La dérivée de g·√f

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

בכיתה י גזרנו x+3\sqrt{x+3}: גרף שמתחיל בנקודה אחת ורק עולה. עכשיו נכפול אותו בגורם xx. הסתכלו מה קורה לגרף לפני שגוזרים משהו.

y = x√(x + 3)
(−3,0)(−2,−2)(0,0)אין גרף-4-3-2-10123-3-2-11234567xy
הגרף מתחיל ב-(−3,0)(-3,0), יורד עד (−2,−2)(-2,-2), ורק אחר כך עולה ועובר ב-(0,0)(0,0). ל-√(x+3)\surd(x+3) לבד אין ירידה כזו: הגורם xx הוא שיצר אותה.

לפי הגרף: מאיזה xx הפונקציה מוגדרת, ולמה הגרף מתחת לציר ה-xx בין −3-3 ל-00?

Voir la réponse et le corrigé

התחום הוא x≥−3x \geq -3, כמו של השורש לבדו. בין −3-3 ל-00 הגורם xx שלילי והשורש חיובי, ולכן המכפלה שלילית. ב-x=0x=0 הגורם מתאפס והגרף חוצה את הציר.

תחום ההגדרה ונקודות האפס של g(x)ax+bg(x)\sqrt{ax+b}

gg הוא פולינום, והוא מוגדר לכל xx. לכן התחום נקבע רק על ידי השורש: ax+b≥0ax+b \geq 0. מכפלה מתאפסת כשאחד הגורמים מתאפס, אבל רק אם הנקודה בתחום.

xx+3 : x≥−3x\sqrt{x+3} \ : \ x \geq -3

אפסים: x=0x=0 ו-x=−3x=-3

(x−5)2x+4 : x≥−2(x-5)\sqrt{2x+4} \ : \ x \geq -2

אפסים: x=5x=5 ו-x=−2x=-2

(x+4)1−x : x≤1(x+4)\sqrt{1-x} \ : \ x \leq 1

אפסים: x=−4x=-4 ו-x=1x=1

(x−6)2−x : x≤2(x-6)\sqrt{2-x} \ : \ x \leq 2

אפס אחד בלבד, x=2x=2. הערך x=6x=6 מחוץ לתחום

גוזרים: כלל המכפלה, ובתוכו כלל השרשרת

(g⋅f)′=g′⋅f+g⋅f′2f\left(g \cdot \sqrt{f}\right)' = g' \cdot \sqrt{f} + g \cdot \frac{f'}{2\sqrt{f}}
(ax+b)′=a2ax+b\left(\sqrt{ax+b}\right)' = \frac{a}{2\sqrt{ax+b}}

הנגזרת הפנימית aa עולה למונה, עם הסימן שלה

אחרי הגזירה מביאים למכנה משותף 2f2\sqrt{f}. כך מתקבל שבר אחד, והנגזרת מתאפסת בדיוק כשהמונה מתאפס.

גוזרים ומכנסים

נתונה f(x)=(x−2)x+1f(x)=(x-2)\sqrt{x+1}. מצאו את f′(x)f'(x) כשבר אחד, ומצאו איפה היא מתאפסת.

f′(x)=1⋅x+1+(x−2)⋅12x+1f'(x)=1 \cdot \sqrt{x+1}+(x-2) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x+1}}

כלל המכפלה

=2(x+1)+(x−2)2x+1=\frac{2(x+1)+(x-2)}{2\sqrt{x+1}}

מכנה משותף: x+1⋅2x+1=2(x+1)\sqrt{x+1} \cdot 2\sqrt{x+1}=2(x+1)

=3x2x+1 ,x>−1=\frac{3x}{2\sqrt{x+1}} \ ,\quad x>-1

מכנסים את המונה

f′(x)=0 ⇒ 3x=0 ⇒ x=0\begin{aligned}f'(x) &= 0 \ \Rightarrow \ 3x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0\end{aligned}

המונה מתאפס. x=0x=0 בתחום

למה כתבנו x>−1x>-1 ולא x≥−1x \geq -1 ליד הנגזרת?

Voir la réponse et le corrigé

ב-x=−1x=-1 המכנה 2x+12\sqrt{x+1} הוא 00. הפונקציה מוגדרת שם, f(−1)=0f(-1)=0, אבל הנגזרת לא. על הנקודה הזו נדבר ביחידה הבאה.

כש-gg ממעלה שנייה

הדרך זהה. רק שהמונה יוצא ממעלה שנייה, ולעתים קרובות אפשר להוציא ממנו גורם משותף.

נגזרת של x25−xx^2\sqrt{5-x}

נתונה f(x)=x25−xf(x)=x^2\sqrt{5-x}. מצאו את f′(x)f'(x) ואת האפסים שלה.

f′(x)=2x5−x+x2⋅−125−xf'(x)=2x\sqrt{5-x}+x^2 \cdot \frac{-1}{2\sqrt{5-x}}

הנגזרת הפנימית של 5−x5-x היא −1-1

=4x(5−x)−x225−x=20x−5x225−x=\frac{4x(5-x)-x^2}{2\sqrt{5-x}}=\frac{20x-5x^2}{2\sqrt{5-x}}

מכנה משותף

=5x(4−x)25−x ,x<5=\frac{5x(4-x)}{2\sqrt{5-x}} \ ,\quad x<5

גורם משותף 5x5x

x=0 x=4\begin{aligned}x &= 0 \ \\ \quad x &= 4\end{aligned}

שני האפסים, ושניהם בתחום x≤5x \leq 5

נתונה f(x)=x+2x+1f(x)=x+\sqrt{2x+1}, סכום ולא מכפלה. מהי f′(x)f'(x)?

Voir la réponse et le corrigé

f′(x)=1+12x+1f'(x)=1+\frac{1}{\sqrt{2x+1}}. בסכום גוזרים כל מחובר לחוד, בלי כלל המכפלה. הנגזרת חיובית בכל x>−12x>-\frac{1}{2}, ולכן הפונקציה עולה בכל התחום.

תבנית שכדאי לזכור: אחרי מכנה משותף, הנגזרת של gax+bg\sqrt{ax+b} היא תמיד פולינום חלקי 2ax+b2\sqrt{ax+b}. הסימן של המכנה חיובי, ולכן הסימן של f′f' הוא הסימן של המונה.

שלוש טעויות בגזירת מכפלה עם שורש.

(5−x)′=125−x\left(\sqrt{5-x}\right)'=\frac{1}{2\sqrt{5-x}}
(5−x)′=−125−x\left(\sqrt{5-x}\right)'=\frac{-1}{2\sqrt{5-x}}

הנגזרת הפנימית של 5−x5-x היא −1-1. בלי המינוס, כל הסימנים של f′f' מתהפכים.

(xx+3)′=1⋅12x+3\left(x\sqrt{x+3}\right)'=1 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x+3}}
x+3+x2x+3\sqrt{x+3}+\frac{x}{2\sqrt{x+3}}

מכפלה נגזרת בכלל המכפלה: שני מחוברים.

x+1+x−22x+1=2x+1+x−22x+1\sqrt{x+1}+\frac{x-2}{2\sqrt{x+1}}=\frac{2\sqrt{x+1}+x-2}{2\sqrt{x+1}}
=2(x+1)+x−22x+1=\frac{2(x+1)+x-2}{2\sqrt{x+1}}

במכנה משותף כופלים את x+1\sqrt{x+1} ב-2x+12\sqrt{x+1}, ומקבלים 2(x+1)2(x+1), בלי שורש.

Exercices

Exercice 1

מהו תחום ההגדרה של f(x)=(x+5)12−3xf(x)=(x+5)\sqrt{12-3x}?

  1. x≥−5x \geq -5
  2. x≥4x \geq 4
  3. −5≤x≤4-5 \leq x \leq 4
  4. x≤4x \leq 4
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D x≤4x \leq 4

Corrigé :

12−3x≥0 ⇒ x≤412-3x \geq 0 \ \Rightarrow \ x \leq 4

רק השורש מגביל

x+5x+5

פולינום: מוגדר לכל xx

הנכונה: x≤4x \leq 4. x≥−5x \geq -5 מגיע מהגורם x+5x+5, אבל פולינום לא מגביל את התחום. x≥4x \geq 4 שכח להפוך את הכיוון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתונה f(x)=(x−6)2−xf(x)=(x-6)\sqrt{2-x}. באילו נקודות הגרף חותך את ציר ה-xx?

  1. רק ב-x=2x=2
  2. אין נקודות חיתוך
  3. ב-x=6x=6 וב-x=2x=2
  4. רק ב-x=6x=6
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A רק ב-x=2x=2

Corrigé :

2−x≥0 ⇒ x≤22-x \geq 0 \ \Rightarrow \ x \leq 2

Domaine de définition

x−6=0 ⇒ x=6∉תחום\begin{aligned}x-6 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 6 \notin \text{תחום}\end{aligned}

נפסל

2−x=0 ⇒ x=2\begin{aligned}\sqrt{2-x} &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

נקודה בתחום

הנכונה: רק x=2x=2. מי שבחר גם x=6x=6 לא בדק את התחום: שם השורש −4\sqrt{-4} לא מוגדר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתונה f(x)=xx+5f(x)=x\sqrt{x+5}. חשבו את f′(−1)f'(-1).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1.75

Corrigé :

f′(x)=x+5+x2x+5=3x+102x+5\begin{aligned}f'(x) &= \sqrt{x+5}+\frac{x}{2\sqrt{x+5}} \\ &= \frac{3x+10}{2\sqrt{x+5}}\end{aligned}

כלל המכפלה ומכנה משותף

f′(−1)=72⋅2=74=1.75\begin{aligned}f'(-1) &= \frac{7}{2 \cdot 2} \\ &= \frac{7}{4} \\ &= 1.75\end{aligned}

On remplace (מציבים)

f′(−1)=1.75f'(-1)=1.75. מי שקיבל 22 הציב רק במחובר הראשון, 4\sqrt{4}, ושכח את x2x+5\frac{x}{2\sqrt{x+5}}.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

נתונה f(x)=(x+3)1−xf(x)=(x+3)\sqrt{1-x}. מהי f′(x)f'(x)?

  1. 5−x21−x\frac{5-x}{2\sqrt{1-x}}
  2. −3x+521−x\frac{-3x+5}{2\sqrt{1-x}}
  3. −121−x\frac{-1}{2\sqrt{1-x}}
  4. −3x−121−x\frac{-3x-1}{2\sqrt{1-x}}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D −3x−121−x\frac{-3x-1}{2\sqrt{1-x}}

Corrigé :

f′(x)=1−x+(x+3)⋅−121−xf'(x)=\sqrt{1-x}+(x+3) \cdot \frac{-1}{2\sqrt{1-x}}

כלל המכפלה; הנגזרת הפנימית −1-1

=2(1−x)−(x+3)21−x=−3x−121−x=\frac{2(1-x)-(x+3)}{2\sqrt{1-x}}=\frac{-3x-1}{2\sqrt{1-x}}

מכנה משותף

הנכונה: −3x−121−x\frac{-3x-1}{2\sqrt{1-x}}. 5−x21−x\frac{5-x}{2\sqrt{1-x}} שכחה את ה-−1-1 של הנגזרת הפנימית. −121−x\frac{-1}{2\sqrt{1-x}} כפלה את הנגזרות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

נתונה f(x)=x2x+5f(x)=x^2\sqrt{x+5}. מצאו את הערכים של xx שבהם f′(x)=0f'(x)=0.

הקטן: x=x= ____ , הגדול: x=x= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : הקטן: x=x= -4 , הגדול: x=x= 0

Corrigé :

f′(x)=2xx+5+x22x+5=4x(x+5)+x22x+5\begin{aligned}f'(x) &= 2x\sqrt{x+5}+\frac{x^2}{2\sqrt{x+5}} \\ &= \frac{4x(x+5)+x^2}{2\sqrt{x+5}}\end{aligned}

מכפלה ומכנה משותף

=5x2+20x2x+5=5x(x+4)2x+5=\frac{5x^2+20x}{2\sqrt{x+5}}=\frac{5x(x+4)}{2\sqrt{x+5}}

גורם משותף

x=0 x=−4\begin{aligned}x &= 0 \ \\ \quad x &= -4\end{aligned}

שניהם בתחום x>−5x>-5

שני אפסים, −4-4 ו-00. מי שמצמצם ב-xx לפני שפותר מאבד את x=0x=0.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

נתונה f(x)=x+41−xf(x)=x+4\sqrt{1-x}. באיזה xx מתקיים f′(x)=0f'(x)=0?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -3

Corrigé :

f′(x)=1+4⋅−121−x=1−21−x\begin{aligned}f'(x) &= 1+4 \cdot \frac{-1}{2\sqrt{1-x}} \\ &= 1-\frac{2}{\sqrt{1-x}}\end{aligned}

סכום: גוזרים כל מחובר

1−x=2 ⇒ 1−x=4 ⇒ x=−3\begin{aligned}\sqrt{1-x} &= 2 \ \Rightarrow \ 1-x \\ &= 4 \ \Rightarrow \ x \\ &= -3\end{aligned}

משוואה

f′(−3)=1−22=0\begin{aligned}f'(-3) &= 1-\frac{2}{2} \\ &= 0\end{aligned}

בדיקה ✓

x=−3x=-3. בסכום אין כלל מכפלה, אבל יש כלל שרשרת: בלי ה-−1-1 מתקבל 1+21−x1+\frac{2}{\sqrt{1-x}}, שלא מתאפס לעולם.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

גוזרים את f(x)=(x−7)x+2f(x)=(x-7)\sqrt{x+2}. שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

f′(x)=x+2+x−72x+2f'(x)=\sqrt{x+2}+\frac{x-7}{2\sqrt{x+2}}
=2x+2+x−72x+2=\frac{2\sqrt{x+2}+x-7}{2\sqrt{x+2}}
=3x−32x+2=\frac{3x-3}{2\sqrt{x+2}}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : =2x+2+x−72x+2=\frac{2\sqrt{x+2}+x-7}{2\sqrt{x+2}} → =2(x+2)+x−72x+2=\frac{2(x+2)+x-7}{2\sqrt{x+2}}

Corrigé :

x+2⋅2x+2=2(x+2)\sqrt{x+2} \cdot 2\sqrt{x+2}=2(x+2)

מה שקורה במכנה משותף

2x+4+x−7=3x−32x+4+x-7=3x-3

ואז השורה השלישית נכונה

השורה השנייה. כדי להגיע למכנה 2x+22\sqrt{x+2} כופלים את x+2\sqrt{x+2} ב-2x+22\sqrt{x+2}, והשורש נעלם: 2(x+2)2(x+2).

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

הוכיחו או הפריכו: לפונקציה f(x)=(x2−9)x+1f(x)=(x^2-9)\sqrt{x+1} ולנגזרת שלה f′(x)f'(x) יש אותו תחום הגדרה, x≥−1x \geq -1.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

f′(x)=2xx+1+x2−92x+1f'(x)=2x\sqrt{x+1}+\frac{x^2-9}{2\sqrt{x+1}}

יש שורש במכנה

x=−1: 2x+1=0\begin{aligned}x &= -1: \ 2\sqrt{x+1} \\ &= 0\end{aligned}

המכנה מתאפס

x2−9=−8≠0x^2-9=-8 \neq 0

והמונה לא

הטענה לא נכונה. f(−1)=0f(-1)=0, אבל f′(−1)f'(-1) לא מוגדרת. התחום של f′f' הוא x>−1x>-1: בלי הקצה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

התאימו לכל פונקציה את הנגזרת שלה.

  • xx+3x\sqrt{x+3}
  • x3−xx\sqrt{3-x}
  • x+x+3x+\sqrt{x+3}
  • x2x+3x^2\sqrt{x+3}
  • 3x+62x+3\frac{3x+6}{2\sqrt{x+3}}
  • 6−3x23−x\frac{6-3x}{2\sqrt{3-x}}
  • x(5x+12)2x+3\frac{x(5x+12)}{2\sqrt{x+3}}
  • 1+12x+31+\frac{1}{2\sqrt{x+3}}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : xx+3x\sqrt{x+3} — 3x+62x+3\frac{3x+6}{2\sqrt{x+3}} · x3−xx\sqrt{3-x} — 6−3x23−x\frac{6-3x}{2\sqrt{3-x}} · x+x+3x+\sqrt{x+3} — 1+12x+31+\frac{1}{2\sqrt{x+3}} · x2x+3x^2\sqrt{x+3} — x(5x+12)2x+3\frac{x(5x+12)}{2\sqrt{x+3}}

Corrigé :

(x3−x)′=2(3−x)−x23−x\left(x\sqrt{3-x}\right)'=\frac{2(3-x)-x}{2\sqrt{3-x}}

המינוס מ-3−x3-x

(x2x+3)′=4x(x+3)+x22x+3\left(x^2\sqrt{x+3}\right)'=\frac{4x(x+3)+x^2}{2\sqrt{x+3}}

2x2x כפול 2(x+3)2(x+3)

הסכום x+x+3x+\sqrt{x+3} הוא היחיד שנגזרתו אינה שבר אחד: בסכום אין כלל מכפלה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

נתונה f(x)=(x+a)x+4f(x)=(x+a)\sqrt{x+4}, ו-aa פרמטר. ידוע ש-f′(5)=4f'(5)=4. מצאו את aa.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1

Corrigé :

f′(x)=2(x+4)+(x+a)2x+4=3x+8+a2x+4\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2(x+4)+(x+a)}{2\sqrt{x+4}} \\ &= \frac{3x+8+a}{2\sqrt{x+4}}\end{aligned}

גוזרים עם הפרמטר

f′(5)=23+a6=4 ⇒ a=1\begin{aligned}f'(5) &= \frac{23+a}{6} \\ &= 4 \ \Rightarrow \ a \\ &= 1\end{aligned}

מציבים x=5x=5: 9=3\sqrt{9}=3

a=1a=1. שימו לב: הנתון הוא על הנגזרת. מי שמציב ב-ff פותר (5+a)⋅3=4(5+a) \cdot 3=4 ומקבל תשובה אחרת.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe