Série 3 — vers le bagrout · Calcul intégral · Kita יא

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

ארבע שאלות בנוסח הבגרות, כל אחת מחולקת לסעיפים. כל סעיף הוא תרגיל נפרד, עם אותה פתיחה: פולינום עם קיצון ומשיק, פונקציה עם ריבוע במכנה, פרמטר שנמצא משטח, ושטח מתחת לגרף הנגזרת.

כמו בבחינה: כל סעיף משתמש בסעיף שלפניו. לפני שמתחילים סעיף, חפשו מה כבר מצאתם שהוא צריך: נקודת חיתוך, משוואת משיק, ביטוי ב- $k$ .

Exercices

Exercice 1

נתונה הפונקציה $f(x)=x^3-6x^2+9x$ . א. מצאו את נקודות הקיצון של $f$ וקבעו את סוגן.

מקסימום: $($ ____ $,$ ____ $)$ ; מינימום: $($ ____ $,$ ____ $)$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : מקסימום: $($ 1 $,$ 4 $)$ ; מינימום: $($ 3 $,$ 0 $)$

Corrigé :

\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2-12x+9 \\ &= 3(x-1)(x-3)\end{aligned}

הנגזרת

\begin{aligned}f'(0) &= 9>0 \quad f'(2) \\ &= -3<0 \quad f'(4) \\ &= 9>0\end{aligned}

טבלת סימנים

\begin{aligned}f(1) &= 4 \qquad f(3) \\ &= 0\end{aligned}

מקסימום $(1,\,4)$ , מינימום $(3,\,0)$

המינימום נמצא על ציר ה- $x$ : $f(x)=x(x-3)^2$ . זה ישמש בסעיף ג.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתונה הפונקציה $f(x)=x^3-6x^2+9x$ . ב. דרך נקודת המקסימום של $f$ העבירו משיק לגרף. המשיק חותך את הגרף בנקודה נוספת. מצאו את שיעור ה- $x$ שלה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

\begin{aligned}f'(1) &= 0 \ \Rightarrow \ y \\ &= 4\end{aligned}

משיק אופקי בנקודת המקסימום

\begin{aligned}x^3-6x^2+9x &= 4 \ \Rightarrow \ (x-1)^2(x-4) \\ &= 0\end{aligned}

$x=1$ פתרון כפול, כי שם המשיק נוגע

x=4

הנקודה הנוספת $(4,\,4)$

שיפוע המשיק בנקודת קיצון הוא $0$ , ולכן המשיק הוא $y=4$ . את $x=1$ כבר יודעים; לכן אפשר לחלק את הפולינום ב- $(x-1)^2$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתונה הפונקציה $f(x)=x^3-6x^2+9x$ . ג. חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של $f$ והמשיק מסעיף ב.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6.75

Corrigé :

\begin{aligned}4-f(x) &= -(x-1)^2(x-4) \geq 0 \\ \quad 1 \leq x \leq 4\end{aligned}

המשיק מעל הגרף

\int_1^4 (4-x^3+6x^2-9x)\,dx=\Big[4x-\tfrac{x^4}{4}+2x^3-\tfrac{9x^2}{2}\Big]_1^4

העליון פחות התחתון

\begin{aligned}8-\tfrac{5}{4} &= \tfrac{27}{4} \\ &= 6.75\end{aligned}

השטח

הגבולות הם שתי נקודות החיתוך של הגרף והמשיק, $x=1$ ו- $x=4$ , שנמצאו בסעיף ב. אין להם קשר לחיתוך עם ציר ה- $x$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{8}{(x+2)^2}$ . א. מצאו את משוואת המשיק לגרף של $f$ בנקודה שבה הגרף חותך את ציר ה- $y$ .

שיפוע המשיק: ____ ; המשיק חותך את ציר ה- $y$ ב- $y=$ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : שיפוע המשיק: -2 ; המשיק חותך את ציר ה- $y$ ב- $y=$ 2

Corrigé :

\begin{aligned}f(0) &= \frac{8}{4} \\ &= 2\end{aligned}

הנקודה $(0,\,2)$

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{-16}{(x+2)^3} \ \Rightarrow \ f'(0) \\ &= -2\end{aligned}

השיפוע

y=-2x+2

משוואת המשיק

גזירה עם כלל השרשרת: $8(x+2)^{-2}$ נותן $-16(x+2)^{-3}$ . מי שקיבל $-8$ שכח להכפיל בחזקה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{8}{(x+2)^2}$ . ב. חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של $f$ , המשיק מסעיף א והישר $x=2$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

\begin{aligned}\int_0^2 \frac{8}{(x+2)^2}\,dx &= \Big[-\tfrac{8}{x+2}\Big]_0^2 \\ &= -2+4 \\ &= 2\end{aligned}

מתחת לגרף

\begin{aligned}\int_0^2 (-2x+2)\,dx &= \Big[-x^2+2x\Big]_0^2 \\ &= 0\end{aligned}

מתחת למשיק (חלק מעל הציר וחלק מתחתיו)

\begin{aligned}S &= 2-0 \\ &= 2\end{aligned}

הגרף עליון: הפרש האינטגרלים

המשיק יורד מתחת לציר ה- $x$ אחרי $x=1$ , ובכל זאת לא מחלקים: שטח בין שני גרפים הוא הפרש, ולא משנה איפה הציר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{8}{(x+2)^2}$ . ג. חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של $f$ , הצירים והישר $x=6$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

\Big[-\tfrac{8}{x+2}\Big]_0^6=-1-(-4)

הגרף מעל הציר

S=3

השטח

הגבולות: ציר ה- $y$ נותן $x=0$ , הישר נותן $x=6$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

נתונה הפונקציה $f(x)=-x^2+2kx$ , כאשר $k>0$ פרמטר. א. מהם שיעורי ה- $x$ של נקודות החיתוך של הגרף עם ציר ה- $x$ ? הביעו באמצעות $k$ .

$x=\pm\sqrt{2k}$
$x=0$ ו- $x=2k$
$x=0$ ו- $x=k$
$x=0$ ו- $x=-2k$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $x=0$ ו- $x=2k$

Corrigé :

\begin{aligned}-x^2+2kx &= -x(x-2k) \\ &= 0\end{aligned}

מוציאים גורם משותף

\begin{aligned}x &= 0 \\ \ x &= 2k\end{aligned}

שני פתרונות

הנכונה: $x=0$ ו- $x=2k$ . $x=k$ הוא שיעור הקדקוד, באמצע בין שני החיתוכים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

נתונה הפונקציה $f(x)=-x^2+2kx$ , כאשר $k>0$ פרמטר. ב. השטח המוגבל על ידי הגרף של $f$ וציר ה- $x$ הוא $36$ . מצאו את $k$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

\int_0^{2k} (-x^2+2kx)\,dx=\Big[-\tfrac{x^3}{3}+kx^2\Big]_0^{2k}

בין החיתוכים מסעיף א

=-\tfrac{8k^3}{3}+4k^3=\tfrac{4k^3}{3}

השטח כביטוי ב- $k$

\begin{aligned}\tfrac{4k^3}{3} &= 36 \ \Rightarrow \ k^3 \\ &= 27 \ \Rightarrow \ k \\ &= 3\end{aligned}

On résout

הגבול העליון הוא $2k$ , ולכן $x^3$ הופך ל- $8k^3$ . מי שהציב $k$ במקום $2k$ קיבל $\frac{2k^3}{3}=36$ , כלומר $k^3=54$ , ומספר שאינו שלם הוא סימן לטעות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

נתונה הפונקציה $f(x)=\sqrt{3x+4}$ . א. חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של $f'$ , ציר ה- $x$ והישרים $x=0$ ו- $x=4$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

f'(x)=\frac{3}{2\sqrt{3x+4}}>0

הגרף של $f'$ מעל הציר

\begin{aligned}S &= \int_0^4 f'(x)\,dx \\ &= f(4)-f(0)\end{aligned}

הקדומה של $f'$ היא $f$

\begin{aligned}\sqrt{16}-\sqrt{4} &= 4-2 \\ &= 2\end{aligned}

On remplace (מציבים)

לא צריך למצוא קדומה של $\frac{3}{2\sqrt{3x+4}}$ : היא כבר נתונה, זו $f$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

נתונה הפונקציה $f(x)=\sqrt{3x+4}$ . ב. נתונה $g(x)=f'(x)+3$ . חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של $g$ , ציר ה- $x$ והישרים $x=0$ ו- $x=4$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 14

Corrigé :

g(x)>0

הגרף של $g$ מעל הציר

\int_0^4 g(x)\,dx=\int_0^4 f'(x)\,dx+\int_0^4 3\,dx

מפרקים

=2+12=14

השטח מסעיף א, ועוד מלבן $4 \cdot 3$

ההזזה למעלה ב- $3$ מוסיפה $3$ כפול רוחב הקטע, $4$ . מי שעונה $5$ הוסיף רק $3$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercices

La suite se pratique sur elev