Série 1 — facile

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

עשר שאלות קצרות על כל הפרק: מלבן על הצירים ומתחת לגרף, מרחק מהיפרבולה, משולש של משיק, חלקה ליד קיר, מלבן במשולש וקטע אנכי. כל שאלה דורשת צעד אחד או שניים אחרי שהפונקציה כתובה.

לפני כל שאלה: מה המשתנה (xx או tt), מה הקשר שנותן את האורך השני, ומה התחום?

Exercices

Exercice 1

מלבן בין הצירים לגרף y = 16/x
OAPB0123456789101234567891011xy
P על הגרף ברביע הראשון. A על ציר ה-x ו-B על ציר ה-y.

הנקודה PP נמצאת על הגרף y=16xy=\frac{16}{x} ברביע הראשון, ו-OAPBOAPB מלבן ששתי צלעותיו על הצירים, כמו בשרטוט. מהו ההיקף הקטן ביותר של המלבן?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 16

Corrigé :

L(x)=2x+32xL(x)=2x+\frac{32}{x}

היקף: 2x+2⋅16x2x+2\cdot\frac{16}{x}

L′(x)=2−32x2=0 ⇒ x=4\begin{aligned}L'(x) &= 2-\frac{32}{x^2} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4\end{aligned}

מ-−- ל-++: מינימום

L(4)=8+8=16\begin{aligned}L(4) &= 8+8 \\ &= 16\end{aligned}

ריבוע 4×44 \times 4

מי שכותב x+16xx+\frac{16}{x} מחשב חצי היקף ועונה 88.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

מלבן מתחת לגרף f(x) = 10/(x² + 1)
PQ-5-4-3-2-1012345246810xy
P ו-Q על הגרף, ושני הקודקודים האחרים על ציר ה-x. P = (x, f(x)).

הקודקודים PP ו-QQ של מלבן נמצאים על הגרף f(x)=10x2+1f(x)=\frac{10}{x^2+1}, ושני הקודקודים האחרים על ציר ה-xx, כמו בשרטוט. P=(x, f(x))P=(x,\,f(x)) ו-x>0x>0. מהי פונקציית השטח?

  1. S(x)=10xx2+1S(x)=\frac{10x}{x^2+1}
  2. S(x)=20xx2+1S(x)=\frac{20x}{x^2+1}
  3. S(x)=20x2x+1S(x)=\frac{20x}{2x+1}
  4. S(x)=20x2+1S(x)=\frac{20}{x^2+1}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B S(x)=20xx2+1S(x)=\frac{20x}{x^2+1}

Corrigé :

S(x)=2x⋅10x2+1S(x)=2x\cdot\frac{10}{x^2+1}

בסיס 2x2x כפול גובה f(x)f(x)

=20xx2+1=\frac{20x}{x^2+1}

מכפילים את המונה

הנכונה: 20xx2+1\frac{20x}{x^2+1}. 10xx2+1\frac{10x}{x^2+1} לוקח בסיס xx בלבד, ו-20x2+1\frac{20}{x^2+1} שכח את xx.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

מלבן מתחת לגרף f(x) = 10/(x² + 1)
PQ-5-4-3-2-1012345246810xy
P ו-Q על הגרף, ושני הקודקודים האחרים על ציר ה-x. P = (x, f(x)).

הקודקודים PP ו-QQ של מלבן נמצאים על הגרף f(x)=10x2+1f(x)=\frac{10}{x^2+1}, ושני הקודקודים האחרים על ציר ה-xx, כמו בשרטוט. מהו השטח הגדול ביותר של המלבן?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 10

Corrigé :

S(x)=20xx2+1x>0\begin{aligned}S(x) &= \frac{20x}{x^2+1} \\ \quad x>0\end{aligned}

פונקציית השטח

S′(x)=20(1−x2)(x2+1)2=0 ⇒ x=1\begin{aligned}S'(x) &= \frac{20(1-x^2)}{(x^2+1)^2} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1\end{aligned}

Dérivée d’un quotient (נגזרת של מנה)

S(1)=202=10\begin{aligned}S(1) &= \frac{20}{2} \\ &= 10\end{aligned}

מ-++ ל-−-: מקסימום

השטח הגדול ביותר 1010, והמלבן 2×52 \times 5. x=−1x=-1 נפסל: xx הוא חצי בסיס.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

המרחק מ-O לנקודה P על y = 2/x
OP0123456123456xy
P נקודה כללית על הגרף ברביע הראשון.

הנקודה PP נמצאת על הגרף y=2xy=\frac{2}{x} ברביע הראשון, כמו בשרטוט. מהו המרחק הקטן ביותר בין PP לבין ראשית הצירים?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

D(x)=x2+4x2D(x)=x^2+\frac{4}{x^2}

ריבוע המרחק

D′(x)=2x−8x3=0 ⇒ x4=4 ⇒ x2=2\begin{aligned}D'(x) &= 2x-\frac{8}{x^3} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x^4 \\ &= 4 \ \Rightarrow \ x^2 \\ &= 2\end{aligned}

x>0x>0

D=2+2=4 ⇒ d=2\begin{aligned}D &= 2+2 \\ &= 4 \ \Rightarrow \ d \\ &= 2\end{aligned}

מינימום

גוזרים את d2d^2, ובסוף מוציאים שורש. מי שעונה 44 עצר בריבוע המרחק.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

המשיק לגרף y = 4/x בנקודה שבה x = 1
P012345123456789xy
המשיק בנקודה (1, 4).

המשיק לגרף y=4xy=\frac{4}{x} בנקודה שבה x=1x=1 יוצר משולש עם הצירים, כמו בשרטוט. מהו שטח המשולש?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 8

Corrigé :

f(1)=4f′(1)=−4\begin{aligned}f(1) &= 4 \\ \qquad f'(1) &= -4\end{aligned}

הנקודה והשיפוע

y=−4x+8y=-4x+8

המשיק

x0=2y0=8 ⇒ S=12⋅2⋅8=8\begin{aligned}x_0 &= 2 \\ \qquad y_0 &= 8 \ \Rightarrow \ S \\ &= \tfrac{1}{2}\cdot 2\cdot 8 \\ &= 8\end{aligned}

החיתוכים והשטח

בכל נקודה על y=4xy=\frac{4}{x} יוצא אותו שטח: 2⋅4=82\cdot 4=8. בלי החצי יוצא 1616.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

ABCD
הקטע המודגש AD הוא הקיר. שטח החלקה 50 מ״ר, ו-AB = CD = x.

חלקה מלבנית ABCDABCD צמודה לקיר ADAD, ושטחה 5050 מ״ר. גודרים את שלוש הצלעות האחרות, ו-AB=CD=xAB=CD=x, כמו בשרטוט. מהו אורך הגדר הקטן ביותר (במטרים)?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 20

Corrigé :

L(x)=2x+50xL(x)=2x+\frac{50}{x}

BC=50xBC=\frac{50}{x}

L′(x)=2−50x2=0 ⇒ x=5\begin{aligned}L'(x) &= 2-\frac{50}{x^2} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 5\end{aligned}

מינימום

L(5)=10+10=20\begin{aligned}L(5) &= 10+10 \\ &= 20\end{aligned}

BC=10BC=10

הגדר המינימלית: 5+10+55+10+5. הצלע המקבילה לקיר יוצאת כפולה מהניצבת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

CABDEF
CA = 8, CB = 4, CD = x. E על היתר AB.

במשולש ABCABC הזווית CC ישרה, CA=8CA=8 ו-CB=4CB=4. המלבן CDEFCDEF בנוי כך ש-EE על היתר ABAB, כמו בשרטוט, ו-CD=xCD=x. מהו השטח הגדול ביותר של המלבן?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 8

Corrigé :

DE=4(8−x)8=8−x2\begin{aligned}DE &= \frac{4(8-x)}{8} \\ &= \frac{8-x}{2}\end{aligned}

דמיון המשולשים ADEADE ו-ACBACB (ז.ז)

S(x)=x(8−x)2S′(x)=4−x=0 ⇒ x=4\begin{aligned}S(x) &= \frac{x(8-x)}{2} \\ \qquad S'(x) &= 4-x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4\end{aligned}

מקסימום

S(4)=4⋅42=8\begin{aligned}S(4) &= \frac{4\cdot 4}{2} \\ &= 8\end{aligned}

חצי משטח המשולש

שטח המשולש 1616, והמלבן הגדול ביותר חצי ממנו.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

הקטע האנכי AB בין y = 10 − x לבין y = 9/x
ABfg0123456789101234567891011xy
A על הישר g, ו-B על הגרף של f, באותו x.

נתונים f(x)=9xf(x)=\frac{9}{x} ו-g(x)=10−xg(x)=10-x. ישר המקביל לציר ה-yy חותך את gg ב-AA ואת ff ב-BB, בין שתי נקודות החיתוך של הגרפים, כמו בשרטוט. מהו האורך הגדול ביותר של ABAB?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

9x=10−x ⇒ x=1 x=9\begin{aligned}\frac{9}{x} &= 10-x \ \Rightarrow \ x \\ &= 1 \\ \ x &= 9\end{aligned}

נקודות החיתוך

AB(x)=10−x−9xAB′(x)=−1+9x2\begin{aligned}AB(x) &= 10-x-\frac{9}{x} \\ \qquad AB'(x) &= -1+\frac{9}{x^2}\end{aligned}

העליון פחות התחתון

x=3 ⇒ AB=10−3−3=4\begin{aligned}x &= 3 \ \Rightarrow \ AB \\ &= 10-3-3 \\ &= 4\end{aligned}

מקסימום

בין נקודות החיתוך הישר מעל ההיפרבולה, ולכן g−fg-f.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

המשיק לגרף y = 3 − x² והצירים
P-0.500.511.522.533.50.511.522.533.544.5xy
P ברביע הראשון, והמשיק ב-P יוצר משולש עם הצירים.

הנקודה PP נמצאת על הגרף f(x)=3−x2f(x)=3-x^2 ברביע הראשון. המשיק ב-PP יוצר משולש עם הצירים, כמו בשרטוט. מהו השטח הקטן ביותר של המשולש?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

y=−2tx+t2+3y=-2tx+t^2+3

המשיק ב-(t, 3−t2)(t,\,3-t^2)

S(t)=(t2+3)24tS′(t)=(t2+3)(3t2−3)4t2\begin{aligned}S(t) &= \frac{(t^2+3)^2}{4t} \\ \qquad S'(t) &= \frac{(t^2+3)(3t^2-3)}{4t^2}\end{aligned}

השטח ונגזרתו

S(1)=164=4\begin{aligned}S(1) &= \frac{16}{4} \\ &= 4\end{aligned}

t=1t=1: מינימום

המשיק ב-(1, 2)(1,\,2) הוא y=−2x+4y=-2x+4, והמשולש 2×42 \times 4.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

סדרו את שלבי הפתרון של בעיית קיצון שבה קודקוד נע על גרף.

  • בודקים את סוג הקיצון בטבלת סימנים, ובתחום סגור גם את הקצוות
  • גוזרים ומשווים לאפס
  • כותבים את הנקודה על הגרף: P=(x, f(x))P=(x,\,f(x))
  • מבטאים את הגודל המבוקש כפונקציה של xx
  • עונים על מה שנשאל: הנקודה, xx או הערך
  • קובעים את התחום של xx
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : כותבים את הנקודה על הגרף: P=(x, f(x))P=(x,\,f(x)) · מבטאים את הגודל המבוקש כפונקציה של xx · קובעים את התחום של xx · גוזרים ומשווים לאפס · בודקים את סוג הקיצון בטבלת סימנים, ובתחום סגור גם את הקצוות · עונים על מה שנשאל: הנקודה, xx או הערך

Corrigé :

P=(x, f(x)) → S(x) → S′(x)=0\begin{aligned}P &= (x,\,f(x)) \ \to \ S(x) \ \to \ S'(x) \\ &= 0\end{aligned}

מהצורה לפונקציה, ומהפונקציה לנגזרת

התחום בא לפני הגזירה: הוא קובע אילו פתרונות של המשוואה נשארים.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe