Le graphe de f et celui de f′

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

בגרף אחד שני קווים: ff והנגזרת שלה. הם נראים שונים לגמרי, ובכל זאת כל אחד מספר על השני. חפשו איפה f′f' חוצה את הציר, ומה ff עושה באותו xx.

הגרף של f ושל f′
ff′ff′-3.5-3-2.5-2-1.5-1-0.500.511.522.533.54-4-3-2-11234567891011xy
f(x)=x√(x+3)f(x)=x\surd(x+3) והנגזרת f′(x)=3x+62√(x+3)f'(x)=\frac{3x+6}{2\surd(x+3)} על אותם צירים. f′f' מתחת לציר ב-−3<x<−2-3<x<-2, ושם ff יורדת. f′f' חוצה את הציר ב-x=−2x=-2, בדיוק מתחת למינימום של ff.

לפי הגרף: באיזה קטע f′f' שלילית, ומה עושה ff באותו קטע?

Voir la réponse et le corrigé

f′<0f'<0 ב-−3<x<−2-3<x<-2, ושם ff יורדת מ-00 ל-−2-2. ב-x>−2x>-2 הנגזרת חיובית, ו-ff עולה. ב-x=−3x=-3 לגרף של f′f' אין נקודה: שם הנגזרת לא קיימת.

מה קוראים בגרף של f′f'

f′>0f'>0

ff עולה. לא חשוב אם f′f' עצמה עולה או יורדת

f′<0f'<0

ff יורדת

f′=0 וחוצהf'=0 \ \text{וחוצה}

נקודת קיצון של ff: מ-++ ל-−- מקסימום, מ-−- ל-++ מינימום

f′→±∞f' \to \pm\infty

קצה התחום: ff מוגדרת שם, f′f' לא

גובה של נקודה בגרף של f′f' הוא שיפוע, לא ערך של ff. השיא של f′f' אינו השיא של ff: הוא המקום שבו ff עולה הכי מהר.

הגרף של f′
(0,0)(4,0)-1.5-1-0.500.511.522.533.544.55-9-8-7-6-5-4-3-2-11234567f′(x)x
הגרף של הנגזרת f′f' של פונקציה ff המוגדרת ב-x≤5x \leq 5. ב-x=5x=5 הגרף של f′f' צולל למטה ואין לו ערך.

איפה ff עולה הכי מהר?

Voir la réponse et le corrigé

במקום שבו f′f' הכי גבוהה, בערך ב-x=2.5x=2.5. זו לא נקודת קיצון של ff: שם ff רק עולה בתלילות הגדולה ביותר.

פרמטר אחד

בשאלת פרמטר נותנים נתון אחד על ff או על f′f', ומוצאים ממנו את הפרמטר. לפני שמציבים, שאלו: הנתון מדבר על ערך (ff) או על שיפוע (f′f')?

פרמטר מתוך נקודת קיצון

נתונה f(x)=(x−a)x+6f(x)=(x-a)\sqrt{x+6}, ו-aa פרמטר. לפונקציה נקודת קיצון ב-x=−2x=-2. מצאו את aa ואת סוג הנקודה.

f′(x)=2(x+6)+(x−a)2x+6=3x+12−a2x+6\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2(x+6)+(x-a)}{2\sqrt{x+6}} \\ &= \frac{3x+12-a}{2\sqrt{x+6}}\end{aligned}

גוזרים עם aa

3(−2)+12−a=0 ⇒ a=6\begin{aligned}3(-2)+12-a &= 0 \ \Rightarrow \ a \\ &= 6\end{aligned}

בנקודת קיצון פנימית f′=0f'=0

f′(x)=3x+62x+6 ;f′(−3)<0 f′(0)>0\begin{aligned}f'(x) &= \frac{3x+6}{2\sqrt{x+6}} \ ;\quad f'(-3)<0 \\ \ f'(0)>0\end{aligned}

מציבים את aa ובודקים סימן

f(−2)=−8⋅2=−16\begin{aligned}f(-2) &= -8 \cdot 2 \\ &= -16\end{aligned}

מינימום (−2, −16)(-2,\,-16)

שלוש טעויות בקריאת f′f' ובפרמטר.

max⁡f′ ⇒ max⁡f\max f' \ \Rightarrow \ \max f
f′=0 +→− ⇒ max⁡f\begin{aligned}f' &= 0 \\ \ + \to - \ \Rightarrow \ \max f\end{aligned}

השיא של f′f' הוא המקום שבו ff עולה הכי מהר, לא המקום שבו היא הכי גבוהה.

f′(x)↘ ⇒ f↘f'(x) \searrow \ \Rightarrow \ f \searrow
f′(x)<0 ⇒ f↘f'(x)<0 \ \Rightarrow \ f \searrow

ff יורדת רק כש-f′f' שלילית. f′f' שיורדת אבל חיובית אומרת ש-ff עדיין עולה.

f(−2)=0f(-2)=0
f′(−2)=0f'(-2)=0

נקודת קיצון אומרת שהשיפוע 00. הגובה f(−2)f(-2) יכול להיות כל מספר.

Exercices

Exercice 1

הגרף של f′
(4,0)-3-2-10123456-6-5-4-3-2-11234f′(x)x

בשרטוט הגרף של f′f', הנגזרת של פונקציה ff המוגדרת ב-x≤6x \leq 6. הגרף חותך את ציר ה-xx רק ב-x=4x=4. מה נכון לגבי ff?

  1. עולה בכל התחום, כי f′f' יורדת
  2. יש לה מקסימום ב-x=0x=0, כי שם f′f' גבוהה
  3. עולה ב-x<4x<4 ויורדת ב-4<x<64<x<6
  4. יורדת ב-x<4x<4 ועולה ב-4<x<64<x<6
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C עולה ב-x<4x<4 ויורדת ב-4<x<64<x<6

Corrigé :

x<4: f′>0x<4: \ f'>0

הקו מעל הציר

4<x<6: f′<04<x<6: \ f'<0

הקו מתחת לציר

x=4: +→−x=4: \ + \to -

מקסימום של ff

הנכונה: עולה ב-x<4x<4 ויורדת ב-4<x<64<x<6. f′f' יורדת בכל הגרף, אבל מה שקובע את ff הוא הסימן של f′f'. זו הנגזרת של f(x)=x6−xf(x)=x\sqrt{6-x}.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

לפונקציה ff המוגדרת ב-x≥−3x \geq -3 הנגזרת f′(x)=3x+62x+3f'(x)=\frac{3x+6}{2\sqrt{x+3}}. כמה נקודות קיצון יש ל-ff, כולל קצה התחום?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

f′=0 ⇒ x=−2 ; −→+\begin{aligned}f' &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= -2 \ ;\ - \to +\end{aligned}

מינימום

−3<x<−2: f′<0-3<x<-2: \ f'<0

יוצאת מהקצה בירידה

x=−3x=-3

מקסימום בקצה

שתי נקודות: מינימום ב-x=−2x=-2 ומקסימום בקצה x=−3x=-3. מי שסופר רק את אפסי הנגזרת עונה 11.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

התאימו לכל פונקציה את התיאור של הנגזרת שלה.

  • xx+3x\sqrt{x+3}
  • x3−xx\sqrt{3-x}
  • 2x+32\sqrt{x+3}
  • −x−x+3-x-\sqrt{x+3}
  • חיובית ב-x<2x<2, שלילית ב-2<x<32<x<3
  • חיובית בכל התחום
  • שלילית ב-−3<x<−2-3<x<-2, חיובית ב-x>−2x>-2
  • שלילית בכל התחום
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : xx+3x\sqrt{x+3} — שלילית ב-−3<x<−2-3<x<-2, חיובית ב-x>−2x>-2 · x3−xx\sqrt{3-x} — חיובית ב-x<2x<2, שלילית ב-2<x<32<x<3 · 2x+32\sqrt{x+3} — חיובית בכל התחום · −x−x+3-x-\sqrt{x+3} — שלילית בכל התחום

Corrigé :

(x3−x)′=6−3x23−x\left(x\sqrt{3-x}\right)'=\frac{6-3x}{2\sqrt{3-x}}

מתאפסת ב-x=2x=2

(2x+3)′=1x+3>0\left(2\sqrt{x+3}\right)'=\frac{1}{\sqrt{x+3}}>0

תמיד חיובית

(−x−x+3)′=−1−12x+3<0\left(-x-\sqrt{x+3}\right)'=-1-\frac{1}{2\sqrt{x+3}}<0

תמיד שלילית

שתי פונקציות מונוטוניות ושתיים עם קיצון. בכל אחת הסימן של f′f' הוא הסימן של המונה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

נתונה f(x)=xx+3f(x)=x\sqrt{x+3}. הוכיחו או הפריכו: הנקודה (−2, 0)(-2,\,0) נמצאת על הגרף של f′f'.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

f′(−2)=−6+62⋅1=0\begin{aligned}f'(-2) &= \frac{-6+6}{2 \cdot 1} \\ &= 0\end{aligned}

מציבים בנגזרת

הטענה נכונה. (−2,0)(-2,0) על הגרף של f′f', ו-(−2,−2)(-2,-2) על הגרף של ff. אותו xx, שני גרפים, שני גבהים שונים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

נתונה f(x)=(x+a)x+2f(x)=(x+a)\sqrt{x+2}, ו-aa פרמטר. לפונקציה נקודת קיצון ב-x=2x=2. מצאו את aa ואת שיעור ה-yy של נקודת הקיצון.

a=a= ____ , y=y= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : a=a= -10 , y=y= -16

Corrigé :

f′(x)=3x+4+a2x+2f'(x)=\frac{3x+4+a}{2\sqrt{x+2}}

גוזרים עם aa

10+a=0 ⇒ a=−10\begin{aligned}10+a &= 0 \ \Rightarrow \ a \\ &= -10\end{aligned}

f′(2)=0f'(2)=0

f(2)=(2−10)⋅2=−16\begin{aligned}f(2) &= (2-10) \cdot 2 \\ &= -16\end{aligned}

הגובה

a=−10a=-10 ו-y=−16y=-16. את aa מוצאים מ-f′f'; את yy מ-ff, אחרי שמציבים את aa.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

y = f(x)
(−4,0)(0, 4√2)(2,0)-5-4-3-2-10123-6-5-4-3-2-11234567xy

בשרטוט הגרף של f(x)=(x+4)2−xf(x)=(x+4)\sqrt{2-x}. מה נכון לגבי הנגזרת f′f'?

  1. f′(2)=0f'(2)=0
  2. f′(0)f'(0) לא קיימת
  3. f′>0f'>0 ב-x<0x<0 ו-f′<0f'<0 ב-0<x<20<x<2
  4. f′>0f'>0 בכל התחום
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C f′>0f'>0 ב-x<0x<0 ו-f′<0f'<0 ב-0<x<20<x<2

Corrigé :

f′(x)=−3x22−xf'(x)=\frac{-3x}{2\sqrt{2-x}}

הנגזרת

x=0: max⁡x=0: \ \max

בגרף: עולה ואז יורדת

x=2: קצהx=2: \ \text{קצה}

שם הנגזרת לא קיימת

הנכונה: f′>0f'>0 משמאל ל-00 ו-f′<0f'<0 מימין לו. ב-x=0x=0 יש מקסימום פנימי, ושם f′(0)=0f'(0)=0. הנגזרת לא קיימת דווקא בקצה x=2x=2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

נתונה f(x)=x+kx+1f(x)=x+k\sqrt{x+1}, ו-kk פרמטר. לפונקציה נקודת קיצון ב-x=3x=3. מצאו את kk.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -4

Corrigé :

f′(x)=1+k2x+1f'(x)=1+\frac{k}{2\sqrt{x+1}}

הנגזרת

f′(3)=1+k4=0 ⇒ k=−4\begin{aligned}f'(3) &= 1+\frac{k}{4} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ k \\ &= -4\end{aligned}

On remplace (מציבים)

f(3)=3−4⋅2=−5\begin{aligned}f(3) &= 3-4 \cdot 2 \\ &= -5\end{aligned}

מינימום (3, −5)(3,\,-5)

k=−4k=-4. אם k>0k>0 הנגזרת חיובית תמיד ואין קיצון פנימי: לכן הסימן השלילי חייב לצאת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

נתונה f(x)=x6−xf(x)=x\sqrt{6-x}. קוראים את נקודת הקיצון מתוך הנגזרת. שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

f′(x)=12−3x26−xf'(x)=\frac{12-3x}{2\sqrt{6-x}}
x<4: f′(x)>0 ⇒ f↗x<4: \ f'(x)>0 \ \Rightarrow \ f \nearrow
4<x<6: f′(x)<0 ⇒ f↘4<x<6: \ f'(x)<0 \ \Rightarrow \ f \searrow
⇒ min⁡(4, 42)\Rightarrow \ \min\left(4,\,4\sqrt{2}\right)
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : ⇒ min⁡(4, 42)\Rightarrow \ \min\left(4,\,4\sqrt{2}\right) → ⇒ max⁡(4, 42)\Rightarrow \ \max\left(4,\,4\sqrt{2}\right)

Corrigé :

↗ ואז ↘\nearrow \ \text{ואז} \ \searrow

עולה ואז יורדת

f(4)=42f(4)=4\sqrt{2}

הגובה נכון

השורה האחרונה. עולה ואז יורדת זה מקסימום. שתי השורות שלפניה נכונות, והטעות היא רק בשם.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

נתונה f(x)=(x−a)x+1f(x)=(x-a)\sqrt{x+1}, ו-aa פרמטר. המשיק לגרף בנקודה שבה x=0x=0 עובר בנקודה (2, 0)(2,\,0). מצאו את aa.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1

Corrigé :

f(0)=−af(0)=-a

הנקודה (0, −a)(0,\,-a)

f′(x)=3x+2−a2x+1 ⇒ f′(0)=2−a2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{3x+2-a}{2\sqrt{x+1}} \ \Rightarrow \ f'(0) \\ &= \frac{2-a}{2}\end{aligned}

השיפוע

y=−a+2−a2xy=-a+\tfrac{2-a}{2}x

המשיק

0=−a+(2−a) ⇒ a=1\begin{aligned}0 &= -a+(2-a) \ \Rightarrow \ a \\ &= 1\end{aligned}

מציבים (2,0)(2,0)

a=1a=1. הנקודה (2,0)(2,0) על המשיק, לא על הגרף. מי שמציב אותה ב-ff מקבל a=2a=2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

נתונה f(x)=x25−xf(x)=x^2\sqrt{5-x}. בכמה נקודות הגרף של f′f' חותך את ציר ה-xx?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

f′(x)=5x(4−x)25−xf'(x)=\frac{5x(4-x)}{2\sqrt{5-x}}

הנגזרת

x=0 x=4\begin{aligned}x &= 0 \\ \ x &= 4\end{aligned}

אפסי המונה

שתי נקודות. x=5x=5 אינו אחת מהן: שם f′f' לא קיימת, ולגרף שלה אין שם נקודה.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe