On résout ensemble

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

ארבע שאלות בסגנון שאלת ההתפלגות הנורמלית בבגרות, אחת לכל רעיון של הפרק: חישוב ישיר עם כמות והסתברות, מציאת סטיית התקן, השוואה בציוני תקן, ו«מתוך אלה ש…». כל שאלה נפתרת יחד, שלב אחרי שלב. שאלה תאומה מחכה לכם למטה, לפתור לבד.

לפני כל לחיצה, אמרו לעצמכם מה אתם הייתם עושים. בכל שאלה: שרטטו פעמון, סמנו את השטח, וכתבו את ערך הטבלה שבו השתמשתם.

1 — אחוז, כמות ושתי נסיעות

בסעיף ג, למה מותר לכפול את שתי ההסתברויות?

Voir la réponse et le corrigé

כי שתי הנסיעות נבחרו באופן בלתי תלוי: מה שקרה בנסיעה אחת לא משנה את ההסתברות בשנייה. בלי אי-תלות, הכפל לא מוצדק.

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה.

2 — מציאת סטיית התקן

איך אפשר לדעת עוד לפני החישוב ש-zz שלילי?

Voir la réponse et le corrigé

רק 4.01%4.01\% מהחבילות מתחת ל-243243, פחות מחצי. לכן 243243 מתחת לממוצע, ו-z<0z<0.

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה.

3 — שני מבחנים, אותו ציון תקן

בסעיף ב: למה 8181 ו-8484 יכולים להיות «שווים» אף שהם מספרים שונים?

Voir la réponse et le corrigé

ציון התקן מודד מקום יחסי. בשני המבחנים הציון נמצא 1.51.5 סטיות תקן מעל הממוצע, ולכן אותו אחוז מהתלמידים, 6.68%6.68\%, קיבל יותר ממנו.

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — «מתוך אלה ש…»

האם התשובה יכולה להיות גדולה מ-P(X>199)P(X>199)? למה?

Voir la réponse et le corrigé

כן, והיא תמיד כזו (או שווה). מחלקים במספר קטן מ-11, כי הקבוצה שבה מסתכלים קטנה מכל השחקנים. בתוך קבוצת הגבוהים, «גבוה מאוד» שכיח יותר.

השאלה התאומה: שאלה 4 ברשימה למטה. ושאלה 5 מוסיפה חישוב הפוך של סף.

Exercices

Exercice 1

זמן הנסיעה בקו אוטובוס בין ירושלים לבית שמש מתפלג נורמלית עם ממוצע 4040 דקות וסטיית תקן 55 דקות. נתון: Φ(1)=0.8413\Phi(1)=0.8413, Φ(1.2)=0.8849\Phi(1.2)=0.8849. השלימו.

אחוז הנסיעות שנמשכות יותר מ-4646 דקות: ____ % ; מתוך 300300 נסיעות, בערך ____ נמשכו בין 3535 ל-4646 דקות (מספר שלם) ; ההסתברות ששתי נסיעות שנבחרו באקראי, באופן בלתי תלוי, נמשכו שתיהן פחות מ-4646 דקות (שתי ספרות אחרי הנקודה): ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : אחוז הנסיעות שנמשכות יותר מ-4646 דקות: 11.51 % ; מתוך 300300 נסיעות, בערך 218 נמשכו בין 3535 ל-4646 דקות (מספר שלם) ; ההסתברות ששתי נסיעות שנבחרו באקראי, באופן בלתי תלוי, נמשכו שתיהן פחות מ-4646 דקות (שתי ספרות אחרי הנקודה): 0.783

Corrigé :

z=46−405=1.2 ⇒ 1−0.8849=0.1151\begin{aligned}z &= \frac{46-40}{5} \\ &= 1.2 \ \Rightarrow \ 1-0.8849 \\ &= 0.1151\end{aligned}

זנב ימני

0.8849−0.1587=0.7262 ⇒ 300⋅0.7262=217.86\begin{aligned}0.8849-0.1587 &= 0.7262 \ \Rightarrow \ 300 \cdot 0.7262 \\ &= 217.86\end{aligned}

בין z=−1z=-1 ל-z=1.2z=1.2

0.88492≈0.780.8849^2 \approx 0.78

שתי נסיעות בלתי תלויות

בסעיף האחרון מבקשים «פחות מ-4646», ולכן כופלים את 0.88490.8849 ולא את 0.11510.1151.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

משקל שקי קמח מתפלג נורמלית עם ממוצע 10001000 גרם. 4.01%4.01\% מהשקים שוקלים פחות מ-986986 גרם. מהי סטיית התקן (בגרם)? נתון: Φ(1.75)=0.9599\Phi(1.75)=0.9599.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 8

Corrigé :

P(X<986)=0.0401 ⇒ z=−1.75\begin{aligned}P(X<986) &= 0.0401 \ \Rightarrow \ z \\ &= -1.75\end{aligned}

זנב שמאלי

−1.75=986−1000σ ⇒ σ=8\begin{aligned}-1.75 &= \frac{986-1000}{\sigma} \ \Rightarrow \ \sigma \\ &= 8\end{aligned}

On résout

מי שקיבל −8-8 הפך את המונה. מי שחיפש 0.04010.0401 בתוך הטבלה לא מצא אותו: בטבלה יש רק שטחים של zz חיובי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

ציוני מבחן א מתפלגים נורמלית עם ממוצע 6565 וסטיית תקן 1010. ציוני מבחן ב מתפלגים נורמלית עם סטיית תקן 88. הציון 8282 במבחן ב הוא בעל אותו ציון תקן כמו 8080 במבחן א. השלימו.

ציון התקן: ____ ; הממוצע במבחן ב: ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : ציון התקן: 1.5 ; הממוצע במבחן ב: 70

Corrigé :

z=80−6510=1.5\begin{aligned}z &= \frac{80-65}{10} \\ &= 1.5\end{aligned}

במבחן א

μ=82−1.5⋅8=70\begin{aligned}\mu &= 82-1.5 \cdot 8 \\ &= 70\end{aligned}

במבחן ב

אותו ציון תקן, לא אותו מרחק: במבחן ב סטייה וחצי הן 1212 נקודות, לא 1515.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

משתנה מתפלג נורמלית עם ממוצע 5050 וסטיית תקן 1010. מתוך הערכים שגדולים מ-5555, איזה אחוז גדולים מ-6565? נתון: Φ(0.5)=0.6915\Phi(0.5)=0.6915, Φ(1.5)=0.9332\Phi(1.5)=0.9332. ענו באחוזים, עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 21.65

Corrigé :

P(X>65)=1−0.9332=0.0668\begin{aligned}P(X>65) &= 1-0.9332 \\ &= 0.0668\end{aligned}

החיתוך

P(X>55)=1−0.6915=0.3085\begin{aligned}P(X>55) &= 1-0.6915 \\ &= 0.3085\end{aligned}

התנאי

0.06680.3085≈0.2165\frac{0.0668}{0.3085} \approx 0.2165

מחלקים

21.65%21.65\%. בלי החלוקה ב-0.30850.3085 עונים על «מתוך כל הערכים».

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

זמני התגובה במשחק מחשב מתפלגים נורמלית עם ממוצע 120120 מאיות שנייה וסטיית תקן 1515. 5%5\% מהשחקנים, עם זמני התגובה הארוכים ביותר, מקבלים אימון נוסף. מהו הזמן הקצר ביותר שמקבל אימון? נתון: Φ(1.645)=0.95\Phi(1.645)=0.95. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 144.68

Corrigé :

P(X<x)=0.95 ⇒ z=1.645\begin{aligned}P(X<x) &= 0.95 \ \Rightarrow \ z \\ &= 1.645\end{aligned}

הזמנים הארוכים: זנב ימני

x=120+1.645⋅15≈144.68x=120+1.645 \cdot 15 \approx 144.68

הסף

כאן הזמנים הארוכים הם הזנב, ולכן zz חיובי. מי שהחסיר חיפש את הזנב הלא נכון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

משקל אבטיחים מתפלג נורמלית עם ממוצע 88 ק״ג וסטיית תקן 1.51.5 ק״ג. נתון: Φ(1.33)=0.9082\Phi(1.33)=0.9082. השלימו.

א. אחוז האבטיחים ששוקלים יותר מ-1010 ק״ג: ____% ; ב. מתוך 500500 אבטיחים, כמה שוקלים יותר מ-1010 ק״ג, בעיגול: ____ ; ג. בוחרים שני אבטיחים באופן בלתי תלוי. ההסתברות ששניהם שוקלים יותר מ-1010 ק״ג, בעיגול לארבע ספרות אחרי הנקודה: ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : א. אחוז האבטיחים ששוקלים יותר מ-1010 ק״ג: 9.18% ; ב. מתוך 500500 אבטיחים, כמה שוקלים יותר מ-1010 ק״ג, בעיגול: 46 ; ג. בוחרים שני אבטיחים באופן בלתי תלוי. ההסתברות ששניהם שוקלים יותר מ-1010 ק״ג, בעיגול לארבע ספרות אחרי הנקודה: 0.0084

Corrigé :

z=10−81.5≈1.33z=\frac{10-8}{1.5}\approx 1.33

מתרגמים ל-zz, בעיגול לשתי ספרות

P(X>10)=1−0.9082=0.0918\begin{aligned}P(X>10) &= 1-0.9082 \\ &= 0.0918\end{aligned}

השטח מימין

500⋅0.0918=45.9500 \cdot 0.0918=45.9

מאחוז לכמות

0.09182≈0.00840.0918^2 \approx 0.0084

שני אבטיחים, בלתי תלויים: כופלים

בסעיף ג כופלים את ההסתברות, לא את האחוז: 9.18⋅9.189.18 \cdot 9.18 נותן מספר גדול מ-11.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

אורך גבעולים מתפלג נורמלית. החציון 3030 ס״מ, ו-15.87%15.87\% מהגבעולים ארוכים מ-3333 ס״מ. נתון: Φ(1)=0.8413\Phi(1)=0.8413. השלימו.

סטיית התקן: ____ ס״מ ; אחוז הגבעולים הקצרים מ-2727 ס״מ: ____%

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : סטיית התקן: 3 ס״מ ; אחוז הגבעולים הקצרים מ-2727 ס״מ: 15.87%

Corrigé :

μ=30\mu=30

בפעמון החציון שווה לממוצע

P(X<33)=0.8413 ⇒ z=1\begin{aligned}P(X<33) &= 0.8413 \ \Rightarrow \ z \\ &= 1\end{aligned}

השטח משמאל

1=33−30σ ⇒ σ=3\begin{aligned}1 &= \frac{33-30}{\sigma} \ \Rightarrow \ \sigma \\ &= 3\end{aligned}

סטיית התקן

27=30−3 ⇒ z=−1\begin{aligned}27 &= 30-3 \ \Rightarrow \ z \\ &= -1\end{aligned}

הסימטריה: אותו זנב בצד השני

הצעד הראשון הוא הממוצע, ובשאלה הוא מסתתר מאחורי המילה חציון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

בשחייה ובריצה, זמן קצר יותר הוא תוצאה טובה יותר. שחקן א שחה 5757 שניות, בקבוצה שבה הממוצע 6060 וסטיית התקן 22. שחקן ב רץ 12.412.4 שניות, בקבוצה שבה הממוצע 1313 וסטיית התקן 0.50.5. מי הצליח יותר ביחס לקבוצה שלו?

  1. שחקן א
  2. שחקן ב
  3. אי אפשר להשוות שני ענפים
  4. שניהם באותו מקום יחסי
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A שחקן א

Corrigé :

zA=57−602=−1.5\begin{aligned}z_A &= \frac{57-60}{2} \\ &= -1.5\end{aligned}

שחקן א

zB=12.4−130.5=−1.2\begin{aligned}z_B &= \frac{12.4-13}{0.5} \\ &= -1.2\end{aligned}

שחקן ב

−1.5<−1.2-1.5<-1.2

זמן: ככל ש-zz קטן יותר, התוצאה טובה יותר

הנכונה: שחקן א. מי שבחר בשחקן ב בחר ב-zz הגדול, אבל כאן זמן ארוך הוא חיסרון: מחפשים את zz השלילי יותר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

הגובה של מתגייסים מתפלג נורמלית עם ממוצע 170170 ס״מ וסטיית תקן 1010 ס״מ. מתוך המתגייסים שגבוהים מ-160160 ס״מ, איזה אחוז גבוהים מ-180180 ס״מ? נתון: Φ(1)=0.8413\Phi(1)=0.8413. ענו באחוזים, עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 18.86

Corrigé :

P(X>180)=1−0.8413=0.1587\begin{aligned}P(X>180) &= 1-0.8413 \\ &= 0.1587\end{aligned}

מי שגבוה מ-180180 בוודאי גבוה מ-160160

P(X>160)=0.8413P(X>160)=0.8413

הסימטריה: z=−1z=-1

0.15870.8413≈0.1886\frac{0.1587}{0.8413}\approx 0.1886

מחלקים בגודל הקבוצה

«מתוך אלה ש…» מחלקים ב-0.84130.8413. מי שענה 15.87%15.87\% ענה על השאלה בלי ה«מתוך».

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

היבול של עץ דובדבן מתפלג נורמלית עם ממוצע 4040 ק״ג וסטיית תקן 1010 ק״ג. בשנה יבשה היבול של כל עץ קטן ב-20%20\%. נתון: Φ(1)=0.8413\Phi(1)=0.8413. השלימו.

הממוצע החדש: ____ ק״ג ; סטיית התקן החדשה: ____ ק״ג ; אחוז העצים שהיבול שלהם עכשיו גדול מ-4040 ק״ג: ____%

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : הממוצע החדש: 32 ק״ג ; סטיית התקן החדשה: 8 ק״ג ; אחוז העצים שהיבול שלהם עכשיו גדול מ-4040 ק״ג: 15.87%

Corrigé :

x→0.8xx \to 0.8x

כל יבול מוכפל ב-0.80.8

μ=0.8⋅40=32σ=0.8⋅10=8\begin{aligned}\mu &= 0.8 \cdot 40 \\ &= 32 \qquad \sigma \\ &= 0.8 \cdot 10 \\ &= 8\end{aligned}

גם הממוצע וגם סטיית התקן

z=40−328=1 ⇒ 1−0.8413=0.1587\begin{aligned}z &= \frac{40-32}{8} \\ &= 1 \ \Rightarrow \ 1-0.8413 \\ &= 0.1587\end{aligned}

השטח מימין

הכפלה משנה גם את סטיית התקן. מי שהשאיר σ=10\sigma=10 קיבל z=0.8z=0.8 ותשובה אחרת.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe