Série 2 — moyen

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

עשר שאלות של שניים או שלושה שלבים: חלוקה כשהגרף חוצה את הציר, שטח בין שני גרפים, פרבולה ומשיק, שטח מתחת לנגזרת, ופרמטר בגבול האינטגרל.

לפני כל שטח: איפה החיתוכים ומי עליון. ואם יצא מספר שלילי, זה לא שטח. בדקו מה נשכח.

Exercices

Exercice 1

נתון f′(x)=2(x−2)2f'(x)=\frac{2}{(x-2)^2}, והגרף של ff עובר בנקודה (3, 1)(3,\,1). השלימו.

f(x)=−2x−2+f(x)=-\frac{2}{x-2}+ ____ ; f(4)=f(4)= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : f(x)=−2x−2+f(x)=-\frac{2}{x-2}+ 3 ; f(4)=f(4)= 2

Corrigé :

f(x)=−2x−2+Cf(x)=-\frac{2}{x-2}+C

פונקציה קדומה

f(3)=−2+C=1 ⇒ C=3\begin{aligned}f(3) &= -2+C \\ &= 1 \ \Rightarrow \ C \\ &= 3\end{aligned}

הנקודה

f(4)=−1+3=2\begin{aligned}f(4) &= -1+3 \\ &= 2\end{aligned}

On remplace (מציבים)

המינוס בקדומה הוא מה שהופך את הנגזרת לחיובית. בלעדיו C=−1C=-1, ו-f(4)=0f(4)=0.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

חשבו את ∫−12(x2−2x+3) dx\int_{-1}^{2} (x^2-2x+3)\,dx.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 9

Corrigé :

F(x)=x33−x2+3xF(x)=\tfrac{x^3}{3}-x^2+3x

פונקציה קדומה

F(2)=83+2=143F(−1)=−13−1−3=−133\begin{aligned}F(2) &= \tfrac{8}{3}+2 \\ &= \tfrac{14}{3} \qquad F(-1) \\ &= -\tfrac{1}{3}-1-3 \\ &= -\tfrac{13}{3}\end{aligned}

On remplace (מציבים)

143+133=9\tfrac{14}{3}+\tfrac{13}{3}=9

ההפרש

שלושה מחוברים ב-F(−1)F(-1), וכולם שליליים. זה המקום שבו רוב הטעויות קורות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

חשבו את השטח הכלוא בין הגרף של y=x2−4xy=x^2-4x לבין ציר ה-xx, בתחום 0≤x≤50 \leq x \leq 5.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 13

Corrigé :

x2−4x=0 ⇒ x=0 x=4\begin{aligned}x^2-4x &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ x &= 4\end{aligned}

חיתוך בתוך התחום: x=4x=4

∫04(x2−4x) dx=643−32=−323\begin{aligned}\int_0^4 (x^2-4x)\,dx &= \tfrac{64}{3}-32 \\ &= -\tfrac{32}{3}\end{aligned}

מתחת לציר

∫45(x2−4x) dx=73\int_4^5 (x^2-4x)\,dx=\tfrac{7}{3}

מעל הציר

S=323+73=13\begin{aligned}S &= \tfrac{32}{3}+\tfrac{7}{3} \\ &= 13\end{aligned}

מחברים

בלי חלוקה מתקבל −253-\frac{25}{3}, ומי שלוקח ממנו ערך מוחלט מקבל 253\frac{25}{3}: גם זה שגוי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

מהו השטח המוגבל בין הגרף של y=x2−2xy=x^2-2x לבין הישר y=2xy=2x?

  1. 163\frac{16}{3}
  2. −323-\frac{32}{3}
  3. 323\frac{32}{3}
  4. 643\frac{64}{3}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 323\frac{32}{3}

Corrigé :

x2−2x=2x ⇒ x=0 x=4\begin{aligned}x^2-2x &= 2x \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ x &= 4\end{aligned}

חיתוכים

∫04(4x−x2) dx=32−643=323\begin{aligned}\int_0^4 (4x-x^2)\,dx &= 32-\tfrac{64}{3} \\ &= \tfrac{32}{3}\end{aligned}

הישר עליון

הנכונה: 323\frac{32}{3}. −323-\frac{32}{3} היא התחתון פחות העליון; שטח אינו שלילי. 643\frac{64}{3} היא ∫04x2 dx\int_0^4 x^2\,dx.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

נתון ∫1k(2x−1) dx=6\int_1^k (2x-1)\,dx=6, כאשר k>1k>1. מצאו את kk.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

[x2−x]1k=k2−k−0\Big[x^2-x\Big]_1^k=k^2-k-0

האינטגרל כביטוי

k2−k−6=0 ⇒ k=3 k=−2\begin{aligned}k^2-k-6 &= 0 \ \Rightarrow \ k \\ &= 3 \\ \ k &= -2\end{aligned}

On résout

k=3k=3

לפי k>1k>1

בדיקה: 9−3−0=69-3-0=6 ✓. k=−2k=-2 נפסל לפי התנאי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של y=12(2x+1)2y=\frac{12}{(2x+1)^2}, הצירים והישר x=1x=1.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

F(x)=−122(2x+1)=−62x+1\begin{aligned}F(x) &= -\frac{12}{2(2x+1)} \\ &= -\frac{6}{2x+1}\end{aligned}

פונקציה קדומה, a=2a=2

F(1)−F(0)=−2−(−6)=4\begin{aligned}F(1)-F(0) &= -2-(-6) \\ &= 4\end{aligned}

On remplace (מציבים)

מי ששכח לחלק ב-a=2a=2 קיבל 88, כפול מהתשובה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

רוצים לחשב את השטח המוגבל על ידי הגרף של y=3x2−3y=3x^2-3, ציר ה-xx, ציר ה-yy והישר x=2x=2. שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

∫02(3x2−3) dx=[x3−3x]02\int_0^2 (3x^2-3)\,dx=\Big[x^3-3x\Big]_0^2
=8−6=2=8-6=2
S=2S=2
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : S=2S=2 → S=∣∫01∣+∫12=2+4=6S=\left|\int_0^1\right|+\int_1^2=2+4=6

Corrigé :

3x2−3=0 ⇒ x=1\begin{aligned}3x^2-3 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1\end{aligned}

הגרף חוצה את הציר בתוך הקטע

∫01(3x2−3) dx=−2∫12(3x2−3) dx=4\begin{aligned}\int_0^1 (3x^2-3)\,dx &= -2 \qquad \int_1^2 (3x^2-3)\,dx \\ &= 4\end{aligned}

כל חלק לחוד

שתי השורות הראשונות נכונות: האינטגרל באמת 22. השגיאה היא במסקנה S=2S=2: האינטגרל הוא לא השטח, כי הגרף חוצה את הציר ב-x=1x=1.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

המשיק לגרף של y=x2y=x^2 בנקודה (3, 9)(3,\,9) הוא y=6x−9y=6x-9. חשבו את השטח המוגבל על ידי הפרבולה, המשיק וציר ה-yy.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 9

Corrigé :

x2−(6x−9)=(x−3)2≥0x^2-(6x-9)=(x-3)^2 \geq 0

הפרבולה מעל המשיק

∫03(x−3)2 dx=[(x−3)33]03=0−(−9)\begin{aligned}\int_0^3 (x-3)^2\,dx &= \Big[\tfrac{(x-3)^3}{3}\Big]_0^3 \\ &= 0-(-9)\end{aligned}

מציר ה-yy עד נקודת ההשקה

S=9S=9

השטח

החסם השלישי הוא ציר ה-yy, ולכן הגבולות 00 ו-33, בלי חלוקה. אילו היה ציר ה-xx, היה צריך לחלק בנקודה שבה המשיק חותך אותו.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

כדי לחשב את השטח בין הגרף לציר ה-xx בקטע הנתון, האם צריך לחלק את הקטע?

  • צריך לחלק
  • לא צריך לחלק
  • 4−x24-x^2 בקטע [−2, 2][-2,\,2]
  • x−3x-3 בקטע [0, 2][0,\,2]
  • x2−1x^2-1 בקטע [0, 2][0,\,2]
  • x2−4xx^2-4x בקטע [1, 5][1,\,5]
  • x2+1x^2+1 בקטע [−1, 1][-1,\,1]
  • x3x^3 בקטע [−1, 1][-1,\,1]
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x2−1x^2-1 בקטע [0, 2][0,\,2] — צריך לחלק · x3x^3 בקטע [−1, 1][-1,\,1] — צריך לחלק · x2−4xx^2-4x בקטע [1, 5][1,\,5] — צריך לחלק · x2+1x^2+1 בקטע [−1, 1][-1,\,1] — לא צריך לחלק · x−3x-3 בקטע [0, 2][0,\,2] — לא צריך לחלק · 4−x24-x^2 בקטע [−2, 2][-2,\,2] — לא צריך לחלק

Corrigé :

x2−1=0 ⇒ x=1∈(0,2)\begin{aligned}x^2-1 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1 \in (0,2)\end{aligned}

חיתוך בפנים

x−3<0 בכל [0,2]x-3<0 \ \text{בכל} \ [0,2]

שלילי בכל הקטע: הופכים סימן, אבל לא מחלקים

4−x2=0 ⇒ x=±2\begin{aligned}4-x^2 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm 2\end{aligned}

החיתוכים בקצוות, לא בפנים

מחלקים רק כשיש חיתוך עם הציר בתוך הקטע. חיתוך בקצה, כמו ב-4−x24-x^2, לא מחייב חלוקה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

נתונה f(x)=6x+1f(x)=\frac{6}{x+1}. חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של f′f', ציר ה-xx, ציר ה-yy והישר x=2x=2.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

f′(x)=−6(x+1)2<0f'(x)=-\frac{6}{(x+1)^2}<0

הגרף של f′f' מתחת לציר

∫02f′(x) dx=f(2)−f(0)=2−6=−4\begin{aligned}\int_0^2 f'(x)\,dx &= f(2)-f(0) \\ &= 2-6 \\ &= -4\end{aligned}

מציבים ב-ff

S=4S=4

הערך הנגדי

אין צורך לגזור ולחפש קדומה: ff היא הקדומה של f′f'. ff יורדת, ולכן האינטגרל שלילי והשטח חיובי.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe