Le coefficient de corrélation r

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

בשתי דיאגרמות המתאם חיובי. באחת הנקודות צמודות לקו, ובשנייה הן מפוזרות. «חזק» ו«חלש» הן מילים, והבגרות מבקשת מספר. המספר הזה הוא מקדם המתאם של פירסון, rr. הסתכלו קודם על הסימנים בדיאגרמה.

שעות לימוד וציון — 5 תלמידים, והממוצעים
x̄ = 4ȳ = 75++−−012345678556065707580859095שעות לימודציון
הקווים עוברים בממוצעים xˉ=4\bar{x}=4 ו-yˉ=75\bar{y}=75, ומחלקים את המישור לארבעה רביעים. בכל רביע כתוב הסימן של המכפלה (x−xˉ)(y−yˉ)(x-\bar{x})(y-\bar{y}).

לנקודה (7, 90)(7,\,90): מה הסימן של x−xˉx-\bar{x}, של y−yˉy-\bar{y} ושל המכפלה שלהם? ולנקודה (1, 60)(1,\,60)?

Voir la réponse et le corrigé

(7, 90)(7,\,90): 7−4=37-4=3 ו-90−75=1590-75=15, המכפלה 45>045>0. (1, 60)(1,\,60): −3-3 ו-−15-15, המכפלה 45>045>0. שתי הנקודות מתאימות למגמה עולה, ולכן הן תורמות תרומה חיובית ל-rr.

מה rr אומר

−1≤r≤1-1 \leq r \leq 1

תמיד. תוצאה מחוץ לתחום היא טעות חישוב

r>0r<0r>0 \quad r<0

הסימן הוא הכיוון: מתאם חיובי או שלילי

∣r∣→1|r| \to 1

הערך המוחלט הוא החוזק: קרוב ל-11 חזק, קרוב ל-00 חלש

r=1r=−1\begin{aligned}r &= 1 \quad r \\ &= -1\end{aligned}

מתאם מלא: כל הנקודות בדיוק על קו ישר

r=0r=0

אין קשר ליניארי. ייתכן קשר מסוג אחר

החישוב לפי הנוסחאון

r=(x1−xˉ)(y1−yˉ)+(x2−xˉ)(y2−yˉ)+⋯+(xN−xˉ)(yN−yˉ)N⋅Sx⋅Syr=\frac{(x_1-\bar{x})(y_1-\bar{y})+(x_2-\bar{x})(y_2-\bar{y})+\dots+(x_N-\bar{x})(y_N-\bar{y})}{N \cdot S_x \cdot S_y}

NN הוא מספר הזוגות, ו-SxS_x, SyS_y הן סטיות התקן של xx ושל yy. בנוסחאון סטיית התקן מחולקת ב-NN: Sx=(x1−xˉ)2+⋯+(xN−xˉ)2NS_x=\sqrt{\frac{(x_1-\bar{x})^2+\dots+(x_N-\bar{x})^2}{N}}. המונה הוא סכום המכפלות של ההפרשים מהממוצע, והוא שנותן ל-rr את הסימן.

חישוב rr: שעות לימוד וציון

חמישה תלמידים. שעות לימוד xx: 1, 3, 4, 5, 71,\ 3,\ 4,\ 5,\ 7. ציון yy: 60, 70, 80, 75, 9060,\ 70,\ 80,\ 75,\ 90.

xˉ=205=4yˉ=3755=75\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{20}{5} \\ &= 4 \qquad \bar{y} \\ &= \frac{375}{5} \\ &= 75\end{aligned}

הממוצעים

x−xˉ: −3, −1, 0, 1, 3y−yˉ: −15, −5, 5, 0, 15x-\bar{x}:\ -3,\ -1,\ 0,\ 1,\ 3 \qquad y-\bar{y}:\ -15,\ -5,\ 5,\ 0,\ 15

ההפרשים. בדיקה: כל שורה מסתכמת ב-00

Sx=9+1+0+1+95=4=2\begin{aligned}S_x &= \sqrt{\frac{9+1+0+1+9}{5}} \\ &= \sqrt{4} \\ &= 2\end{aligned}

סטיית התקן של xx

Sy=225+25+25+0+2255=100=10\begin{aligned}S_y &= \sqrt{\frac{225+25+25+0+225}{5}} \\ &= \sqrt{100} \\ &= 10\end{aligned}

סטיית התקן של yy

45+5+0+0+45=9545+5+0+0+45=95

סכום המכפלות של ההפרשים

r=955⋅2⋅10=0.95\begin{aligned}r &= \frac{95}{5 \cdot 2 \cdot 10} \\ &= 0.95\end{aligned}

מתאם חיובי חזק מאוד

בחישוב אחר יצא לתלמיד r=1.3r=1.3. מה אפשר לומר מיד?

Voir la réponse et le corrigé

יש טעות בחישוב. rr תמיד בין −1-1 ל-11. הטעויות הנפוצות: שכחו את NN במכנה, או לקחו את השונות במקום את סטיית התקן, בלי שורש.

במחשבון מדעי יש לפעמים שתי סטיות תקן: σn\sigma_n ו-sn−1s_{n-1}. הנוסחאון מחלק ב-NN, ולכן בוחרים ב-σn\sigma_n. בנוסחאון יש גם צורה שנייה: r=zx1zy1+⋯+zxNzyNNr=\frac{z_{x_1} z_{y_1}+\dots+z_{x_N} z_{y_N}}{N}, הממוצע של המכפלות של ציוני התקן. זה אותו מספר.

שלוש טעויות בחישוב rr.

r=952⋅10=4.75\begin{aligned}r &= \frac{95}{2 \cdot 10} \\ &= 4.75\end{aligned}
r=955⋅2⋅10=0.95\begin{aligned}r &= \frac{95}{5 \cdot 2 \cdot 10} \\ &= 0.95\end{aligned}

שכחו את NN במכנה. תוצאה גדולה מ-11 היא סימן אזהרה.

Sx=204S_x=\sqrt{\frac{20}{4}}
Sx=205S_x=\sqrt{\frac{20}{5}}

בנוסחאון מחלקים ב-N=5N=5, ולא ב-N−1N-1.

x1y1+x2y2+…x_1 y_1+x_2 y_2+\dots
(x1−xˉ)(y1−yˉ)+…(x_1-\bar{x})(y_1-\bar{y})+\dots

מכפילים את ההפרשים מהממוצע, ולא את הנתונים עצמם.

Exercices

Exercice 1

איזה מהמספרים הבאים אינו יכול להיות מקדם מתאם?

  1. 1.051.05
  2. 11
  3. −0.98-0.98
  4. 00
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A 1.051.05

Corrigé :

−1≤r≤1-1 \leq r \leq 1

התחום של rr

1.05>11.05>1

מחוץ לתחום

הנכונה: 1.051.05. גם 11 וגם −0.98-0.98 אפשריים: r=1r=1 הוא מתאם מלא, כשכל הנקודות על קו עולה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

איזה ערך של rr מתאר את המתאם החזק ביותר?

  1. 0.10.1
  2. −0.3-0.3
  3. 0.70.7
  4. −0.85-0.85
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D −0.85-0.85

Corrigé :

∣−0.85∣=0.85>0.7|-0.85|=0.85 > 0.7

משווים ערכים מוחלטים

הנכונה: −0.85-0.85. החוזק הוא ∣r∣|r|, והסימן הוא רק הכיוון. מי שבחר 0.70.7 חשב ש«חיובי» פירושו «חזק».

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

לששה זוגות של נתונים: Sx=2S_x=2, Sy=5S_y=5, וסכום המכפלות של ההפרשים מהממוצעים הוא 4848. חשבו את rr.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.8

Corrigé :

r=48N⋅Sx⋅Syr=\frac{48}{N \cdot S_x \cdot S_y}

הנוסחה

486⋅2⋅5=4860=0.8\begin{aligned}\frac{48}{6 \cdot 2 \cdot 5} &= \frac{48}{60} \\ &= 0.8\end{aligned}

מציבים N=6N=6

r=0.8r=0.8: מתאם חיובי חזק. מי שקיבל 4.84.8 שכח את NN במכנה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

לחמישה זוגות: r=−0.6r=-0.6, Sx=3S_x=3, Sy=4S_y=4. מהו סכום המכפלות (x1−xˉ)(y1−yˉ)+⋯+(x5−xˉ)(y5−yˉ)(x_1-\bar{x})(y_1-\bar{y})+\dots+(x_5-\bar{x})(y_5-\bar{y})?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -36

Corrigé :

סכום=r⋅N⋅Sx⋅Sy\text{סכום}=r \cdot N \cdot S_x \cdot S_y

מבודדים את המונה

=−0.6⋅5⋅3⋅4=−36=-0.6 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 4=-36

On remplace (מציבים)

הסכום שלילי, כמו rr: המונה הוא שנותן את הסימן. מי שענה 3636 איבד את הסימן.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

בדוכן לימונדה רשמו בחמישה ימים את מספר שעות השמש (xx) ואת מספר הכוסות שנמכרו (yy). xx: 3, 5, 6, 7, 93,\ 5,\ 6,\ 7,\ 9. yy: 18, 34, 30, 26, 4218,\ 34,\ 30,\ 26,\ 42. השלימו.

xˉ=\bar{x}= ____ , yˉ=\bar{y}= ____ , Sx=S_x= ____ , Sy=S_y= ____ , r=r= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : xˉ=\bar{x}= 6 , yˉ=\bar{y}= 30 , Sx=S_x= 2 , Sy=S_y= 8 , r=r= 0.8

Corrigé :

xˉ=305=6yˉ=1505=30\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{30}{5} \\ &= 6 \qquad \bar{y} \\ &= \frac{150}{5} \\ &= 30\end{aligned}

הממוצעים

x−xˉ: −3, −1, 0, 1, 3y−yˉ: −12, 4, 0, −4, 12x-\bar{x}:\ -3,\ -1,\ 0,\ 1,\ 3 \qquad y-\bar{y}:\ -12,\ 4,\ 0,\ -4,\ 12

ההפרשים

Sx=205=2Sy=144+16+0+16+1445=64=8\begin{aligned}S_x &= \sqrt{\frac{20}{5}} \\ &= 2 \qquad S_y \\ &= \sqrt{\frac{144+16+0+16+144}{5}} \\ &= \sqrt{64} \\ &= 8\end{aligned}

סטיות התקן

36−4+0−4+36=6436-4+0-4+36=64

סכום המכפלות

r=645⋅2⋅8=0.8\begin{aligned}r &= \frac{64}{5 \cdot 2 \cdot 8} \\ &= 0.8\end{aligned}

מקדם המתאם

שתי מכפלות שליליות (−4-4) הן שתי נקודות שהולכות נגד המגמה. הן מקטינות את rr, אבל המגמה נשארת חיובית וחזקה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

לנתונים xˉ=10\bar{x}=10 ו-yˉ=40\bar{y}=40. איזו נקודה תורמת תרומה שלילית למונה של rr?

  1. (10, 50)(10,\,50)
  2. (8, 35)(8,\,35)
  3. (13, 32)(13,\,32)
  4. (12, 45)(12,\,45)
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C (13, 32)(13,\,32)

Corrigé :

(13−10)(32−40)=3⋅(−8)=−24\begin{aligned}(13-10)(32-40) &= 3 \cdot (-8) \\ &= -24\end{aligned}

xx מעל הממוצע ו-yy מתחתיו

(10−10)(50−40)=0(10-10)(50-40)=0

הנקודה על קו הממוצע של xx תורמת 00

הנכונה: (13, 32)(13,\,32). (8, 35)(8,\,35) נותנת (−2)(−5)=10>0(-2)(-5)=10>0: שני מינוסים. (10, 50)(10,\,50) לא תורמת כלום, לא שלילי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

אם r=0.8r=0.8, אז 80%80\% מהנקודות נמצאות על קו ישר.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

r=0.8r=0.8

מספר בלי יחידות, בין −1-1 ל-11

לא נכון. rr אינו אחוז של נקודות. r=0.8r=0.8 אומר שהנקודות קרובות לקו עולה. ייתכן שאף נקודה לא נמצאת בדיוק עליו.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

שורה אחת בחישוב של סטיית התקן שגויה. מצאו אותה.

x: 2 4 6 8 ⇒ xˉ=5\begin{aligned}x:\ 2 \\ \ 4 \\ \ 6 \\ \ 8 \ \Rightarrow \ \bar{x} &= 5\end{aligned}
(x−xˉ)2: 9, 1, 1, 9(x-\bar{x})^2:\ 9,\ 1,\ 1,\ 9
Sx=203S_x=\sqrt{\frac{20}{3}}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Sx=203S_x=\sqrt{\frac{20}{3}} → Sx=204=5S_x=\sqrt{\frac{20}{4}}=\sqrt{5}

Corrigé :

N=4N=4

ארבעה נתונים

Sx=204=5≈2.24\begin{aligned}S_x &= \sqrt{\frac{20}{4}} \\ &= \sqrt{5} \approx 2.24\end{aligned}

מחלקים ב-NN

בנוסחאון מחלקים ב-NN, ולא ב-N−1N-1. סטיית תקן שגויה משנה גם את rr.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

בארבעה סניפים של רשת חנויות נרשמו מספר העובדים (xx) ומספר הלקוחות ביום, בעשרות (yy). xx: 2, 4, 6, 82,\ 4,\ 6,\ 8. yy: 3, 5, 4, 83,\ 5,\ 4,\ 8. חשבו את rr. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.84

Corrigé :

xˉ=5yˉ=5\begin{aligned}\bar{x} &= 5 \qquad \bar{y} \\ &= 5\end{aligned}

הממוצעים

x−xˉ: −3, −1, 1, 3y−yˉ: −2, 0, −1, 3x-\bar{x}:\ -3,\ -1,\ 1,\ 3 \qquad y-\bar{y}:\ -2,\ 0,\ -1,\ 3

ההפרשים

Sx=204=5Sy=144=3.5\begin{aligned}S_x &= \sqrt{\frac{20}{4}} \\ &= \sqrt{5} \qquad S_y \\ &= \sqrt{\frac{14}{4}} \\ &= \sqrt{3.5}\end{aligned}

סטיות התקן

6+0−1+9=146+0-1+9=14

סכום המכפלות

r=144⋅5⋅3.5≈0.84r=\frac{14}{4 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{3.5}} \approx 0.84

מקדם המתאם

כשסטיות התקן אינן שלמות, השאירו אותן בשורש עד השלב האחרון. עיגול מוקדם של 5\sqrt{5} ל-22 נותן r≈0.94r \approx 0.94, תשובה שגויה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

כל זוגות הנתונים מקיימים בדיוק y=20−3xy=20-3x. מהו rr?

  1. −3-3
  2. −1-1
  3. 11
  4. 00
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B −1-1

Corrigé :

y=20−3xy=20-3x

כל הנקודות על קו אחד: מתאם מלא, ∣r∣=1|r|=1

m=−3<0m=-3<0

הקו יורד, ולכן r=−1r=-1

הנכונה: −1-1. −3-3 הוא השיפוע של הקו, ולא rr: מקדם המתאם אף פעם אינו קטן מ-−1-1.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe