Série 2 — moyen · Fonctions avec racine · Kita יא

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

עשר שאלות בינוניות: נקודת קיצון פנימית ובקצה, משיק וחיתוכו, תחומי עלייה וירידה, פרמטר אחד, מספר פתרונות, ושני הסוגים של נקודה חשודה.

כל שאלה כאן היא שניים או שלושה צעדים. כתבו את הנגזרת כשבר אחד לפני כל דבר אחר: ממנה יוצאים האפסים, הסימנים והקצה.

Exercices

Exercice 1

נתונה $f(x)=(x-10)\sqrt{x+2}$ . מצאו את נקודת המינימום של הפונקציה.

$x=$ ____ , $y=$ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $x=$ 2 , $y=$ -16

Corrigé :

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2(x+2)+(x-10)}{2\sqrt{x+2}} \\ &= \frac{3x-6}{2\sqrt{x+2}}\end{aligned}

הנגזרת

\begin{aligned}x &= 2 \ ;\quad f'(0)<0 \\ \ f'(7)>0\end{aligned}

מ- $-$ ל- $+$

\begin{aligned}f(2) &= -8 \cdot 2 \\ &= -16\end{aligned}

הגובה

מינימום $(2,\,-16)$ . הקצה $(-2,0)$ הוא מקסימום מקומי, ולא נשאל כאן.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתונה $f(x)=(x+3)\sqrt{1-x}$ . המשיק לגרף בנקודה שבה $x=0$ חותך את ציר ה- $x$ . מצאו את שיעור ה- $x$ של נקודת החיתוך.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6

Corrigé :

f(0)=3

הנקודה $(0,\,3)$

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{-3x-1}{2\sqrt{1-x}} \ \Rightarrow \ f'(0) \\ &= -\frac{1}{2}\end{aligned}

השיפוע

\begin{aligned}y &= -\tfrac{1}{2}x+3 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 6\end{aligned}

המשיק וחיתוכו

$x=6$ , מחוץ לתחום של $f$ ( $x \leq 1$ ). אין בזה בעיה: המשיק הוא ישר שלם, והוא לא מוגבל לתחום של הפונקציה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתונה $f(x)=(x+2)\sqrt{7-x}$ . באיזה תחום הפונקציה יורדת?

$4<x<7$
$x<4$
$-2<x<4$
$x>4$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $4<x<7$

Corrigé :

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2(7-x)-(x+2)}{2\sqrt{7-x}} \\ &= \frac{12-3x}{2\sqrt{7-x}}\end{aligned}

הנגזרת

x<4: \ f'>0 \qquad 4<x<7: \ f'<0

סימן המונה

הנכונה: $4<x<7$ . $x>4$ כולל ערכים מחוץ לתחום. התחום נגמר ב- $x=7$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

הוכיחו או הפריכו: הנקודה $(0,0)$ היא נקודת מינימום של $f(x)=x^2\sqrt{3-x}$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{4x(3-x)-x^2}{2\sqrt{3-x}} \\ &= \frac{x(12-5x)}{2\sqrt{3-x}}\end{aligned}

הנגזרת

f'(-1)<0 \qquad f'(1)>0

מ- $-$ ל- $+$

הטענה נכונה. ויותר מזה: $f \geq 0$ בכל התחום, ולכן זה מינימום מוחלט.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

נתונה $f(x)=(x+a)\sqrt{x+6}$ , ו- $a$ פרמטר. לפונקציה נקודת קיצון ב- $x=-2$ . מצאו את $a$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -6

Corrigé :

f'(x)=\frac{3x+12+a}{2\sqrt{x+6}}

גוזרים עם $a$

\begin{aligned}-6+12+a &= 0 \ \Rightarrow \ a \\ &= -6\end{aligned}

מציבים $x=-2$ במונה

$a=-6$ . בדיקה: $f(x)=(x-6)\sqrt{x+6}$ ו- $f(-2)=-8 \cdot 2=-16$ , מינימום.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

נתונה $f(x)=(x-7)\sqrt{x+5}$ . לפונקציה מקסימום מקומי בקצה $(-5,0)$ ומינימום ב- $(-1,-16)$ . כמה פתרונות יש למשוואה $f(x)=-10$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

-5<x<-1: \ 0 \searrow -16

פתרון אחד בירידה

x>-1: \ -16 \nearrow

פתרון אחד בעלייה

שני פתרונות. בין הקצה למינימום הגרף עובר את $-10$ פעם אחת, ואחרי המינימום עוד פעם.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

מחפשים את האפסים של הנגזרת של $f(x)=x^2\sqrt{x+5}$ . שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

f'(x)=2x\sqrt{x+5}+\frac{x^2}{2\sqrt{x+5}}

=\frac{4x(x+5)+x^2}{2\sqrt{x+5}}

=\frac{5x^2+20x}{2\sqrt{x+5}}

\begin{aligned}f'(x) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ x &= 4\end{aligned}

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $f'(x)=0 \ \Rightarrow \ x=0 ,\ x=4$ → $f'(x)=0 \ \Rightarrow \ x=0 ,\ x=-4$

Corrigé :

5x^2+20x=5x(x+4)

מפרקים

\begin{aligned}x+4 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= -4\end{aligned}

הסימן

השורה האחרונה. $5x(x+4)=0$ נותן $x=-4$ , לא $4$ . ו- $x=4$ גם לא היה מאפס: $5 \cdot 16+80 \neq 0$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

נתונה $f(x)=(x+3)\sqrt{x+3}$ . מהי משוואת המשיק לגרף בנקודה שבה $x=1$ ?

$y=\frac{1}{4}x+\frac{31}{4}$
$y=3x+5$
$y=8$
$y=3x+8$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $y=3x+5$

Corrigé :

\begin{aligned}f'(x) &= \sqrt{x+3}+\frac{x+3}{2\sqrt{x+3}} \\ &= \frac{3}{2}\sqrt{x+3}\end{aligned}

$\frac{x+3}{\sqrt{x+3}}=\sqrt{x+3}$

\begin{aligned}f(1) &= 8 \\ \quad f'(1) &= 3\end{aligned}

נקודה ושיפוע

\begin{aligned}y-8 &= 3(x-1) \ \Rightarrow \ y \\ &= 3x+5\end{aligned}

המשיק

הנכונה: $y=3x+5$ . $\frac{1}{4}$ הוא שיפוע של $\sqrt{x+3}$ לבדו, בלי כלל המכפלה. $y=3x+8$ שכח להציב את הנקודה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

מיינו את הנקודות: באיזו הנגזרת מתאפסת, ובאיזו היא לא קיימת?

$f'$ מתאפסת
$f'$ לא קיימת

$x=-\frac{4}{3}$ עבור $(x-2)\sqrt{2x+6}$
$x=-3$ עבור $(x-2)\sqrt{2x+6}$
$x=-5$ עבור $x^2\sqrt{x+5}$
$x=0$ עבור $x^2\sqrt{x+5}$
$x=3$ עבור $(x-1)\sqrt{4-x}$
$x=4$ עבור $(x-1)\sqrt{4-x}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $x=-\frac{4}{3}$ עבור $(x-2)\sqrt{2x+6}$ — $f'$ מתאפסת · $x=-3$ עבור $(x-2)\sqrt{2x+6}$ — $f'$ לא קיימת · $x=0$ עבור $x^2\sqrt{x+5}$ — $f'$ מתאפסת · $x=-5$ עבור $x^2\sqrt{x+5}$ — $f'$ לא קיימת · $x=3$ עבור $(x-1)\sqrt{4-x}$ — $f'$ מתאפסת · $x=4$ עבור $(x-1)\sqrt{4-x}$ — $f'$ לא קיימת

Corrigé :

\left((x-2)\sqrt{2x+6}\right)'=\frac{3x+4}{\sqrt{2x+6}}

אפס ב- $-\frac{4}{3}$ , קצה ב- $-3$

\left((x-1)\sqrt{4-x}\right)'=\frac{9-3x}{2\sqrt{4-x}}

אפס ב- $3$ , קצה ב- $4$

בכל פונקציה אחת מכל סוג: אפס המונה, וקצה התחום שבו המכנה מתאפס. שני הסוגים הם נקודות חשודות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

נתונה $f(x)=8\sqrt{x+2}-2x$ . מצאו את נקודת המקסימום ואת הערך של הפונקציה בקצה התחום.

מקסימום: $x=$ ____ , $y=$ ____ ; בקצה: $y=$ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : מקסימום: $x=$ 2 , $y=$ 12 ; בקצה: $y=$ 4

Corrigé :

f'(x)=\frac{4}{\sqrt{x+2}}-2

הנגזרת

\begin{aligned}\sqrt{x+2} &= 2 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2 \\ \quad f(2) &= 16-4 \\ &= 12\end{aligned}

המקסימום

\begin{aligned}f(-2) &= 0+4 \\ &= 4\end{aligned}

הקצה: מינימום מקומי

מקסימום $(2,\,12)$ ומינימום מקומי בקצה $(-2,\,4)$ . $f(-2)=4$ : $-2x$ עם $x=-2$ נותן $+4$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercices

La suite se pratique sur elev