Série 3 — vers le bagrout

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

שלוש שאלות בנוסח שאלת השורש של הבגרות, מחולקות לסעיפים. כל תרגיל הוא סעיף אחד, עם אותה פתיחה. פרמטר מנקודה ומספר פתרונות; פרמטר מקיצון והזזה f+cf+c; וגרף של f′f' עם g=−fg=-f.

בבגרות כל סעיף נשען על הקודם. אחרי שמצאתם את הפרמטר, הציבו אותו ובדקו אותו בנתון לפני שממשיכים.

Exercices

Exercice 1

נתונה הפונקציה f(x)=(x−3)2x+af(x)=(x-3)\sqrt{2x+a}, ו-aa פרמטר. הגרף של ff עובר בנקודה (−3, 0)(-3,\,0). א. מצאו את aa.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6

Corrigé :

(−3−3)−6+a=0(-3-3)\sqrt{-6+a}=0

מציבים את הנקודה

−6≠0 ⇒ −6+a=0 ⇒ a=6\begin{aligned}-6 \neq 0 \ \Rightarrow \ -6+a &= 0 \ \Rightarrow \ a \\ &= 6\end{aligned}

השורש מתאפס

a=6a=6. הגורם x−3x-3 שווה −6-6 ב-x=−3x=-3, ולכן רק השורש יכול להתאפס.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתונה הפונקציה f(x)=(x−3)2x+af(x)=(x-3)\sqrt{2x+a}, ו-aa פרמטר. הגרף של ff עובר בנקודה (−3, 0)(-3,\,0). ב. הציבו a=6a=6. מצאו את תחום ההגדרה ואת נקודת החיתוך הנוספת של הגרף עם ציר ה-xx.

תחום: x≥x \geq ____ ; חיתוך נוסף: x=x= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : תחום: x≥x \geq -3 ; חיתוך נוסף: x=x= 3

Corrigé :

2x+6≥0 ⇒ x≥−32x+6 \geq 0 \ \Rightarrow \ x \geq -3

Domaine de définition

x−3=0 ⇒ x=3\begin{aligned}x-3 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3\end{aligned}

האפס השני

התחום x≥−3x \geq -3, והאפסים −3-3 (הקצה) ו-33.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתונה הפונקציה f(x)=(x−3)2x+af(x)=(x-3)\sqrt{2x+a}, ו-aa פרמטר. הגרף של ff עובר בנקודה (−3, 0)(-3,\,0). ג. הציבו a=6a=6. מצאו את נקודת הקיצון הפנימית של ff.

x=x= ____ , y=y= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x=x= -1 , y=y= -8

Corrigé :

f′(x)=2x+6+x−32x+6=3x+32x+6\begin{aligned}f'(x) &= \sqrt{2x+6}+\frac{x-3}{\sqrt{2x+6}} \\ &= \frac{3x+3}{\sqrt{2x+6}}\end{aligned}

מכפלה; הנגזרת הפנימית 22 מצטמצמת

x=−1 ;f′(−2)<0 f′(0)>0\begin{aligned}x &= -1 \ ;\quad f'(-2)<0 \\ \ f'(0)>0\end{aligned}

מינימום

f(−1)=−4⋅2=−8\begin{aligned}f(-1) &= -4 \cdot 2 \\ &= -8\end{aligned}

הגובה

מינימום (−1, −8)(-1,\,-8). מי שכותב 122x+6\frac{1}{2\sqrt{2x+6}} שכח את הנגזרת הפנימית, ומקבל x=−95x=-\frac{9}{5}.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

נתונה הפונקציה f(x)=(x−3)2x+af(x)=(x-3)\sqrt{2x+a}, ו-aa פרמטר. הגרף של ff עובר בנקודה (−3, 0)(-3,\,0). ד. הציבו a=6a=6. מה סוג הנקודה (−3, 0)(-3,\,0)?

  1. מקסימום מקומי בקצה התחום
  2. אינה נקודת קיצון
  3. מקסימום מוחלט
  4. מינימום מקומי בקצה התחום
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A מקסימום מקומי בקצה התחום

Corrigé :

−3<x<−1: f′<0-3<x<-1: \ f'<0

יוצאת מהקצה בירידה

f(5)=2⋅4=8>0\begin{aligned}f(5) &= 2 \cdot 4 \\ &= 8>0\end{aligned}

יש ערכים גבוהים יותר

הנכונה: מקסימום מקומי בקצה. לא מוחלט: אחרי x=3x=3 הפונקציה חיובית ועולה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

y = f(x)
(−3,0)(−1,−8)(3,0)-4-3-2-1012345-10-8-6-4-2246xy

נתונה הפונקציה f(x)=(x−3)2x+af(x)=(x-3)\sqrt{2x+a}, ו-aa פרמטר. הגרף של ff עובר בנקודה (−3, 0)(-3,\,0). ה. הציבו a=6a=6, והיעזרו בסקיצה שבשרטוט. לאילו ערכים של kk יש למשוואה f(x)=kf(x)=k בדיוק שני פתרונות?

  1. −8<k≤0-8<k \leq 0
  2. k≤0k \leq 0
  3. −8<k<0-8<k<0
  4. k>−8k>-8
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A −8<k≤0-8<k \leq 0

Corrigé :

−3≤x≤−1: 0↘−8-3 \leq x \leq -1: \ 0 \searrow -8

ענף ראשון

x≥−1: −8↗x \geq -1: \ -8 \nearrow

ענף שני, בלי גבול

k=0: x=−3 x=3\begin{aligned}k &= 0: \ x \\ &= -3 \\ \ x &= 3\end{aligned}

שני פתרונות גם ב-k=0k=0

הנכונה: −8<k≤0-8<k \leq 0. k=0k=0 נכלל: הקצה (−3,0)(-3,0) הוא נקודה של הגרף. k=−8k=-8 נותן פתרון אחד, ו-k>0k>0 פתרון אחד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

נתונה הפונקציה f(x)=x2a−2xf(x)=x^2\sqrt{a-2x}, ו-aa פרמטר. לפונקציה יש נקודת קיצון ב-x=2x=2. א. מצאו את aa.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5

Corrigé :

f′(x)=2xa−2x+−2x22a−2x=x(4a−10x)2a−2x\begin{aligned}f'(x) &= 2x\sqrt{a-2x}+\frac{-2x^2}{2\sqrt{a-2x}} \\ &= \frac{x(4a-10x)}{2\sqrt{a-2x}}\end{aligned}

מכפלה ושרשרת

4a−20=0 ⇒ a=5\begin{aligned}4a-20 &= 0 \ \Rightarrow \ a \\ &= 5\end{aligned}

מציבים x=2x=2

a=5a=5. הנגזרת הפנימית של a−2xa-2x היא −2-2: בלעדיה מתקבל aa אחר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

נתונה הפונקציה f(x)=x2a−2xf(x)=x^2\sqrt{a-2x}, ו-aa פרמטר. לפונקציה יש נקודת קיצון ב-x=2x=2. ב. הציבו a=5a=5. מצאו את נקודת המקסימום של ff.

x=x= ____ , y=y= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x=x= 2 , y=y= 4

Corrigé :

f′(x)=5x(2−x)5−2x x<2.5\begin{aligned}f'(x) &= \frac{5x(2-x)}{\sqrt{5-2x}} \ \\ \quad x<2.5\end{aligned}

הנגזרת

f′(1)>0f′(2.2)<0f'(1)>0 \qquad f'(2.2)<0

מ-++ ל-−-

f(2)=4⋅1=4\begin{aligned}f(2) &= 4 \cdot 1 \\ &= 4\end{aligned}

הגובה

מקסימום (2, 4)(2,\,4). בודקים סימן ב-2.22.2, לא ב-33: התחום נגמר ב-2.52.5.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

נתונה הפונקציה f(x)=x2a−2xf(x)=x^2\sqrt{a-2x}, ו-aa פרמטר. לפונקציה יש נקודת קיצון ב-x=2x=2. ג. הציבו a=5a=5. נתונה g(x)=f(x)+cg(x)=f(x)+c. מצאו את שני הערכים של cc שעבורם הישר y=10y=10 משיק לגרף של gg.

הקטן: c=c= ____ ; הגדול: c=c= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : הקטן: c=c= 6 ; הגדול: c=c= 10

Corrigé :

g′(x)=f′(x)=0 ⇒ x=0 x=2\begin{aligned}g'(x) &= f'(x) \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ x &= 2\end{aligned}

משיק אופקי

g(0)=0+c=10 ⇒ c=10\begin{aligned}g(0) &= 0+c \\ &= 10 \ \Rightarrow \ c \\ &= 10\end{aligned}

במינימום

g(2)=4+c=10 ⇒ c=6\begin{aligned}g(2) &= 4+c \\ &= 10 \ \Rightarrow \ c \\ &= 6\end{aligned}

במקסימום

c=6c=6 או c=10c=10. משיק אופקי יש בכל נקודה שבה f′=0f'=0. מי שמוצא רק ערך אחד בדק רק את המקסימום.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

הגרף של f′
(8,0)02468101214161820-6-5-4-3-2-11f′(x)x

בשרטוט הגרף של f′f', הנגזרת של הפונקציה f(x)=x−6x+1f(x)=x-6\sqrt{x+1}. הגרף של f′f' חותך את ציר ה-xx רק ב-x=8x=8. א. מה נכון לגבי נקודות הקיצון של ff?

  1. מינימום ב-x=8x=8 ומקסימום בקצה x=−1x=-1
  2. מינימום ב-x=8x=8 בלבד
  3. מקסימום ב-x=8x=8 ומינימום בקצה x=−1x=-1
  4. מקסימום ב-x=0x=0, כי שם f′f' משנה כיוון
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A מינימום ב-x=8x=8 ומקסימום בקצה x=−1x=-1

Corrigé :

−1<x<8: f′<0x>8: f′>0-1<x<8: \ f'<0 \qquad x>8: \ f'>0

קוראים סימנים

x=8: −→+ ⇒ min⁡x=8: \ - \to + \ \Rightarrow \ \min

קיצון פנימי

x=−1: קצהx=-1: \ \text{קצה}

יוצאת ממנו בירידה: מקסימום

הנכונה: מינימום ב-x=8x=8 ומקסימום בקצה x=−1x=-1. «מינימום בלבד» שכח את הקצה, שם f′f' צוללת ואינה קיימת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

בשרטוט הגרף של f′f', הנגזרת של הפונקציה f(x)=x−6x+1f(x)=x-6\sqrt{x+1}. הגרף של f′f' חותך את ציר ה-xx רק ב-x=8x=8. ב. נתונה g(x)=−f(x)g(x)=-f(x). מצאו את הערך המינימלי של ff ואת שיעור ה-yy של נקודת המקסימום של gg.

מינימום של ff: ____ ; מקסימום של gg: y=y= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : מינימום של ff: -10 ; מקסימום של gg: y=y= 10

Corrigé :

f(8)=8−6⋅3=−10\begin{aligned}f(8) &= 8-6 \cdot 3 \\ &= -10\end{aligned}

המינימום של ff

g(8)=−f(8)=10\begin{aligned}g(8) &= -f(8) \\ &= 10\end{aligned}

שיקוף בציר xx

−10-10 ו-1010. השיקוף הופך מינימום למקסימום ומחליף את סימן הגובה. ה-xx נשאר 88.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe