La droite de régression et la prédiction

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

תלמיד שישי למד 66 שעות. איזה ציון נצפה לו? הנקודות אינן על קו אחד, אבל אפשר להעביר ביניהן את הקו המתאים ביותר. הוא נקרא קו הרגרסיה, ובעזרתו מנבאים.

שעות לימוד וציון — 5 תלמידים, וקו הרגרסיה
(4, 75)x = 6012345678556065707580859095שעות לימודציון
הקו עובר בנקודת הממוצעים (xˉ, yˉ)=(4, 75)(\bar{x},\,\bar{y})=(4,\,75). כמה נקודות מעליו, וכמה מתחתיו.

לפי הקו בדיאגרמה: איזה ציון צפוי, בערך, לתלמיד שלמד 66 שעות?

Voir la réponse et le corrigé

בערך 8484 או 8585: עולים מ-x=6x=6 עד הקו וקוראים את ה-yy. החישוב המדויק, בהמשך, נותן 84.584.5.

השיפוע והנקודה

m=r⋅SySxy−yˉ=m(x−xˉ)\begin{aligned}m &= r \cdot \frac{S_y}{S_x} \qquad\qquad y-\bar{y} \\ &= m(x-\bar{x})\end{aligned}

שני דברים קובעים את קו הרגרסיה. השיפוע mm מחושב מ-rr ומסטיות התקן, ולכן הסימן שלו הוא הסימן של rr. הנקודה (xˉ, yˉ)(\bar{x},\,\bar{y}) נמצאת תמיד על הקו. מציבים את שניהם במשוואה של ישר לפי שיפוע ונקודה, כמו בגאומטריה אנליטית.

קו הרגרסיה והניבוי

לחמשת התלמידים: xˉ=4\bar{x}=4, yˉ=75\bar{y}=75, Sx=2S_x=2, Sy=10S_y=10, r=0.95r=0.95. מצאו את קו הרגרסיה, וחזו את הציון של תלמיד שלמד 66 שעות.

m=0.95⋅102=4.75\begin{aligned}m &= 0.95 \cdot \frac{10}{2} \\ &= 4.75\end{aligned}

השיפוע

y−75=4.75(x−4)y-75=4.75(x-4)

ישר דרך נקודת הממוצעים

y=4.75x+56y=4.75x+56

75−4.75⋅4=75−19=5675-4.75 \cdot 4=75-19=56

y(6)=4.75⋅6+56=84.5\begin{aligned}y(6) &= 4.75 \cdot 6+56 \\ &= 84.5\end{aligned}

הניבוי לתלמיד שלמד 66 שעות

בקו y=4.75x+56y=4.75x+56: מה המשמעות של השיפוע 4.754.75 בהקשר של השאלה?

Voir la réponse et le corrigé

כל שעת לימוד נוספת מעלה את הציון הצפוי ב-4.754.75 נקודות, בממוצע. זו מגמה: היא לא מבטיחה לתלמיד מסוים עוד 4.754.75 נקודות.

שאלות הפוכות

yˉ=mxˉ+b\bar{y}=m\bar{x}+b

נתונים הקו ו-xˉ\bar{x}: מציבים ומקבלים את yˉ\bar{y}. או להפך: נתונים xˉ\bar{x}, yˉ\bar{y} ו-mm, ומוצאים את bb

Sy=m⋅SxrS_y=\frac{m \cdot S_x}{r}

נתונים הקו, rr ו-SxS_x: מבודדים את SyS_y

r=m⋅SxSyr=\frac{m \cdot S_x}{S_y}

נתונים הקו וסטיות התקן: מבודדים את rr

כשכל הערכים של yy משתנים

y→y+cy \to y+c

mm, SyS_y ו-rr לא משתנים. yˉ\bar{y} ו-bb גדלים ב-cc: הקו זז למעלה

y→k⋅y(k>0)y \to k \cdot y \quad (k>0)

yˉ\bar{y}, SyS_y, mm ו-bb מוכפלים ב-kk. rr לא משתנה

+6% ⇒ k=1.06+6\% \ \Rightarrow \ k=1.06

תוספת של אחוזים היא כפל, ולא חיבור

המורה הוסיפה לכל ציון 55 נקודות. הקו הקודם היה y=4.75x+56y=4.75x+56. מה הקו החדש, ומה rr החדש?

Voir la réponse et le corrigé

y=4.75x+61y=4.75x+61. השיפוע לא משתנה, כי כל הנקודות זזו 55 למעלה יחד. rr נשאר 0.950.95.

שלוש טעויות בקו הרגרסיה.

m=r⋅SxSym=r \cdot \frac{S_x}{S_y}
m=r⋅SySxm=r \cdot \frac{S_y}{S_x}

SyS_y במונה: השיפוע הוא «כמה yy לכל xx». בדיקה: 0.95⋅102=4.750.95 \cdot \frac{10}{2}=4.75.

b=yˉb=\bar{y}
b=yˉ−mxˉb=\bar{y}-m\bar{x}

הקו עובר בנקודה (xˉ, yˉ)(\bar{x},\,\bar{y}), ולא בנקודה (0, yˉ)(0,\,\bar{y}).

y→1.1y ⇒ r→1.1ry \to 1.1y \ \Rightarrow \ r \to 1.1r
y→1.1y ⇒ r→ry \to 1.1y \ \Rightarrow \ r \to r

rr אינו משתנה בכפל בקבוע חיובי. ו-rr גם לא יכול להיות גדול מ-11: 1.1⋅0.95>11.1 \cdot 0.95>1.

Exercices

Exercice 1

נתון: r=0.8r=0.8, Sx=2S_x=2, Sy=5S_y=5. מהו השיפוע של קו הרגרסיה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

m=r⋅SySx=0.8⋅52=2\begin{aligned}m &= r \cdot \frac{S_y}{S_x} \\ &= 0.8 \cdot \frac{5}{2} \\ &= 2\end{aligned}

הנוסחה מהנוסחאון

m=2m=2. מי שקיבל 0.320.32 הפך את השבר: 0.8⋅250.8 \cdot \frac{2}{5}.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

בדוכן הלימונדה: xˉ=6\bar{x}=6 שעות שמש, yˉ=30\bar{y}=30 כוסות, Sx=2S_x=2, Sy=8S_y=8, r=0.8r=0.8. מצאו את קו הרגרסיה y=mx+by=mx+b.

m=m= ____ , b=b= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : m=m= 3.2 , b=b= 10.8

Corrigé :

m=0.8⋅82=3.2\begin{aligned}m &= 0.8 \cdot \frac{8}{2} \\ &= 3.2\end{aligned}

השיפוע

y−30=3.2(x−6)y-30=3.2(x-6)

דרך (xˉ, yˉ)(\bar{x},\,\bar{y})

b=30−3.2⋅6=30−19.2=10.8\begin{aligned}b &= 30-3.2 \cdot 6 \\ &= 30-19.2 \\ &= 10.8\end{aligned}

החותך

הקו: y=3.2x+10.8y=3.2x+10.8. בכל שעת שמש נוספת נמכרות, בממוצע, עוד 3.23.2 כוסות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

קו הרגרסיה של דוכן הלימונדה הוא y=3.2x+10.8y=3.2x+10.8, ומספר שעות השמש בנתונים היה בין 33 ל-99. כמה כוסות צפויות להימכר ביום עם 88 שעות שמש?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 36.4

Corrigé :

y(8)=3.2⋅8+10.8=25.6+10.8=36.4\begin{aligned}y(8) &= 3.2 \cdot 8+10.8 \\ &= 25.6+10.8 \\ &= 36.4\end{aligned}

מציבים x=8x=8

הניבוי הוא 36.436.4 כוסות: ערך צפוי, ולכן הוא יכול להיות לא שלם. x=8x=8 נמצא בתוך תחום הנתונים, ולכן מותר לנבא.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

קו הרגרסיה של yy לפי xx הוא y=12x+20y=12x+20, ו-xˉ=5\bar{x}=5. מהו yˉ\bar{y}?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 80

Corrigé :

yˉ=12⋅5+20=80\begin{aligned}\bar{y} &= 12 \cdot 5+20 \\ &= 80\end{aligned}

הנקודה (xˉ, yˉ)(\bar{x},\,\bar{y}) על הקו

מציבים את xˉ\bar{x} במשוואת הקו. זה עובד רק בנקודת הממוצעים: לנקודה אחרת הקו נותן ניבוי, ולא ערך.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

קו הרגרסיה הוא y=12x+20y=12x+20, ונתון r=0.75r=0.75 ו-Sx=2S_x=2. מהי SyS_y?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 32

Corrigé :

12=0.75⋅Sy212=0.75 \cdot \frac{S_y}{2}

m=r⋅SySxm=r \cdot \frac{S_y}{S_x}

Sy=12⋅20.75=32\begin{aligned}S_y &= \frac{12 \cdot 2}{0.75} \\ &= 32\end{aligned}

מבודדים

Sy=32S_y=32. מי שכפל ב-0.750.75 במקום לחלק קיבל 1818.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

השיפוע של קו הרגרסיה הוא −1.5-1.5, ונתון Sx=4S_x=4 ו-Sy=10S_y=10. מהו rr?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -0.6

Corrigé :

r=m⋅SxSy=−1.5⋅410=−0.6\begin{aligned}r &= \frac{m \cdot S_x}{S_y} \\ &= \frac{-1.5 \cdot 4}{10} \\ &= -0.6\end{aligned}

מבודדים את rr

r=−0.6r=-0.6: מתאם שלילי בינוני. לשיפוע ול-rr תמיד אותו סימן.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

קו הרגרסיה הוא y=2.5x+30y=2.5x+30. מוסיפים 55 לכל ערך של yy. מה הקו החדש?

  1. y=12.5x+150y=12.5x+150
  2. y=2.5x+30y=2.5x+30
  3. y=7.5x+30y=7.5x+30
  4. y=2.5x+35y=2.5x+35
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D y=2.5x+35y=2.5x+35

Corrigé :

yˉ→yˉ+5,m→m\bar{y} \to \bar{y}+5 ,\quad m \to m

כל הנקודות זזות 55 למעלה

b→30+5=35b \to 30+5=35

החותך גדל ב-55

הנכונה: y=2.5x+35y=2.5x+35. חיבור לא משנה את SyS_y, ולכן גם לא את השיפוע. y=12.5x+150y=12.5x+150 היא תשובה של כפל ב-55, לא של חיבור.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

כל הערכים של yy גדלים ב-10%10\%. מה נכון?

  1. mm לא משתנה, ו-SyS_y גדלה פי 1.11.1
  2. mm, SyS_y ו-rr גדלים פי 1.11.1
  3. mm ו-SyS_y גדלים פי 1.11.1, ו-rr לא משתנה
  4. mm ו-SyS_y גדלים ב-0.10.1
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C mm ו-SyS_y גדלים פי 1.11.1, ו-rr לא משתנה

Corrigé :

y→1.1yy \to 1.1y

הגדלה באחוזים היא כפל

Sy→1.1Sym=r⋅1.1SySx=1.1m\begin{aligned}S_y \to 1.1S_y \quad m &= r \cdot \frac{1.1S_y}{S_x} \\ &= 1.1m\end{aligned}

השיפוע גדל יחד עם SyS_y

הנכונה: mm ו-SyS_y גדלים פי 1.11.1. rr לא משתנה: הצורה של הענן לא השתנתה, רק קנה המידה של yy.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

הנקודה (xˉ, yˉ)(\bar{x},\,\bar{y}) נמצאת תמיד על קו הרגרסיה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

y−yˉ=m(x−xˉ)y-\bar{y}=m(x-\bar{x})

מציבים x=xˉx=\bar{x}: y=yˉy=\bar{y}

נכון. זו הסיבה שאפשר למצוא את bb או את yˉ\bar{y} מתוך הקו. נקודה אחרת של הנתונים בדרך כלל לא על הקו.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

קו הרגרסיה הוא y=2.5x+30y=2.5x+30. מחסירים 2020 מכל ערך של yy. מהו החותך bb של הקו החדש?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 10

Corrigé :

y−20=2.5x+30−20y-20=2.5x+30-20

כל ניבוי קטן ב-2020

y=2.5x+10y=2.5x+10

השיפוע לא משתנה

b=10b=10. השיפוע נשאר 2.52.5: הזזה של כל הנקודות לא משנה את SyS_y, ולכן לא את mm.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe