Entraînement

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

עשרה תרגילים על כל הפרק: פונקציה קדומה, אינטגרל מסוים, c(ax+b)2\frac{c}{(ax+b)^2}, שטח בין גרף לציר, שטח בין שני גרפים, משיק ופרמטר. מתחילים בקל ומסיימים באתגר.

Exercices

Série A — Facile

Exercice 1

מהו ∫(x2+4x) dx\int (x^2+4x)\,dx?

  1. x33+2x2+C\frac{x^3}{3}+2x^2+C
  2. x3+2x2+Cx^3+2x^2+C
  3. x33+4x2+C\frac{x^3}{3}+4x^2+C
  4. 2x+4+C2x+4+C
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A x33+2x2+C\frac{x^3}{3}+2x^2+C

Corrigé :

∫x2 dx=x33∫4x dx=2x2\begin{aligned}\int x^2\,dx &= \tfrac{x^3}{3} \qquad \int 4x\,dx \\ &= 2x^2\end{aligned}

כל מחובר לחוד

הנכונה: x33+2x2+C\frac{x^3}{3}+2x^2+C. 2x+42x+4 היא נגזרת; 4x24x^2 שוכח לחלק ב-22.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

חשבו את ∫03(2x+1) dx\int_0^3 (2x+1)\,dx.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 12

Corrigé :

[x2+x]03=9+3\Big[x^2+x\Big]_0^3=9+3

עליון פחות תחתון

=12=12

התוצאה

F(0)=0F(0)=0, ולכן מספיק לחשב את F(3)F(3).

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתון f′(x)=6x2f'(x)=6x^2, והגרף של ff עובר בנקודה (1, 4)(1,\,4). חשבו את f(2)f(2).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 18

Corrigé :

f(x)=2x3+Cf(x)=2x^3+C

פונקציה קדומה

2+C=4 ⇒ C=2\begin{aligned}2+C &= 4 \ \Rightarrow \ C \\ &= 2\end{aligned}

הנקודה

f(2)=16+2=18\begin{aligned}f(2) &= 16+2 \\ &= 18\end{aligned}

On remplace (מציבים)

בלי CC התשובה 1616.

Vérifier la réponse sur elev

סדרה ב — בינוני

Exercice 4

חשבו את ∫034(x+1)2 dx\int_0^3 \frac{4}{(x+1)^2}\,dx.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

[−4x+1]03=−1−(−4)\Big[-\tfrac{4}{x+1}\Big]_0^3=-1-(-4)

פונקציה קדומה

=3=3

התוצאה

שני מינוסים בשורה: −1−(−4)=3-1-(-4)=3.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של y=x2−x−2y=x^2-x-2 וציר ה-xx.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4.5

Corrigé :

(x−2)(x+1)=0 ⇒ x=−1 x=2\begin{aligned}(x-2)(x+1) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= -1 \\ \ x &= 2\end{aligned}

חיתוכים

∫−12(x2−x−2) dx=−4.5\int_{-1}^{2} (x^2-x-2)\,dx=-4.5

הגרף מתחת לציר

S=4.5S=4.5

הערך הנגדי

פרבולה «מחייכת» נמצאת מתחת לציר בין השורשים שלה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

חשבו את השטח המוגבל בין הגרף של y=3x2y=3x^2 לבין הישר y=6xy=6x.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

3x2=6x ⇒ x=0 x=2\begin{aligned}3x^2 &= 6x \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ x &= 2\end{aligned}

חיתוכים

∫02(6x−3x2) dx=12−8=4\begin{aligned}\int_0^2 (6x-3x^2)\,dx &= 12-8 \\ &= 4\end{aligned}

הישר עליון

הגבולות באים מהחיתוך בין הגרפים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

חשבו את השטח הכלוא בין הגרף של y=x3−xy=x^3-x לבין ציר ה-xx, בתחום 0≤x≤20 \leq x \leq 2.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2.5

Corrigé :

x3−x=0 ⇒ x=1 בתחום\begin{aligned}x^3-x &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1 \ \text{בתחום}\end{aligned}

חיתוך בפנים

∫01(x3−x) dx=−14∫12(x3−x) dx=94\begin{aligned}\int_0^1 (x^3-x)\,dx &= -\tfrac{1}{4} \qquad \int_1^2 (x^3-x)\,dx \\ &= \tfrac{9}{4}\end{aligned}

כל חלק לחוד

S=14+94=2.5\begin{aligned}S &= \tfrac{1}{4}+\tfrac{9}{4} \\ &= 2.5\end{aligned}

מחברים

בלי חלוקה מתקבל 22, תשובה שגויה.

Vérifier la réponse sur elev

סדרה ג — מאתגר

Exercice 8

נתון k>0k>0. השטח המוגבל בין הגרף של y=x2y=x^2 לבין הישר y=ky=k הוא 323\frac{32}{3}. מצאו את kk.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

x2=k ⇒ x=±k\begin{aligned}x^2 &= k \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm\sqrt{k}\end{aligned}

חיתוכים

∫−kk(k−x2) dx=2(kk−kk3)=43kk\begin{aligned}\int_{-\sqrt{k}}^{\sqrt{k}} (k-x^2)\,dx &= 2\Big(k\sqrt{k}-\tfrac{k\sqrt{k}}{3}\Big) \\ &= \tfrac{4}{3}k\sqrt{k}\end{aligned}

סימטריה: פעמיים החצי הימני

43kk=323 ⇒ kk=8 ⇒ k=4\begin{aligned}\tfrac{4}{3}k\sqrt{k} &= \tfrac{32}{3} \ \Rightarrow \ k\sqrt{k} \\ &= 8 \ \Rightarrow \ k \\ &= 4\end{aligned}

4⋅2=84 \cdot 2=8

בדיקה: ∫−22(4−x2) dx=323\int_{-2}^{2} (4-x^2)\,dx=\frac{32}{3} ✓. הגבולות ±k\pm\sqrt{k}, לא ±k\pm k.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של y=x2y=x^2, המשיק לגרף בנקודה שבה x=6x=6, וציר ה-xx.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 18

Corrigé :

y−36=12(x−6) ⇒ y=12x−36\begin{aligned}y-36 &= 12(x-6) \ \Rightarrow \ y \\ &= 12x-36\end{aligned}

המשיק

12x−36=0 ⇒ x=3\begin{aligned}12x-36 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3\end{aligned}

חיתוך המשיק עם הציר

∫06x2 dx=72\int_0^6 x^2\,dx=72

מתחת לפרבולה

(6−3)⋅362=54\tfrac{(6-3) \cdot 36}{2}=54

המשולש שמתחת למשיק

S=72−54=18\begin{aligned}S &= 72-54 \\ &= 18\end{aligned}

מחסרים

המשולש מתחיל ב-x=3x=3, לא ב-x=0x=0. מי שלקח רוחב 66 חיסר 108108.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

נתונה f(x)=8x2f(x)=\frac{8}{x^2}. מצאו את a>1a>1 שעבורו השטח המוגבל על ידי הגרף של ff, ציר ה-xx והישרים x=1x=1 ו-x=ax=a הוא 66.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

[−8x]1a=8−8a\Big[-\tfrac{8}{x}\Big]_1^a=8-\tfrac{8}{a}

השטח כביטוי ב-aa

8−8a=6 ⇒ 8a=2 ⇒ a=4\begin{aligned}8-\tfrac{8}{a} &= 6 \ \Rightarrow \ \tfrac{8}{a} \\ &= 2 \ \Rightarrow \ a \\ &= 4\end{aligned}

On résout

שימו לב: גם עם aa גדול מאוד השטח לא עובר את 88. לכן שטח 66 אפשרי, ושטח 1010 לא.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe