Entraînement

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

עשרה תרגילים על כל הפרק: תחום, גזירה של gfg\sqrt{f}, משיק, נקודות קיצון פנימיות ובקצה, פרמטר ומספר פתרונות. מתחילים בקל ומסיימים באתגר.

Exercices

Série A — Facile

Exercice 1

נתונה f(x)=(x+4)6−2xf(x)=(x+4)\sqrt{6-2x}. מהו הערך הגדול ביותר של xx שבו הפונקציה מוגדרת?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

6−2x≥0 ⇒ x≤36-2x \geq 0 \ \Rightarrow \ x \leq 3

Domaine de définition

x=3x=3. −4-4 הוא אפס של הגורם, לא גבול של התחום.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתונה f(x)=x4−xf(x)=x\sqrt{4-x}. מהי f′(x)f'(x)?

  1. 8−3x4−x\frac{8-3x}{\sqrt{4-x}}
  2. 8−x24−x\frac{8-x}{2\sqrt{4-x}}
  3. −124−x\frac{-1}{2\sqrt{4-x}}
  4. 8−3x24−x\frac{8-3x}{2\sqrt{4-x}}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D 8−3x24−x\frac{8-3x}{2\sqrt{4-x}}

Corrigé :

f′(x)=4−x−x24−x=2(4−x)−x24−x\begin{aligned}f'(x) &= \sqrt{4-x}-\frac{x}{2\sqrt{4-x}} \\ &= \frac{2(4-x)-x}{2\sqrt{4-x}}\end{aligned}

מכפלה ושרשרת

הנכונה: 8−3x24−x\frac{8-3x}{2\sqrt{4-x}}. 8−x24−x\frac{8-x}{2\sqrt{4-x}} שכחה את המינוס של הנגזרת הפנימית.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתונה f(x)=(x+2)x+4f(x)=(x+2)\sqrt{x+4}. חשבו את f′(0)f'(0).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2.5

Corrigé :

f′(x)=2(x+4)+(x+2)2x+4=3x+102x+4\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2(x+4)+(x+2)}{2\sqrt{x+4}} \\ &= \frac{3x+10}{2\sqrt{x+4}}\end{aligned}

הנגזרת

f′(0)=104=2.5\begin{aligned}f'(0) &= \frac{10}{4} \\ &= 2.5\end{aligned}

On remplace (מציבים)

2.52.5. f(0)=4f(0)=4 הוא הערך, לא השיפוע.

Vérifier la réponse sur elev

סדרה ב — בינוני

Exercice 4

נתונה f(x)=(x−1)x+2f(x)=(x-1)\sqrt{x+2}. מצאו את נקודת המינימום של הפונקציה.

x=x= ____ , y=y= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x=x= -1 , y=y= -2

Corrigé :

f′(x)=3x+32x+2f'(x)=\frac{3x+3}{2\sqrt{x+2}}

הנגזרת

x=−1 ; −→+x=-1 \ ;\ - \to +

מינימום

f(−1)=−2⋅1=−2\begin{aligned}f(-1) &= -2 \cdot 1 \\ &= -2\end{aligned}

הגובה

מינימום (−1, −2)(-1,\,-2), והקצה (−2,0)(-2,0) מקסימום מקומי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

נתונה f(x)=x2x+5f(x)=x\sqrt{2x+5}. המשיק לגרף בנקודה שבה x=−2x=-2 חותך את ציר ה-xx. מצאו את שיעור ה-xx של נקודת החיתוך.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -4

Corrigé :

f(−2)=−2⋅1=−2\begin{aligned}f(-2) &= -2 \cdot 1 \\ &= -2\end{aligned}

הנקודה

f′(x)=3x+52x+5 ⇒ f′(−2)=−1\begin{aligned}f'(x) &= \frac{3x+5}{\sqrt{2x+5}} \ \Rightarrow \ f'(-2) \\ &= -1\end{aligned}

השיפוע

y=−x−4=0 ⇒ x=−4\begin{aligned}y &= -x-4 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= -4\end{aligned}

המשיק וחיתוכו

x=−4x=-4. הנקודה נמצאת מחוץ לתחום של ff (x≥−2.5x \geq -2.5), אבל המשיק הוא ישר שלם.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

הוכיחו או הפריכו: לפונקציה f(x)=(x+4)2−xf(x)=(x+4)\sqrt{2-x} יש מקסימום מוחלט בנקודה (0, 42)(0,\,4\sqrt{2}).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

f′(x)=−3x22−xf'(x)=\frac{-3x}{2\sqrt{2-x}}

עולה ב-x<0x<0, יורדת ב-0<x<20<x<2

f(2)=0x<−4: f<0\begin{aligned}f(2) &= 0 \\ \quad x<-4: \ f<0\end{aligned}

אין ערך גבוה יותר

הטענה נכונה. זו נקודת הקיצון הפנימית היחידה, והפונקציה עולה אליה ויורדת ממנה עד הקצה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

נתונה f(x)=(x+a)3−xf(x)=(x+a)\sqrt{3-x}, ו-aa פרמטר. לפונקציה נקודת קיצון ב-x=1x=1. מצאו את aa.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

f′(x)=2(3−x)−(x+a)23−x=6−3x−a23−x\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2(3-x)-(x+a)}{2\sqrt{3-x}} \\ &= \frac{6-3x-a}{2\sqrt{3-x}}\end{aligned}

גוזרים עם aa

3−a=0 ⇒ a=3\begin{aligned}3-a &= 0 \ \Rightarrow \ a \\ &= 3\end{aligned}

מציבים x=1x=1

a=3a=3. מי ששוכח את המינוס של 3−x\sqrt{3-x} מקבל 6−x+a23−x\frac{6-x+a}{2\sqrt{3-x}}, ומגיע ל-a=−5a=-5.

Vérifier la réponse sur elev

סדרה ג — מאתגר

Exercice 8

נתונה f(x)=x2x+5f(x)=x^2\sqrt{x+5}. לפונקציה מקסימום מקומי (−4, 16)(-4,\,16) ומינימום (0,0)(0,0). כמה פתרונות יש למשוואה f(x)=20f(x)=20?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1

Corrigé :

−5≤x≤0: f≤16<20-5 \leq x \leq 0: \ f \leq 16<20

אין פתרון בענף השמאלי

x>0: 0↗x>0: \ 0 \nearrow

פתרון אחד

פתרון אחד. המקסימום המקומי 1616 נמוך מ-2020, ולכן רק הענף הימני מגיע לשם.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

נתונה f(x)=(x+a)xf(x)=(x+a)\sqrt{x}, ו-aa פרמטר. המשיק לגרף בנקודה שבה x=4x=4 מקביל לישר y=2xy=2x. מצאו את aa ואת משוואת המשיק y=2x+ny=2x+n.

a=a= ____ ; n=n= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : a=a= -4 ; n=n= -8

Corrigé :

f′(x)=3x+a2x ⇒ f′(4)=12+a4=2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{3x+a}{2\sqrt{x}} \ \Rightarrow \ f'(4) \\ &= \frac{12+a}{4} \\ &= 2\end{aligned}

השיפוע

a=−4 f(4)=0⋅2=0\begin{aligned}a &= -4 \ \\ \quad f(4) &= 0 \cdot 2 \\ &= 0\end{aligned}

הנקודה (4,0)(4,0)

y=2(x−4)=2x−8\begin{aligned}y &= 2(x-4) \\ &= 2x-8\end{aligned}

המשיק

a=−4a=-4 ו-y=2x−8y=2x-8. f(4)=0f(4)=0: המשיק עובר בנקודה שבה הגרף חוצה את ציר ה-xx.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

נתונה f(x)=(x+4)2−xf(x)=(x+4)\sqrt{2-x}. לכמה ערכים שלמים של kk יש למשוואה f(x)=kf(x)=k בדיוק שני פתרונות?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6

Corrigé :

x<0: f↗420<x≤2: 42↘0x<0: \ f \nearrow 4\sqrt{2} \qquad 0<x \leq 2: \ 4\sqrt{2} \searrow 0

שני ענפים

0≤k<42≈5.660 \leq k<4\sqrt{2} \approx 5.66

פתרון בכל ענף

k=012345\begin{aligned}k &= 0 \\ 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \\ 5\end{aligned}

שישה ערכים

שישה ערכים. k=0k=0 נכלל, כי הקצה (2,0)(2,0) נקודה של הגרף. k<0k<0 נותן פתרון אחד בלבד, בענף השמאלי.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe