Limites de la prédiction et pièges · Corrélation et régression · Kita יא

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

בשבעה ימי קיץ רשם מוכר גלידה בטיילת את הטמפרטורה ואת מספר הגלידות שמכר. הטמפרטורות היו בין $24°$ ל- $34°$ , ו- $r \approx 0.98$ . קו הרגרסיה שיצא: $y=12x-180$ . מה הקו מנבא ליום חורף של $10°$ ?

טמפרטורה וגלידות — 7 ימי קיץ, והקו ממשיך שמאלה

הנתונים נמצאים רק בין הקווים

24°

ו-

34°

. משמאל להם הקו ממשיך, אבל אין שם אף נקודה.

חשבו את הניבוי ל- $10°$ . האם הוא הגיוני?

Voir la réponse et le corrigé

$12 \cdot 10-180=-60$ גלידות: מספר שלילי, וזה בלתי אפשרי. הקו נבנה מימים של $24°$ עד $34°$ , ואין לנו מידע על מה שקורה מחוץ לתחום. ניבוי מחוץ לתחום הנתונים נקרא אקסטרפולציה, והוא לא אמין.

ניבוי רק בתוך תחום הנתונים

ניבוי בתוך תחום ה- $x$ של הנתונים הוא סביר, במיוחד כש- $|r|$ קרוב ל- $1$ . ניבוי מחוץ לתחום מניח שהמגמה ממשיכה בלי שינוי, ושום דבר בנתונים לא מבטיח את זה. וגם בתוך התחום, הקו נותן ערך צפוי, לא ערך מדויק.

מתאם אינו סיבתיות

בחודשים שבהם נמכרות יותר גלידות נמכרים גם יותר מזגנים. המתאם בין שני המספרים חיובי וחזק. האם הגלידה גורמת לקנות מזגנים? לא. שני המשתנים עולים בגלל גורם שלישי: החום. מתאם חזק אומר שהמשתנים משתנים יחד. הוא לא אומר מי גורם למי, ולא אומר שאחד גורם לשני.

נמצא $r=0.9$ בין מספר קרמי ההגנה מהשמש שנמכרו בחנות בכל שבוע לבין מספר המבקרים בחוף הים הסמוך. האם אפשר להסיק שמכירת קרמים מביאה אנשים לחוף?

Voir la réponse et le corrigé

לא. מזג אוויר חם ושמשי מגדיל את שני המספרים. מתאם מראה שהמשתנים «נעים יחד»; כדי לדעת מה גורם למה צריך ניסוי, ולא דיאגרמת פיזור.

נקודה חריגה

נקודה אחת שהופכת את הסימן

ארבעה שחקני כדורסל: שעות אימון בשבוע ( $x$ ) וקליעות מתוך $10$ ( $y$ ): $(1,\,2)$ , $(2,\,3)$ , $(3,\,5)$ , $(4,\,6)$ . שחקן חמישי, שנפצע, התאמן $8$ שעות וקלע רק $1$ .

r \approx 0.99

ארבעת השחקנים: מתאם חיובי חזק מאוד

r \approx -0.28

עם השחקן החמישי: המתאם שלילי

(8,\,1)

נקודה אחת, רחוקה מכל השאר, משנה את $r$ לגמרי

לפני כל חישוב, הסתכלו בדיאגרמה. נקודה חריגה יכולה להיות טעות רישום, או מקרה מיוחד. מחליטים עליה בהקשר של השאלה, ולא מוחקים אותה רק כי היא מקלקלת את התוצאה.

$r=0$ אינו «אין קשר»

קשר מלא ו- $r=0$

הנקודות: $(-2,\,4)$ , $(-1,\,1)$ , $(0,\,0)$ , $(1,\,1)$ , $(2,\,4)$ . כל נקודה מקיימת $y=x^2$ בדיוק.

\begin{aligned}\bar{x} &= 0 \qquad \bar{y} \\ &= \frac{10}{5} \\ &= 2\end{aligned}

הממוצעים

y-\bar{y}:\ 2,\ -1,\ -2,\ -1,\ 2

ההפרשים של $y$

(-2)(2)+(-1)(-1)+0+(1)(-1)+(2)(2)=0

סכום המכפלות

r=0

ובכל זאת $y$ נקבע לגמרי לפי $x$

הנקודות של y = x² — קשר מלא, ו-r = 0

$r$ מודד רק קשר ליניארי, קשר של קו ישר. בפרבולה הצד השמאלי יורד והצד הימני עולה, והתרומות מבטלות זו את זו. לכן לפני שמסיקים «אין קשר» מ- $r$ קרוב ל- $0$ , מסתכלים בדיאגרמה.

שינוי יחידות

x \to ax+b ,\quad a>0

$r$ לא משתנה. למשל מס״מ למטרים, או ממעלות צלזיוס לפרנהייט

x \to ax+b ,\quad a<0

$r$ מחליף סימן, והערך המוחלט שלו לא משתנה

m

השיפוע כן משתנה: הוא נמדד ביחידות של $y$ לכל יחידה אחת של $x$

הגובה נמדד בס״מ, המשקל בק״ג, ו- $r=0.7$ . מעבירים את הגובה למטרים. מה $r$ החדש? ומה קורה לשיפוע של קו הרגרסיה של המשקל לפי הגובה?

Voir la réponse et le corrigé

$r=0.7$ , בלי שינוי. השיפוע גדל פי $100$ : עלייה של מטר אחד היא עלייה של $100$ ס״מ, ולכן היא מוסיפה פי $100$ ק״ג בניבוי.

שלוש מסקנות שגויות.

y(10)=-60

אקסטרפולציה: הקו נבנה מ- $24°$ עד $34°$ . מחוץ לתחום אין לו תוקף.

r=0.9 \ \Rightarrow \ x \to y

מתאם חזק אינו סיבה. ייתכן גורם שלישי שמשפיע על שניהם.

r=0

« $r=0$ ולכן אין קשר» היא מסקנה שגויה. $r=0$ אומר רק שאין קשר ליניארי. $y=x^2$ הוא קשר מלא עם $r=0$ .

Exercices

Exercice 1

קו רגרסיה נבנה מנתונים של תלמידים שלמדו בין $1$ ל- $7$ שעות, ו- $r=0.95$ . לאיזה ניבוי הכי סביר לסמוך?

לכולם באותה מידה, כי $r=0.95$
לתלמיד שלמד $12$ שעות
לתלמיד שלמד $20$ שעות
לתלמיד שלמד $5.5$ שעות

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D לתלמיד שלמד $5.5$ שעות

Corrigé :

1 \leq 5.5 \leq 7

בתוך תחום הנתונים

12 ,\ 20 > 7

אקסטרפולציה

הנכונה: $5.5$ שעות. $r$ גבוה מראה שהקו מתאים לנתונים שיש לנו, ולא לנתונים מחוץ לתחום. הניבוי ל- $20$ שעות הוא ציון $4.75 \cdot 20+56=151$ : יותר מ- $100$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

הנקודות: $(-3,\,9)$ , $(-1,\,1)$ , $(1,\,1)$ , $(3,\,9)$ . חשבו את $r$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0

Corrigé :

\begin{aligned}\bar{x} &= 0 \qquad \bar{y} \\ &= 5\end{aligned}

הממוצעים

y-\bar{y}:\ 4,\ -4,\ -4,\ 4

ההפרשים של $y$

-12+4-4+12=0

סכום המכפלות

\begin{aligned}r &= \frac{0}{N \cdot S_x \cdot S_y} \\ &= 0\end{aligned}

המונה $0$

$r=0$ , אף שכל הנקודות מקיימות $y=x^2$ . $r$ מודד רק קשר של קו ישר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נמצא $r=0.92$ בין מספר המזגנים שנמכרו בכל חודש לבין מספר הגלידות שנמכרו באותו חודש. לכן מכירת מזגנים מגדילה את מכירות הגלידה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

x \leftarrow \text{חום} \rightarrow y

גורם שלישי משפיע על שניהם

לא נכון. המתאם חזק, אבל הוא לא מראה סיבה. החום מגדיל גם את מכירת המזגנים וגם את מכירת הגלידות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

בין הגובה (בס״מ) לבין המשקל (בק״ג) של 20 תלמידים $r=0.7$ . מעבירים את כל הגבהים למטרים. מה $r$ החדש?

$0.7$
$70$
$-0.7$
$0.007$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $0.7$

Corrigé :

x \to 0.01x

כפל בקבוע חיובי

r \to r

הצורה של הענן לא משתנה

הנכונה: $0.7$ . $r$ הוא מספר בלי יחידות. $70$ בכלל לא אפשרי: $r$ תמיד בין $-1$ ל- $1$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

השיפוע של קו הרגרסיה של המשקל (ק״ג) לפי הגובה (ס״מ) הוא $0.9$ . מה יהיה השיפוע אם הגובה יימדד במטרים?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 90

Corrigé :

1 \ \text{מ׳}=100 \ \text{ס״מ}

מטר אחד הוא $100$ ס״מ

0.9 \cdot 100=90

ק״ג למטר

השיפוע הוא $90$ ק״ג למטר. $r$ לא השתנה, אבל השיפוע תלוי ביחידות. מי שענה $0.009$ חילק במקום לכפול.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

קו הרגרסיה של מספר הבקבוקים שנמכרו ( $y$ ) לפי הטמפרטורה ( $x$ , במעלות צלזיוס) הוא בעל שיפוע $18$ . מעבירים את הטמפרטורה למעלות פרנהייט: $F=1.8C+32$ . מה השיפוע החדש?

$18$
$32.4$
$50$
$10$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $10$

Corrigé :

\Delta F=1.8 \cdot \Delta C

מעלת צלזיוס אחת היא $1.8$ מעלות פרנהייט

\frac{18}{1.8}=10

בקבוקים לכל מעלת פרנהייט

הנכונה: $10$ . מעלת פרנהייט קטנה ממעלת צלזיוס, ולכן לכל מעלה נוספים פחות בקבוקים. $32.4=18 \cdot 1.8$ כפל במקום לחלק. ה- $32$ לא משפיע על השיפוע.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

שעות אימון וקליעות מתוך 10 — 5 שחקנים

בדיאגרמה: שעות אימון וקליעות של חמישה שחקנים. מה יקרה ל- $r$ אם נוציא את השחקן שהתאמן $8$ שעות?

$r$ יגדל ויהיה קרוב ל- $1$
$r$ לא ישתנה
$r$ יקטן
$r$ יהיה $0$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $r$ יגדל ויהיה קרוב ל- $1$

Corrigé :

r \approx -0.28

עם הנקודה החריגה

r \approx 0.99

בלעדיה: ארבע הנקודות כמעט על קו עולה

הנכונה: $r$ יגדל ויהיה קרוב ל- $1$ . נקודה חריגה אחת יכולה לשנות גם את הסימן של $r$ . לכן מסתכלים בדיאגרמה לפני שמחשבים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

בין שעות הלימוד (מ- $1$ עד $7$ ) לבין הציון נמצא $r=0.95$ , והקו $y=4.75x+56$ . מיינו כל מסקנה.

מותר להסיק
אסור להסיק

הלימוד הוא הסיבה היחידה לציון
המתאם בין שעות הלימוד לציון חיובי וחזק
הציון הצפוי של תלמיד שלמד $15$ שעות הוא $127.25$
הציון הצפוי של תלמיד שלמד $5$ שעות הוא $79.75$
כל תלמיד שילמד עוד שעה יקבל בדיוק עוד $4.75$ נקודות
לתלמידים שלמדו יותר היו בדרך כלל ציונים גבוהים יותר

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : לתלמידים שלמדו יותר היו בדרך כלל ציונים גבוהים יותר — מותר להסיק · המתאם בין שעות הלימוד לציון חיובי וחזק — מותר להסיק · הציון הצפוי של תלמיד שלמד $5$ שעות הוא $79.75$ — מותר להסיק · כל תלמיד שילמד עוד שעה יקבל בדיוק עוד $4.75$ נקודות — אסור להסיק · הציון הצפוי של תלמיד שלמד $15$ שעות הוא $127.25$ — אסור להסיק · הלימוד הוא הסיבה היחידה לציון — אסור להסיק

Corrigé :

4.75 \cdot 5+56=79.75

בתוך התחום: ניבוי מותר

4.75 \cdot 15+56=127.25 > 100

מחוץ לתחום: אקסטרפולציה

שלוש המסקנות האסורות הן שלוש המלכודות: «בדיוק» במקום «בממוצע», אקסטרפולציה, וסיבה במקום מתאם.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

במבחן הקלדה נמצא $r=-0.6$ בין מספר השגיאות ( $x$ ) לבין מהירות ההקלדה ( $y$ ). הציון במבחן נקבע לפי $20-x$ . מהו מקדם המתאם בין הציון לבין מהירות ההקלדה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.6

Corrigé :

x \to -x+20

כפל בקבוע שלילי, ואחר כך חיבור

r \to -r=0.6

הסימן מתהפך, הערך המוחלט לא משתנה

$r=0.6$ . ציון גבוה פירושו מעט שגיאות, ולכן הכיוון מתהפך. החוזק לא משתנה: $|r|=0.6$ .

Vérifier la réponse sur elev

ניבוי רק בתוך תחום הנתונים

מתאם אינו סיבתיות

נקודה חריגה

r=0r=0r=0 אינו «אין קשר»

שינוי יחידות

Exercices

La suite se pratique sur elev

$r=0$ אינו «אין קשר»