=3x=3: ____ ; השטח המוגבל על ידי הגרף של ff, ציר ה-xx ואותם ישרים: ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : a=a= 12 ; השטח המוגבל על ידי הגרף של f′f', ציר ה-xx והישרים x=1x=1 ו-x=3x=3: 2.25 ; השטח המוגבל על ידי הגרף של ff, ציר ה-xx ואותם ישרים: 3

Corrigé :

f′(x)=−2a(x+1)3 ⇒ f′(1)=−a4=−3 ⇒ a=12\begin{aligned}f'(x) &= \frac{-2a}{(x+1)^3} \ \Rightarrow \ f'(1) \\ &= -\frac{a}{4} \\ &= -3 \ \Rightarrow \ a \\ &= 12\end{aligned}

הפרמטר

∫13f′ dx=f(3)−f(1)=34−3=−2.25\begin{aligned}\int_1^3 f'\,dx &= f(3)-f(1) \\ &= \tfrac{3}{4}-3 \\ &= -2.25\end{aligned}

f′<0f'<0: השטח 2.252.25

∫1312(x+1)2 dx=[−12x+1]13=−3+6=3\begin{aligned}\int_1^3 \frac{12}{(x+1)^2}\,dx &= \Big[-\tfrac{12}{x+1}\Big]_1^3 \\ &= -3+6 \\ &= 3\end{aligned}

השטח מתחת ל-ff

אותם גבולות, שתי פונקציות שונות. מתחת ל-f′f' מציבים ב-ff; מתחת ל-ff מחפשים קדומה של ff.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

נתונה f(x)=x2−kxf(x)=x^2-kx, כאשר k>0k>0. השטח המוגבל על ידי הגרף של ff וציר ה-xx הוא 4.54.5. השלימו.

k=k= ____ ; הערך המינימלי של ff: ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : k=k= 3 ; הערך המינימלי של ff: -2.25

Corrigé :

x(x−k)=0 ⇒ x=0 x=k\begin{aligned}x(x-k) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ x &= k\end{aligned}

חיתוכים

∫0k(x2−kx) dx=−k36 ⇒ S=k36\begin{aligned}\int_0^k (x^2-kx)\,dx &= -\tfrac{k^3}{6} \ \Rightarrow \ S \\ &= \tfrac{k^3}{6}\end{aligned}

הגרף מתחת לציר

k36=4.5 ⇒ k=3\begin{aligned}\tfrac{k^3}{6} &= 4.5 \ \Rightarrow \ k \\ &= 3\end{aligned}

הפרמטר

f(1.5)=2.25−4.5=−2.25\begin{aligned}f(1.5) &= 2.25-4.5 \\ &= -2.25\end{aligned}

המינימום באמצע, ב-x=1.5x=1.5

כאן הפרבולה מתחת לציר, והאינטגרל שלילי. מי שהשווה את −k36-\frac{k^3}{6} ל-4.54.5 לא מצא פתרון חיובי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

חשבו את השטח המוגבל בין הגרף של y=x3y=x^3 לבין הישר y=xy=x.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.5

Corrigé :

x3=x ⇒ x(x−1)(x+1)=0\begin{aligned}x^3 &= x \ \Rightarrow \ x(x-1)(x+1) \\ &= 0\end{aligned}

שלוש נקודות חיתוך: −1, 0, 1-1,\ 0,\ 1

−1<x<0: x3>x0<x<1: x>x3-1<x<0: \ x^3>x \qquad 0<x<1: \ x>x^3

העליון מתחלף ב-x=0x=0

∫−10(x3−x) dx=14∫01(x−x3) dx=14\begin{aligned}\int_{-1}^{0} (x^3-x)\,dx &= \tfrac{1}{4} \qquad \int_0^1 (x-x^3)\,dx \\ &= \tfrac{1}{4}\end{aligned}

כל חלק לחוד

S=14+14=0.5\begin{aligned}S &= \tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{4} \\ &= 0.5\end{aligned}

מחברים

שלוש נקודות חיתוך הן שני שטחים. ∫−11(x−x3) dx=0\int_{-1}^{1} (x-x^3)\,dx=0: בלי חלוקה, שני החלקים מבטלים זה את זה.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe