Le calcul inverse

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

בתחרות ריצה של 22 ק״מ, הזמנים מתפלגים נורמלית עם ממוצע 600600 שניות וסטיית תקן 4040 שניות.

10%10\% המהירים ביותר עולים לגמר. מה הזמן הגבוה ביותר שעוד מכניס לגמר? הפעם האחוז ידוע, והערך לא.

הזמן הזה קטן מ-600600 או גדול ממנו? ומה יהיה הסימן של zz?

Voir la réponse et le corrigé

קטן: המהירים הם בעלי הזמנים הקצרים, בזנב השמאלי. לכן zz שלילי.

ארבעה צעדים, בכיוון ההפוך

P(X<x)=0.10P(X<x)=0.10

כותבים את האחוז כשטח משמאל לערך

Φ(1.28)=0.8997≈0.90\Phi(1.28)=0.8997 \approx 0.90

מחפשים בתוך הטבלה את השטח, ל-zz חיובי: 1−0.10=0.901-0.10=0.90

z=−1.28z=-1.28

קובעים את הסימן לפי הצד של הממוצע

x=μ+zσx=\mu+z\sigma

חוזרים ליחידות של השאלה

הזמן שמכניס לגמר

ממוצע 600600 שניות, סטיית תקן 4040 שניות, 10%10\% המהירים. נתון: Φ(1.28)=0.8997\Phi(1.28)=0.8997.

P(X<x)=0.10P(X<x)=0.10

השטח משמאל לזמן המבוקש

Φ(z)=0.10 ⇒ Φ(−z)=0.90 ⇒ −z=1.28\begin{aligned}\Phi(z) &= 0.10 \ \Rightarrow \ \Phi(-z) \\ &= 0.90 \ \Rightarrow \ -z \\ &= 1.28\end{aligned}

מחפשים 0.100.10 בתוך הטבלה, או 0.900.90 ואז הסימטריה

z=−1.28z=-1.28

זנב שמאלי

x=600−1.28⋅40=548.8\begin{aligned}x &= 600-1.28 \cdot 40 \\ &= 548.8\end{aligned}

הזמן: 548.8548.8 שניות

מציאת σ\sigma או μ\mu

אם הממוצע ידוע וסטיית התקן לא (או להפך), מוצאים את zz מהאחוז ומציבים ב-z=x−μσz=\frac{x-\mu}{\sigma}. מתקבלת משוואה עם נעלם אחד.

מציאת סטיית התקן

משקל תפוזים מתפלג נורמלית עם ממוצע 180180 גרם. 6.68%6.68\% מהתפוזים שוקלים פחות מ-165165 גרם. נתון: Φ(1.5)=0.9332\Phi(1.5)=0.9332. מצאו את סטיית התקן.

P(X<165)=0.0668 ⇒ z=−1.5\begin{aligned}P(X<165) &= 0.0668 \ \Rightarrow \ z \\ &= -1.5\end{aligned}

1−0.0668=0.93321-0.0668=0.9332, וזנב שמאלי

−1.5=165−180σ-1.5=\frac{165-180}{\sigma}

On remplace (מציבים)

σ=−15−1.5=10\begin{aligned}\sigma &= \frac{-15}{-1.5} \\ &= 10\end{aligned}

סטיית התקן: 1010 גרם

סטיית התקן 55, ו-30.85%30.85\% מהערכים גדולים מ-4747. מהו הממוצע? נתון: Φ(0.5)=0.6915\Phi(0.5)=0.6915.

Voir la réponse et le corrigé

P(X<47)=1−0.3085=0.6915P(X<47)=1-0.3085=0.6915, ולכן z=0.5z=0.5. 47=μ+0.5⋅547=\mu+0.5 \cdot 5, כלומר μ=44.5\mu=44.5. 4747 מעל הממוצע, כי מעליו פחות מחצי.

שני זנבות שווים

אם אותו אחוז נמצא מתחת ל-aa ומעל ל-bb, הממוצע נמצא בדיוק באמצע: μ=a+b2\mu=\frac{a+b}{2}, בגלל הסימטריה.

אחר כך מוצאים את σ\sigma מאחד הזנבות. ואם שני האחוזים שונים, כותבים שתי משוואות x=μ+zσx=\mu+z\sigma ופותרים מערכת.

בדיקת סימן מהירה: אם פחות מחצי מהתצפיות מתחת לערך, zz שלילי. אם יותר מחצי, zz חיובי.

שלוש טעויות בחישוב ההפוך.

P(X<x)=0.10 ⇒ z=1.28\begin{aligned}P(X<x) &= 0.10 \ \Rightarrow \ z \\ &= 1.28\end{aligned}
P(X<x)=0.10 ⇒ z=−1.28\begin{aligned}P(X<x) &= 0.10 \ \Rightarrow \ z \\ &= -1.28\end{aligned}

10%10\% משמאל הוא זנב שמאלי: מתחת לממוצע.

P(X>47)=0.3085 ⇒ Φ(z)=0.3085\begin{aligned}P(X>47) &= 0.3085 \ \Rightarrow \ \Phi(z) \\ &= 0.3085\end{aligned}
Φ(z)=1−0.3085=0.6915\begin{aligned}\Phi(z) &= 1-0.3085 \\ &= 0.6915\end{aligned}

הטבלה נותנת שטח משמאל. אחוז שמעל הערך הופכים קודם.

−1.5=180−165σ-1.5=\frac{180-165}{\sigma}
−1.5=165−180σ-1.5=\frac{165-180}{\sigma}

במונה: הערך פחות הממוצע. הסדר ההפוך נותן σ\sigma שלילית, סימן בטוח לטעות.

Exercices

Exercice 1

משתנה מתפלג נורמלית עם ממוצע 6060 וסטיית תקן 88. 93.32%93.32\% מהערכים קטנים מ-xx. מצאו את xx. נתון: Φ(1.5)=0.9332\Phi(1.5)=0.9332.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 72

Corrigé :

Φ(z)=0.9332 ⇒ z=1.5\begin{aligned}\Phi(z) &= 0.9332 \ \Rightarrow \ z \\ &= 1.5\end{aligned}

השטח משמאל גדול מחצי: zz חיובי

x=60+1.5⋅8=72\begin{aligned}x &= 60+1.5 \cdot 8 \\ &= 72\end{aligned}

מהציון אל הערך

מי שענה 4848 שם z=−1.5z=-1.5. יותר מחצי מהערכים מתחת ל-xx, ולכן xx מעל הממוצע.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

ציוני בחינה ארצית מתפלגים נורמלית עם ממוצע 7575 וסטיית תקן 1010. 10%10\% מהנבחנים עם הציונים הגבוהים ביותר מקבלים תעודת הצטיינות. מהו הציון הנמוך ביותר שמקבל הצטיינות? נתון: Φ(1.28)=0.8997\Phi(1.28)=0.8997. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 87.8

Corrigé :

P(X<x)=0.90 ⇒ z=1.28\begin{aligned}P(X<x) &= 0.90 \ \Rightarrow \ z \\ &= 1.28\end{aligned}

90%90\% מתחת לסף

x=75+1.28⋅10=87.8\begin{aligned}x &= 75+1.28 \cdot 10 \\ &= 87.8\end{aligned}

הסף

מי שחיפש בטבלה 0.100.10 ולא 0.900.90 התבלבל בכיוון: הטבלה נותנת את השטח משמאל, ומשמאל לסף נמצאים 90%90\%.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

ציוני בחינה ארצית מתפלגים נורמלית עם ממוצע 7575 וסטיית תקן 1010. 20%20\% מהנבחנים, עם הציונים הנמוכים ביותר, מוזמנים לתגבור. מהו הציון הגבוה ביותר שמוזמן לתגבור? נתון: Φ(0.84)=0.7995\Phi(0.84)=0.7995. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 66.6

Corrigé :

P(X<x)=0.20 ⇒ Φ(−z)=0.80\begin{aligned}P(X<x) &= 0.20 \ \Rightarrow \ \Phi(-z) \\ &= 0.80\end{aligned}

בטבלה מחפשים 0.800.80

z=−0.84z=-0.84

זנב שמאלי

x=75−0.84⋅10=66.6\begin{aligned}x &= 75-0.84 \cdot 10 \\ &= 66.6\end{aligned}

הסף

ציון מתחת לממוצע, ולכן zz שלילי. 83.483.4 הוא הסף של 20%20\% העליונים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

משקל אשכוליות מתפלג נורמלית עם ממוצע 200200 גרם. 6.68%6.68\% מהאשכוליות שוקלות פחות מ-182182 גרם. מהי סטיית התקן (בגרם)? נתון: Φ(1.5)=0.9332\Phi(1.5)=0.9332.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 12

Corrigé :

P(X<182)=0.0668 ⇒ z=−1.5\begin{aligned}P(X<182) &= 0.0668 \ \Rightarrow \ z \\ &= -1.5\end{aligned}

זנב שמאלי

−1.5=182−200σ-1.5=\frac{182-200}{\sigma}

On remplace (מציבים)

σ=181.5=12\begin{aligned}\sigma &= \frac{18}{1.5} \\ &= 12\end{aligned}

סטיית התקן

שני הסימנים השליליים מבטלים זה את זה, וסטיית התקן יוצאת חיובית כמו שצריך.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

זמן ההמתנה בתור לקופה מתפלג נורמלית עם סטיית תקן 1.51.5 דקות. 30.85%30.85\% מהלקוחות מחכים יותר מ-77 דקות. מהו הממוצע (בדקות)? נתון: Φ(0.5)=0.6915\Phi(0.5)=0.6915. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6.25

Corrigé :

P(X<7)=1−0.3085=0.6915 ⇒ z=0.5\begin{aligned}P(X<7) &= 1-0.3085 \\ &= 0.6915 \ \Rightarrow \ z \\ &= 0.5\end{aligned}

השטח משמאל

7=μ+0.5⋅1.57=\mu+0.5 \cdot 1.5

On remplace (מציבים)

μ=7−0.75=6.25\begin{aligned}\mu &= 7-0.75 \\ &= 6.25\end{aligned}

הממוצע

מעל 77 פחות מחצי מהלקוחות, ולכן 77 מעל הממוצע. מי שקיבל 7.757.75 טעה בסימן.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

משתנה מתפלג נורמלית. 11.51%11.51\% מהערכים קטנים מ-3838, ו-11.51%11.51\% גדולים מ-6262. נתון: Φ(1.2)=0.8849\Phi(1.2)=0.8849. השלימו.

μ=\mu= ____ , σ=\sigma= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : μ=\mu= 50 , σ=\sigma= 10

Corrigé :

μ=38+622=50\begin{aligned}\mu &= \frac{38+62}{2} \\ &= 50\end{aligned}

שני זנבות שווים: הממוצע באמצע

P(X>62)=0.1151 ⇒ z=1.2\begin{aligned}P(X>62) &= 0.1151 \ \Rightarrow \ z \\ &= 1.2\end{aligned}

1−0.1151=0.88491-0.1151=0.8849

62=50+1.2σ ⇒ σ=10\begin{aligned}62 &= 50+1.2\sigma \ \Rightarrow \ \sigma \\ &= 10\end{aligned}

סטיית התקן

את הממוצע נותנת הסימטריה, בלי טבלה. את סטיית התקן נותן זנב אחד, לא הסכום 23.02%23.02\%.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

משתנה מתפלג נורמלית עם ממוצע 100100 וסטיית תקן 1515. 25%25\% מהערכים קטנים מ-xx. נתון: Φ(0.67)=0.7486\Phi(0.67)=0.7486. מהו xx בקירוב?

  1. 99.3399.33
  2. 110.05110.05
  3. 89.9589.95
  4. 96.2596.25
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 89.9589.95

Corrigé :

Φ(z)=0.25 ⇒ Φ(−z)=0.75 ⇒ z≈−0.67\begin{aligned}\Phi(z) &= 0.25 \ \Rightarrow \ \Phi(-z) \\ &= 0.75 \ \Rightarrow \ z \approx -0.67\end{aligned}

פחות מחצי משמאל: zz שלילי

x=100−0.67⋅15=89.95\begin{aligned}x &= 100-0.67 \cdot 15 \\ &= 89.95\end{aligned}

La valeur

הנכונה: 89.9589.95. 110.05110.05 שוכח את המינוס; 99.3399.33 מחסיר את zz בלי לכפול בסטיית התקן; 96.2596.25 מחסיר רבע מסטיית התקן.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

החציון של זמני ריצה מתפלגים נורמלית הוא 3030 דקות. 21.19%21.19\% מהרצים רצו יותר מ-3434 דקות. מהי סטיית התקן (בדקות)? נתון: Φ(0.8)=0.7881\Phi(0.8)=0.7881.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5

Corrigé :

μ=30\mu=30

בהתפלגות נורמלית החציון שווה לממוצע

P(X<34)=0.7881 ⇒ z=0.8\begin{aligned}P(X<34) &= 0.7881 \ \Rightarrow \ z \\ &= 0.8\end{aligned}

השטח משמאל

0.8=34−30σ ⇒ σ=5\begin{aligned}0.8 &= \frac{34-30}{\sigma} \ \Rightarrow \ \sigma \\ &= 5\end{aligned}

סטיית התקן

המילה «חציון» היא הנתון על הממוצע. בלעדיה חסר נעלם, ואי אפשר לפתור.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

משתנה מתפלג נורמלית. 2.28%2.28\% מהערכים קטנים מ-4646, ו-84.13%84.13\% מהערכים קטנים מ-6464. נתון: Φ(1)=0.8413\Phi(1)=0.8413, Φ(2)=0.9772\Phi(2)=0.9772. השלימו.

μ=\mu= ____ , σ=\sigma= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : μ=\mu= 58 , σ=\sigma= 6

Corrigé :

P(X<46)=0.0228 ⇒ z=−2 ⇒ μ−2σ=46\begin{aligned}P(X<46) &= 0.0228 \ \Rightarrow \ z \\ &= -2 \ \Rightarrow \ \mu-2\sigma \\ &= 46\end{aligned}

משוואה ראשונה

P(X<64)=0.8413 ⇒ z=1 ⇒ μ+σ=64\begin{aligned}P(X<64) &= 0.8413 \ \Rightarrow \ z \\ &= 1 \ \Rightarrow \ \mu+\sigma \\ &= 64\end{aligned}

משוואה שנייה

3σ=18 ⇒ σ=6μ=58\begin{aligned}3\sigma &= 18 \ \Rightarrow \ \sigma \\ &= 6 \\ \quad \mu &= 58\end{aligned}

מחסירים את המשוואות

שני אחוזים שונים: אין סימטריה, והממוצע איננו 46+642=55\frac{46+64}{2}=55. פותרים מערכת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

אורך הגבעולים של פרחים מתפלג נורמלית עם ממוצע 2020 ס״מ. 65.54%65.54\% מהגבעולים קצרים מ-2222 ס״מ. מהי סטיית התקן (בס״מ)? נתון: Φ(0.4)=0.6554\Phi(0.4)=0.6554.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5

Corrigé :

P(X<22)=0.6554 ⇒ z=0.4\begin{aligned}P(X<22) &= 0.6554 \ \Rightarrow \ z \\ &= 0.4\end{aligned}

יותר מחצי: zz חיובי

0.4=22−20σ0.4=\frac{22-20}{\sigma}

On remplace (מציבים)

σ=20.4=5\begin{aligned}\sigma &= \frac{2}{0.4} \\ &= 5\end{aligned}

סטיית התקן

2222 מעל הממוצע, כי מתחתיו יותר מחצי. מי שקיבל zz שלילי הפך את הצד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

משתנה מתפלג נורמלית. 30%30\% מהערכים גדולים מ-xx. מה נכון?

  1. xx מעל הממוצע, ו-zz חיובי
  2. אי אפשר לדעת בלי הטבלה
  3. xx מתחת לממוצע, ו-zz שלילי
  4. xx שווה לממוצע
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A xx מעל הממוצע, ו-zz חיובי

Corrigé :

P(X<x)=1−0.30=0.70>0.5\begin{aligned}P(X<x) &= 1-0.30 \\ &= 0.70>0.5\end{aligned}

מתחת ל-xx יש יותר מחצי

מעל xx יש פחות מחצי, ולכן xx מעל הממוצע. הסימן נקבע בלי טבלה: הטבלה נותנת רק את הגודל של zz.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

ממוצע 5050, סטיית תקן 1010. 15%15\% מהערכים קטנים מ-xx. נתון: Φ(1.04)=0.8508\Phi(1.04)=0.8508. שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

P(X<x)=0.15 ⇒ z=1.04\begin{aligned}P(X<x) &= 0.15 \ \Rightarrow \ z \\ &= 1.04\end{aligned}
x=μ+zσx=\mu+z\sigma
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : P(X<x)=0.15 ⇒ z=1.04P(X<x)=0.15 \ \Rightarrow \ z=1.04 → P(X<x)=0.15 ⇒ z=−1.04P(X<x)=0.15 \ \Rightarrow \ z=-1.04

Corrigé :

1−0.15=0.85≈Φ(1.04)1-0.15=0.85 \approx \Phi(1.04)

הגודל של zz

z=−1.04z=-1.04

זנב שמאלי: מתחת לממוצע

x=50−1.04⋅10=39.6\begin{aligned}x &= 50-1.04 \cdot 10 \\ &= 39.6\end{aligned}

La valeur

15%15\% משמאל הוא זנב שמאלי, ולכן zz שלילי. עם z=1.04z=1.04 יוצא 60.460.4, ערך שמעליו רק 15%15\%.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe