On résout ensemble · Problèmes d'extremum · Kita יא

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

ארבע שאלות בנוסח שאלת בעיות הקיצון של הבגרות: מלבן בין גרף לאסימפטוטות, משולש של משיק עם הצירים, משולש שקודקודיו על פרבולה, וטרפז עם אלכסון קצר ביותר. בכל אחת מופיעה גם השאלה «האם ייתכן». כל שאלה נפתרת יחד, שלב אחרי שלב, ושאלה תאומה מחכה לכם למטה.

לפני כל לחיצה, אמרו לעצמכם מה אתם הייתם עושים. הפער בין התוכנית שלכם לבין השלב שמופיע הוא מה שמלמד.

1 — מלבן בין הגרף לאסימפטוטות

f(x) = 2 + 9/(x − 1) והאסימפטוטות

האסימפטוטות מקווקוות. P על הגרף, והמלבן בין P לאסימפטוטות.

Activité interactive

נתונה $f(x)=2+\frac{9}{x-1}$ בתחום $x>1$ . $P$ נקודה על הגרף. מ- $P$ מורידים אנכים לשתי האסימפטוטות, ונוצר מלבן שצלעותיו על האסימפטוטות. א. מצאו את האסימפטוטות. ב. מצאו את $P$ שעבורה היקף המלבן הקטן ביותר, ואת ההיקף. ג. האם ייתכן מלבן כזה שהיקפו $11$ ?

\begin{aligned}f(x) &= 2+\frac{9}{x-1} \\ \quad x>1\end{aligned}

לחצו «להתחיל». הצלעות של המלבן הן המרחקים מ- $P$ לאסימפטוטות.

א.

\begin{aligned}x &= 1 \\ \qquad y &= 2\end{aligned}

אנכית: המכנה מתאפס. אופקית: $\frac{9}{x-1}$ מתקרב ל- $0$ .

ב. צלעות

\begin{aligned}x-1 \\ \qquad f(x)-2 &= \frac{9}{x-1}\end{aligned}

המרחק מ- $P$ לישר $x=1$ , והמרחק מ- $P$ לישר $y=2$ .

ב. היקף

L(x)=2(x-1)+\frac{18}{x-1}

כל צלע פעמיים.

ב. נגזרת

\begin{aligned}L'(x) &= 2-\frac{18}{(x-1)^2} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ (x-1)^2 \\ &= 9 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4\end{aligned}

$x-1>0$ , ולכן $x-1=3$ .

ב. סימן

\begin{aligned}L'(2) &= 2-18<0 \\ \qquad L'(7) &= 2-\tfrac{1}{2}>0\end{aligned}

מינימום. $P=(4,\,5)$ .

ב. היקף

\begin{aligned}L(4) &= 6+6 \\ &= 12\end{aligned}

המלבן הוא ריבוע $3 \times 3$ .

ג.

11<12

לא ייתכן: $12$ הוא ההיקף הקטן ביותר.

שטח המלבן קבוע: $(x-1)\cdot\frac{9}{x-1}=9$ . רק ההיקף משתנה.

Faire l'activité sur elev

האם ייתכן מלבן כזה שהיקפו $20$ ? כמה מלבנים כאלה יש?

Voir la réponse et le corrigé

כן, ושניים. $L(x)$ יורדת עד $12$ ב- $x=4$ , ואז עולה ללא גבול. לכן הערך $20$ מתקבל פעם אחת משמאל ל- $x=4$ ופעם אחת מימין: $x-1=1$ או $x-1=9$ .

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה.

2 — משולש של משיק עם הצירים

המשיק לגרף f(x) = 27 − x² והצירים

P ברביע הראשון, והמשיק ב-P יוצר משולש עם הצירים.

Activité interactive

המשיק לגרף $f(x)=27-x^2$

הנקודה $P$ נמצאת על הגרף של $f(x)=27-x^2$ ברביע הראשון. המשיק לגרף ב- $P$ יוצר משולש עם הצירים. מצאו את שיעור ה- $x$ של $P$ שעבורו שטח המשולש הקטן ביותר, ואת השטח.

$x=3$ , שטח $108$

$x=3$ , שטח $216$

$x=\sqrt{27}$ , שטח $0$

$x=9$ , שטח $108$

$P=(t,\,27-t^2)$ . מהי משוואת המשיק?

$y=-2x+27$

Voir la réponse et le corrigé

זה $f'(x)$ בלי להציב $t$ . השיפוע תלוי בנקודה.

$y=-2tx+t^2+27$

Voir la réponse et le corrigé

$y-(27-t^2)=-2t(x-t)$ , ופותחים סוגריים.

y=-2tx+t^2+27

השיפוע $f'(t)=-2t$

מהם החיתוכים עם הצירים?

$x_0=\frac{t^2+27}{2t}$ ו- $y_0=t^2+27$

Voir la réponse et le corrigé

מציבים $y=0$ , ואחר כך $x=0$ .

$x_0=t$ ו- $y_0=27-t^2$

Voir la réponse et le corrigé

אלה השיעורים של $P$ , לא החיתוכים.

\begin{aligned}S(t) &= \frac{(t^2+27)^2}{4t} \\ \quad 0<t<\sqrt{27}\end{aligned}

חצי מכפלת הניצבים

מתי $S'(t)=0$ ?

$t^2+27=0$

Voir la réponse et le corrigé

לביטוי הזה אין פתרון: הוא חיובי תמיד.

$3t^2=27$ , כלומר $t=3$

Voir la réponse et le corrigé

רק הגורם $3t^2-27$ משנה סימן.

\begin{aligned}S'(t) &= \frac{(t^2+27)(3t^2-27)}{4t^2} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ t \\ &= 3\end{aligned}

מ- $-$ ל- $+$ : מינימום

מהו השטח הקטן ביותר?

$\frac{36^2}{12}=108$

Voir la réponse et le corrigé

$4t=12$ .

$\frac{36^2}{6}=216$

Voir la réponse et le corrigé

שכחתם את החצי של שטח משולש.

\begin{aligned}S(3) &= \frac{(9+27)^2}{12} \\ &= 108\end{aligned}

המשיק: $y=-6x+36$

Voir la réponse et le corrigé

$x=3$ , שטח $108$ . $216$ שוכח את החצי של שטח משולש. $x=\sqrt{27}$ הוא החיתוך של הפרבולה עם ציר ה- $x$ , ושם אין משולש בכלל. $x=9$ מחוץ לתחום.

Faire l'activité sur elev

האם ייתכן משולש כזה ששטחו $100$ ?

Voir la réponse et le corrigé

לא. $108$ הוא השטח הקטן ביותר, וכל משולש אחר גדול ממנו.

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה.

3 — משולש שקודקודיו על פרבולה

המשולש ABC: B ו-C על f(x) = 9 − x²

BC מקביל לציר ה-x, B ו-C מעל ציר ה-x, ו-A = (0, −3).

Activité interactive

הנקודות $B$ ו- $C$ נמצאות על הגרף $f(x)=9-x^2$ , מעל ציר ה- $x$ , ו- $BC$ מקביל לציר ה- $x$ . $A=(0,\,-3)$ , ו- $C=(t,\,9-t^2)$ כאשר $t>0$ . א. הביעו את שטח המשולש $ABC$ באמצעות $t$ . ב. מצאו את השטח הגדול ביותר. ג. האם ייתכן משולש כזה ששטחו $20$ ?

\begin{aligned}f(x) &= 9-x^2 \\ \quad A(0,-3) \\ \quad C(t,\,9-t^2)\end{aligned}

לחצו «להתחיל». $B$ היא השיקוף של $C$ בציר ה- $y$ .

א. אורכים

\begin{aligned}BC &= 2t \\ \qquad h &= (9-t^2)-(-3) \\ &= 12-t^2\end{aligned}

הבסיס בין $B(-t,\,9-t^2)$ ל- $C$ , והגובה מ- $A$ אל הישר $BC$ .

א. שטח

\begin{aligned}S(t) &= \tfrac{1}{2}\cdot 2t\cdot(12-t^2) \\ &= 12t-t^3 \\ \quad 0<t<3\end{aligned}

$B$ ו- $C$ מעל ציר ה- $x$ : $9-t^2>0$ .

ב. נגזרת

\begin{aligned}S'(t) &= 12-3t^2 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ t \\ &= 2\end{aligned}

בתוך התחום.

ב. סימן

\begin{aligned}S'(1) &= 9>0 \\ \qquad S'(2.5) &= -6.75<0\end{aligned}

מ- $+$ ל- $-$ : מקסימום.

ב. שטח

\begin{aligned}S(2) &= 24-8 \\ &= 16\end{aligned}

$C=(2,\,5)$ .

ג.

20>16

לא ייתכן.

הגובה נמדד מ- $A$ עד הישר $BC$ , ולכן מחסרים את שיעור ה- $y$ של $A$ : $5-(-3)=8$ .

Faire l'activité sur elev

למה התחום הוא $0<t<3$ ולא כל $t>0$ ?

Voir la réponse et le corrigé

הנתון אומר ש- $B$ ו- $C$ מעל ציר ה- $x$ , כלומר $9-t^2>0$ . בלי הנתון, הנוסחה $12t-t^3$ הייתה נותנת שטח שלילי כש- $t>\sqrt{12}$ , וזה סימן שהיא כבר לא מתארת את הצורה.

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — טרפז ישר זווית: האלכסון הקצר ביותר

AD ∥ BC, הזווית B ישרה, BC = 2AD, ושטח הטרפז 24 סמ״ר. AD = x.

Activité interactive

בטרפז $ABCD$ ( $AD \parallel BC$ ) הזווית $B$ ישרה, $BC=2AD$ , ושטח הטרפז $24$ סמ״ר. $AD=x$ . א. הביעו את $AB$ באמצעות $x$ . ב. מצאו את $x$ שעבורו האלכסון $AC$ הקצר ביותר, ואת אורכו. ג. האם ייתכן ש- $AC=7.9$ ?

\begin{aligned}AD &= x \\ \quad BC &= 2x \\ \quad S_{ABCD} &= 24\end{aligned}

לחצו «להתחיל». $AB$ הוא הגובה של הטרפז.

א.

\begin{aligned}\frac{(x+2x)\cdot AB}{2} &= 24 \ \Rightarrow \ AB \\ &= \frac{16}{x}\end{aligned}

שטח טרפז: סכום הבסיסים כפול הגובה, חלקי 2.

ב. פיתגורס

\begin{aligned}AC^2 &= AB^2+BC^2 \\ &= \frac{256}{x^2}+4x^2\end{aligned}

משפט פיתגורס במשולש $ABC$ , שבו הזווית $B$ ישרה.

ב. נגזרת

\begin{aligned}D(x) &= 4x^2+\frac{256}{x^2} \\ \qquad D'(x) &= 8x-\frac{512}{x^3} \\ &= 0\end{aligned}

ממזערים את $AC^2$ .

ב. חשודה

\begin{aligned}x^4 &= 64 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\sqrt{2}\end{aligned}

$x>0$ . $D'(2)=-48<0$ ו- $D'(4)=24>0$ : מינימום.

ב. אורך

\begin{aligned}AC^2 &= 32+32 \\ &= 64 \ \Rightarrow \ AC \\ &= 8\end{aligned}

$AD=2\sqrt{2}$ , $BC=4\sqrt{2}$ ו- $AB=4\sqrt{2}$ .

ג.

7.9<8

לא ייתכן: $8$ הוא האורך הקטן ביותר.

את $x^4=64$ פותרים בשני שלבים: $x^2=8$ , ואז $x=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$ .

Faire l'activité sur elev

ב- $x=2\sqrt{2}$ יוצא $AB=BC$ . מה זה אומר על המשולש $ABC$ ?

Voir la réponse et le corrigé

$AB=BC=4\sqrt{2}$ , ולכן $ABC$ משולש ישר זווית שווה שוקיים, והאלכסון $AC$ הוא היתר: $AC=4\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=8$ .

השאלות התאומות: שאלות 4 ו-5 ברשימה למטה.

Exercices

Exercice 1

f(x) = 3 + 4/(x + 1) והאסימפטוטות

האסימפטוטות מקווקוות. P על הגרף, והמלבן בין P לאסימפטוטות.

נתונה $f(x)=3+\frac{4}{x+1}$ בתחום $x>-1$ . $P$ נקודה על הגרף, ומ- $P$ מורידים אנכים לשתי האסימפטוטות, כמו בשרטוט. מצאו את $P$ שעבורה היקף המלבן שנוצר הקטן ביותר, ואת ההיקף.

שיעור ה- $x$ של $P$ : ____ , ההיקף הקטן ביותר: ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : שיעור ה- $x$ של $P$ : 1 , ההיקף הקטן ביותר: 8

Corrigé :

\begin{aligned}x &= -1 \\ \qquad y &= 3\end{aligned}

האסימפטוטות

L(x)=2(x+1)+\frac{8}{x+1}

הצלעות $x+1$ ו- $\frac{4}{x+1}$

\begin{aligned}L'(x) &= 2-\frac{8}{(x+1)^2} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x+1 \\ &= 2 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1\end{aligned}

מ- $-$ ל- $+$ : מינימום

\begin{aligned}L(1) &= 4+4 \\ &= 8\end{aligned}

ריבוע $2 \times 2$ , ו- $P=(1,\,5)$

המרחק מ- $P$ לאסימפטוטה $x=-1$ הוא $x+1$ , לא $x$ . מי שכותב $x$ מקבל $P$ אחרת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

המשיק לגרף f(x) = 108 − x² והצירים

P ברביע הראשון, והמשיק ב-P יוצר משולש עם הצירים.

הנקודה $P$ נמצאת על הגרף של $f(x)=108-x^2$ ברביע הראשון. המשיק לגרף ב- $P$ יוצר משולש עם הצירים, כמו בשרטוט. מהו השטח הקטן ביותר של המשולש?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 864

Corrigé :

y=-2tx+t^2+108

המשיק ב- $(t,\,108-t^2)$

S(t)=\frac{(t^2+108)^2}{4t}

החיתוכים $\frac{t^2+108}{2t}$ ו- $t^2+108$

\begin{aligned}S'(t) &= \frac{(t^2+108)(3t^2-108)}{4t^2} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ t \\ &= 6\end{aligned}

מ- $-$ ל- $+$ : מינימום

\begin{aligned}S(6) &= \frac{144^2}{24} \\ &= 864\end{aligned}

השטח

אותו מבנה כמו ב- $27-x^2$ : המינימום ב- $t^2=\frac{c}{3}$ . בלי החצי יוצא $1728$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

המשולש ABC: B ו-C על f(x) = 20 − x²

BC מקביל לציר ה-x, B ו-C מעל ציר ה-x, ו-A = (0, −7).

הנקודות $B$ ו- $C$ נמצאות על הגרף $f(x)=20-x^2$ , מעל ציר ה- $x$ , ו- $BC$ מקביל לציר ה- $x$ . $A=(0,\,-7)$ , כמו בשרטוט. מהו השטח הגדול ביותר של המשולש $ABC$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 54

Corrigé :

\begin{aligned}BC &= 2t \\ \qquad h &= (20-t^2)-(-7) \\ &= 27-t^2\end{aligned}

$C=(t,\,20-t^2)$

\begin{aligned}S(t) &= t(27-t^2) \\ &= 27t-t^3 \\ \quad 0<t<\sqrt{20}\end{aligned}

השטח והתחום

\begin{aligned}S'(t) &= 27-3t^2 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ t \\ &= 3\end{aligned}

מ- $+$ ל- $-$ : מקסימום

\begin{aligned}S(3) &= 3\cdot 18 \\ &= 54\end{aligned}

השטח

מי שלוקח גובה $20-t^2$ שכח ש- $A$ מתחת לציר ה- $x$ . הגובה נמדד עד $A$ , ולכן מוסיפים $7$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

AD ∥ BC, הזווית B ישרה, BC = 2AD, ושטח הטרפז 54 סמ״ר. AD = x.

בטרפז $ABCD$ ( $AD \parallel BC$ ) הזווית $B$ ישרה, $BC=2AD$ , ושטח הטרפז $54$ סמ״ר. $AD=x$ , כמו בשרטוט. מהו האורך הקטן ביותר של האלכסון $AC$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 12

Corrigé :

\begin{aligned}\frac{3x\cdot AB}{2} &= 54 \ \Rightarrow \ AB \\ &= \frac{36}{x}\end{aligned}

שטח טרפז

AC^2=\frac{1296}{x^2}+4x^2

משפט פיתגורס במשולש $ABC$

\begin{aligned}D'(x) &= 8x-\frac{2592}{x^3} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x^4 \\ &= 324 \ \Rightarrow \ x^2 \\ &= 18\end{aligned}

מינימום

\begin{aligned}AC^2 &= 72+72 \\ &= 144 \ \Rightarrow \ AC \\ &= 12\end{aligned}

האורך

שוב $AB=BC$ במינימום: $AB=\frac{36}{\sqrt{18}}=\sqrt{72}=BC$ . מי שעונה $144$ שכח להוציא שורש.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

AD ∥ BC, הזווית B ישרה, BC = 2AD, ושטח הטרפז 54 סמ״ר. AD = x.

בטרפז $ABCD$ ( $AD \parallel BC$ ) הזווית $B$ ישרה, $BC=2AD$ , ושטח הטרפז $54$ סמ״ר, כמו בשרטוט. הוכיחו או הפריכו: ייתכן ש- $AC=11$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

\begin{aligned}AC^2 &= \frac{1296}{x^2}+4x^2 \ \Rightarrow \ AC^2_{\min} \\ &= 144\end{aligned}

המינימום ב- $x^2=18$

AC_{\min}=12

האלכסון הקצר ביותר

11<12

קטן מהמינימום

הטענה לא נכונה. כל אורך מעל $12$ כן מתקבל, ואפילו בשני טרפזים שונים.

Vérifier la réponse sur elev

1 — מלבן בין הגרף לאסימפטוטות

2 — משולש של משיק עם הצירים

3 — משולש שקודקודיו על פרבולה

4 — טרפז ישר זווית: האלכסון הקצר ביותר

Exercices

La suite se pratique sur elev