On résout ensemble · Fonctions avec racine · Kita יא

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

ארבע שאלות בסגנון שאלת השורש של הבגרות, אחת לכל רעיון: פרמטר מתוך נקודה ואז חקירה, משיק, הזזה של גרף, וקריאת $f$ מתוך הגרף של $f'$ . כל שאלה נפתרת יחד, שלב אחרי שלב. שאלה תאומה מחכה לכם למטה, לפתור לבד.

לפני כל לחיצה, אמרו לעצמכם מה אתם הייתם עושים. הפער בין התוכנית שלכם לבין השלב שמופיע הוא מה שמלמד.

1 — פרמטר מתוך נקודה, ואז חקירה

Activité interactive

נתונה $f(x)=(x-9)\sqrt{x+a}$ , ו- $a$ פרמטר. הגרף עובר בנקודה $(6,\,0)$ . א. מצאו את $a$ . ב. מצאו את תחום ההגדרה ואת נקודות החיתוך עם ציר ה- $x$ . ג. מצאו את נקודות הקיצון וקבעו את סוגן. ד. נתונה $g(x)=f(x)+c$ . עבור איזה $c$ הישר $y=0$ משיק לגרף של $g$ ?

\begin{aligned}f(x) &= (x-9)\sqrt{x+a} \\ \quad (6,\,0)\end{aligned}

לחצו «להתחיל». הנקודה נותנת משוואה אחת, וזה מספיק לפרמטר אחד.

א.

\begin{aligned}(6-9)\sqrt{6+a} &= 0 \ \Rightarrow \ 6+a \\ &= 0 \ \Rightarrow \ a \\ &= -6\end{aligned}

$6-9 \neq 0$ , ולכן השורש הוא שמתאפס.

ב. תחום

\begin{aligned}f(x) &= (x-9)\sqrt{x-6} \ \\ \quad x \geq 6\end{aligned}

הגרף מתחיל בקצה $x=6$ .

ב. ציר x

\begin{aligned}x &= 6 \\ \quad x &= 9\end{aligned}

שני האפסים בתחום.

ג. נגזרת

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2(x-6)+(x-9)}{2\sqrt{x-6}} \\ &= \frac{3x-21}{2\sqrt{x-6}} \ \\ \quad x>6\end{aligned}

מכפלה ומכנה משותף.

ג. חשודות

\begin{aligned}x &= 7 \ \\ \quad f(7) &= -2 \cdot 1 \\ &= -2 \qquad \text{קצה}: \ (6,\,0)\end{aligned}

אפס של המונה, ועוד הקצה.

ג. סוג

f'(6.5)<0 \qquad f'(10)>0

מינימום $(7,\,-2)$ ; מקסימום מקומי בקצה $(6,\,0)$ .

ד.

\begin{aligned}g(7) &= -2+c \\ &= 0 \ \Rightarrow \ c \\ &= 2\end{aligned}

משיק אופקי ל- $g$ רק בנקודת הקיצון הפנימית. $c$ מזיז את הגרף למעלה עד שהמינימום נוגע בציר.

סעיף ד נפתר בלי לגזור שוב: הזזה למעלה לא משנה את ה- $x$ של נקודת הקיצון, רק את הגובה שלה.

Faire l'activité sur elev

למה המשיק של $g$ בקצה $x=6$ לא יכול להיות $y=0$ ?

Voir la réponse et le corrigé

ב- $x=6$ הנגזרת לא קיימת: המונה $3 \cdot 6-21=-3 \neq 0$ והמכנה $0$ . הגרף יוצא מהקצה תלול, ולכן המשיק שם אינו אופקי.

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה.

2 — משוואת משיק ונקודת חיתוך

Activité interactive

המשיק ל- $(x+2)\sqrt{2x+1}$

נתונה $f(x)=(x+2)\sqrt{2x+1}$ . המשיק לגרף בנקודה שבה $x=4$ חותך את ציר ה- $x$ . מצאו את שיעור ה- $x$ של נקודת החיתוך.

$0.4$

$-2$

$4$

$-1$

מה מחשבים קודם?

את הנקודה: $f(4)$

Voir la réponse et le corrigé

משיק צריך נקודה ושיפוע.

פותרים $f(x)=0$

Voir la réponse et le corrigé

זה החיתוך של הגרף עם הציר, לא של המשיק.

\begin{aligned}f(4) &= 6 \cdot \sqrt{9} \\ &= 18\end{aligned}

הנקודה $(4,\,18)$

מהי $f'(x)$ ?

$\frac{3x+3}{\sqrt{2x+1}}$

Voir la réponse et le corrigé

$\sqrt{2x+1}+\frac{x+2}{\sqrt{2x+1}}$ , ומכנה משותף.

$\frac{1}{\sqrt{2x+1}}$

Voir la réponse et le corrigé

זו רק הנגזרת של השורש, בלי כלל המכפלה.

\begin{aligned}f'(4) &= \frac{15}{3} \\ &= 5\end{aligned}

השיפוע

מה משוואת המשיק, ואיפה הוא חותך את ציר ה- $x$ ?

$y=5x-2$ , ומציבים $y=0$

Voir la réponse et le corrigé

$y-18=5(x-4)$ .

$y=18x-67$

Voir la réponse et le corrigé

החלפתם בין הערך לשיפוע.

\begin{aligned}y &= 5x-2 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0.4\end{aligned}

חיתוך המשיק עם ציר $x$

Voir la réponse et le corrigé

התשובה: $x=0.4$ . $-2$ הוא חיתוך הגרף עם הציר. $4$ הוא נקודת ההשקה. $-1$ פותר $f'(x)=0$ : שם המשיק אופקי, וזו שאלה אחרת.

Faire l'activité sur elev

האם המשיק הזה חותך את הגרף שוב, במקום אחר?

Voir la réponse et le corrigé

אפשר לבדוק בנקודה: $f(0)=2$ , ועל המשיק $y(0)=-2$ . הגרף מעל המשיק שם. כדי לענות בוודאות צריך לפתור משוואה עם שורש. בשאלות הבגרות שואלים על נקודת ההשקה ועל חיתוך עם הצירים.

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה.

3 — פרמטר, ואז הזזה של הגרף

Activité interactive

נתונה $f(x)=(x-a)\sqrt{x}$ , ו- $a$ פרמטר. לפונקציה נקודת קיצון ב- $x=4$ . א. מצאו את $a$ . ב. מצאו את נקודת הקיצון וקבעו את סוגה. ג. נתונה $g(x)=f(x+2)$ . מצאו את תחום ההגדרה של $g$ ואת נקודת הקיצון שלה.

\begin{aligned}f(x) &= (x-a)\sqrt{x} \\ \quad f'(4) &= 0\end{aligned}

לחצו «להתחיל». נקודת קיצון פנימית: $f'=0$ .

נגזרת

\begin{aligned}f'(x) &= \sqrt{x}+\frac{x-a}{2\sqrt{x}} \\ &= \frac{3x-a}{2\sqrt{x}}\end{aligned}

הפרמטר נשאר במונה.

א.

\begin{aligned}3 \cdot 4-a &= 0 \ \Rightarrow \ a \\ &= 12\end{aligned}

מציבים $x=4$ במונה.

ב.

\begin{aligned}f(4) &= (4-12) \cdot 2 \\ &= -16 \ ;\quad f'(1)<0 \\ \ f'(9)>0\end{aligned}

מינימום $(4,\,-16)$ .

ג. תחום

\begin{aligned}g(x) &= (x+2-12)\sqrt{x+2} \ \\ \quad x+2 \geq 0 \ \Rightarrow \ x \geq -2\end{aligned}

מציבים $x+2$ במקום $x$ .

ג. קיצון

\begin{aligned}x+2 &= 4 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2 \ \\ \quad g(2) &= f(4) \\ &= -16\end{aligned}

הגרף של $g$ הוא הגרף של $f$ מוזז 2 שמאלה. מינימום $(2,\,-16)$ .

$f(x+2)$ מזיזה שמאלה, לא ימינה. הגובה לא משתנה: רק שיעור ה- $x$ .

Faire l'activité sur elev

מה סוג הנקודה $(-2,\,0)$ בגרף של $g$ ?

Voir la réponse et le corrigé

זו הזזה של הקצה $(0,0)$ של $f$ . $f$ יוצאת מ- $(0,0)$ בירידה אל המינימום, ולכן $(0,0)$ מקסימום מקומי בקצה. אותו דבר ל- $g$ ב- $(-2,0)$ .

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — קוראים את $f$ מתוך הגרף של $f'$

הגרף של f′

הגרף של

f'

עבור

f(x)=x+4\surd(1-x)

, המוגדרת ב-

x \leq 1

. הגרף חותך את ציר ה-

x

ב-

x=-3

וצולל למטה ליד

x=1

Activité interactive

מהגרף של $f'$ אל נקודות הקיצון של $f$

בשרטוט הגרף של $f'$ עבור $f(x)=x+4\sqrt{1-x}$ . מצאו את נקודות הקיצון של $f$ וקבעו את סוגן. נתונה $g(x)=-f(x)$ . מה סוג נקודת הקיצון של $g$ ב- $x=-3$ ?

$f$ : מקסימום $(-3,5)$ , מינימום בקצה $(1,1)$ ; $g$ : מינימום ב- $x=-3$

$f$ : מינימום $(-3,5)$ ; $g$ : מקסימום ב- $x=-3$

$f$ : מקסימום $(-3,5)$ בלבד; $g$ : מקסימום ב- $x=-3$

$f$ : אין קיצון, כי $f'$ רק יורדת

מה הסימן של $f'$ משני צדי $x=-3$ ?

מ- $+$ ל- $-$

Voir la réponse et le corrigé

משמאל הקו מעל הציר, מימין מתחתיו.

אין החלפת סימן, כי $f'$ יורדת כל הזמן

Voir la réponse et le corrigé

$f'$ יורדת, אבל עוברת מחיובי לשלילי.

\begin{aligned}x &= -3: \ + \to - \ \Rightarrow \ \max \\ \quad f(-3) &= -3+8 \\ &= 5\end{aligned}

מקסימום $(-3,\,5)$

ומה עם הקצה $x=1$ ?

מינימום: $f$ מגיעה אליו בירידה

Voir la réponse et le corrigé

ב- $-3<x<1$ הנגזרת שלילית.

לא נקודת קיצון, כי $f'(1)$ לא קיימת

Voir la réponse et le corrigé

קצה שבו $f'$ לא קיימת הוא נקודה חשודה.

\begin{aligned}f(1) &= 1+0 \\ &= 1\end{aligned}

מינימום בקצה $(1,\,1)$

מה קורה לנקודה $x=-3$ ב- $g=-f$ ?

היא הופכת למינימום

Voir la réponse et le corrigé

שיקוף בציר ה- $x$ הופך מקסימום למינימום.

היא נשארת מקסימום

Voir la réponse et le corrigé

$g'=-f'$ : כל הסימנים מתהפכים.

g'(x)=-f'(x): \ - \to + \ \Rightarrow \ \min(-3,\,-5)

מינימום של $g$

Voir la réponse et le corrigé

התשובה: ל- $f$ מקסימום $(-3,5)$ ומינימום בקצה $(1,1)$ ; ל- $g$ מינימום ב- $x=-3$ . מי שבחר «אין קיצון» קרא את הכיוון של $f'$ במקום את הסימן שלה. ומי שבחר «מקסימום $(-3,5)$ בלבד» שכח את הקצה.

Faire l'activité sur elev

איפה נמצא הגרף של $-f'$ ביחס לגרף בשרטוט?

Voir la réponse et le corrigé

הוא השיקוף שלו בציר ה- $x$ : עובר ב- $(-3,0)$ , שלילי משמאל וחיובי מימין. בבגרות מבקשים לפעמים לזהות איזה משני הגרפים הוא $f'$ : בודקים סימן בנקודה אחת, למשל $f'(0)=1-2=-1<0$ .

השאלה התאומה: שאלה 4 ברשימה למטה, ושאלה 5 מוסיפה את $g=-f$ .

Exercices

Exercice 1

נתונה $f(x)=(x-7)\sqrt{x+a}$ , ו- $a$ פרמטר. הגרף עובר בנקודה $(4,\,0)$ . מצאו את $a$ ואת נקודת המינימום של הפונקציה.

$a=$ ____ ; מינימום: $x=$ ____ , $y=$ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $a=$ -4 ; מינימום: $x=$ 5 , $y=$ -2

Corrigé :

\begin{aligned}(4-7)\sqrt{4+a} &= 0 \ \Rightarrow \ a \\ &= -4\end{aligned}

השורש מתאפס

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2(x-4)+(x-7)}{2\sqrt{x-4}} \\ &= \frac{3x-15}{2\sqrt{x-4}}\end{aligned}

הנגזרת

\begin{aligned}x &= 5 \ ;\quad f(5) \\ &= -2 \cdot 1 \\ &= -2\end{aligned}

מ- $-$ ל- $+$ : מינימום

$a=-4$ ומינימום $(5,\,-2)$ . הקצה $(4,0)$ הוא מקסימום מקומי. $a=4$ היה נותן $\sqrt{8}$ , לא $0$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתונה $f(x)=(x-1)\sqrt{2x+1}$ . המשיק לגרף בנקודה שבה $x=4$ חותך את ציר ה- $y$ . מצאו את שיעור ה- $y$ של נקודת החיתוך.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -7

Corrigé :

\begin{aligned}f(4) &= 3 \cdot 3 \\ &= 9\end{aligned}

הנקודה $(4,\,9)$

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{(2x+1)+(x-1)}{\sqrt{2x+1}} \\ &= \frac{3x}{\sqrt{2x+1}} \ \Rightarrow \ f'(4) \\ &= 4\end{aligned}

השיפוע

\begin{aligned}y-9 &= 4(x-4) \ \Rightarrow \ y \\ &= 4x-7\end{aligned}

המשיק

\begin{aligned}x &= 0 \ \Rightarrow \ y \\ &= -7\end{aligned}

חיתוך עם ציר $y$

$-7$ . זה לא $f(0)=-1$ : המשיק והגרף נפגשים רק ב- $x=4$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתונה $f(x)=(x-a)\sqrt{x}$ , ו- $a$ פרמטר. לפונקציה נקודת קיצון ב- $x=1$ . נתונה $g(x)=f(x-3)$ . מצאו את $a$ , את שיעור ה- $x$ של נקודת הקיצון של $g$ , ואת תחום ההגדרה של $g$ .

$a=$ ____ ; קיצון של $g$ ב- $x=$ ____ ; תחום: $x \geq$ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $a=$ 3 ; קיצון של $g$ ב- $x=$ 4 ; תחום: $x \geq$ 3

Corrigé :

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{3x-a}{2\sqrt{x}} \ \Rightarrow \ 3-a \\ &= 0 \ \Rightarrow \ a \\ &= 3\end{aligned}

מציבים $x=1$

\begin{aligned}x-3 &= 1 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4\end{aligned}

הזזה 3 ימינה

x-3 \geq 0 \ \Rightarrow \ x \geq 3

התחום זז איתו

$a=3$ , קיצון של $g$ ב- $x=4$ , תחום $x \geq 3$ . $f(x-3)$ מזיזה ימינה: מי שעונה $x=-2$ הזיז לכיוון הלא נכון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

הגרף של f′

בשרטוט הגרף של $f'$ , הנגזרת של פונקציה $f$ המוגדרת ב- $x \leq 4$ . הגרף חותך את ציר ה- $x$ רק ב- $x=3$ . מה נכון לגבי $f$ ?

מקסימום ב- $x=3$ בלבד
מינימום ב- $x=3$ ומקסימום בקצה $x=4$
אין לה נקודות קיצון, כי $f'$ יורדת
מקסימום ב- $x=3$ ומינימום בקצה $x=4$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D מקסימום ב- $x=3$ ומינימום בקצה $x=4$

Corrigé :

x<3: \ f'>0 \qquad 3<x<4: \ f'<0

קוראים סימנים

x=3: \ + \to - \ \Rightarrow \ \max

קיצון פנימי

x=4: \ \text{קצה} \ \Rightarrow \ \min

מגיעה אליו בירידה

הנכונה: מקסימום ב- $x=3$ ומינימום בקצה $x=4$ . זו הנגזרת של $f(x)=x+2\sqrt{4-x}$ : מקסימום $(3,\,5)$ ומינימום בקצה $(4,\,4)$ . «מקסימום בלבד» שכח את הקצה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

נתונה $f(x)=x+2\sqrt{4-x}$ , ונתונה $g(x)=-f(x)$ . מהו הערך הקטן ביותר של $g$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -5

Corrigé :

\begin{aligned}f'(x) &= 1-\frac{1}{\sqrt{4-x}} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3\end{aligned}

הקיצון של $f$

\begin{aligned}f(3) &= 3+2 \\ &= 5 \ \\ \quad f(4) &= 4\end{aligned}

מקסימום ב- $x=3$ , מינימום בקצה

g(3)=-5

שיקוף: המקסימום של $f$ הוא המינימום של $g$

הערך הקטן ביותר של $g$ הוא $-5$ . הוא מוחלט, כי $5$ הוא הערך הגדול ביותר של $f$ : כש- $x$ קטן בלי גבול, גם $f$ קטנה בלי גבול.

Vérifier la réponse sur elev

1 — פרמטר מתוך נקודה, ואז חקירה

2 — משוואת משיק ונקודת חיתוך

3 — פרמטר, ואז הזזה של הגרף

4 — קוראים את fff מתוך הגרף של f′f'f′

Exercices

La suite se pratique sur elev

4 — קוראים את $f$ מתוך הגרף של $f'$