Série 2 — moyen

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

עשר שאלות של שניים-שלושה צעדים: סכומים, קיצון של פונקציה צוברת, זהויות טריגונומטריות בתוך אינטגרל, שטח בין שני גרפים, רמז של כלל השרשרת, ספיקה ודרך.

בכל שטח ובכל דרך: איפה הפונקציה מחליפה סימן? זו הנקודה שבה מחלקים את הקטע. ובכל פונקציה צוברת: F ′=fF\,'=f, בלי לחשב אינטגרל.

Exercices

Exercice 1

נתונה f(x)=x3f(x)=x^3 בקטע [0, 2][0,\,2]. מחלקים את הקטע ל-44 חלקים שווים. השלימו.

s4=s_4= ____ ; S4=S_4= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : s4=s_4= 2.25 ; S4=S_4= 6.25

Corrigé :

Δx=0.5;f: 0 0.125 1 3.375 8\begin{aligned}\Delta x &= 0.5 ;\quad f: \ 0 \\ \ 0.125 \\ \ 1 \\ \ 3.375 \\ \ 8\end{aligned}

חמש נקודות

s4=0.5⋅(0+0.125+1+3.375)=2.25\begin{aligned}s_4 &= 0.5 \cdot (0+0.125+1+3.375) \\ &= 2.25\end{aligned}

תחתון

S4=0.5⋅(0.125+1+3.375+8)=6.25\begin{aligned}S_4 &= 0.5 \cdot (0.125+1+3.375+8) \\ &= 6.25\end{aligned}

עליון

S4−s4=0.5⋅8=4\begin{aligned}S_4-s_4 &= 0.5 \cdot 8 \\ &= 4\end{aligned}

בדיקה מהירה

האינטגרל ∫02x3 dx=4\int_0^2 x^3\,dx=4 נמצא בין 2.252.25 ל-6.256.25 ✓. הפער הגדול מראה ש-44 חלקים עדיין מעט.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתונה F(x)=∫0x(t2−4t) dtF(x)=\int_0^x (t^2-4t)\,dt. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה. השלימו.

מינימום ב-x=x= ____ ; ערך המינימום: ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : מינימום ב-x=x= 4 ; ערך המינימום: -10.67

Corrigé :

F ′(x)=x2−4x=x(x−4)\begin{aligned}F\,'(x) &= x^2-4x \\ &= x(x-4)\end{aligned}

המשפט היסודי

F ′(1)=−3<0F ′(5)=5>0\begin{aligned}F\,'(1) &= -3<0 \qquad F\,'(5) \\ &= 5>0\end{aligned}

ב-x=4x=4: מ-−- ל-++

F(4)=643−32=−323≈−10.67\begin{aligned}F(4) &= \tfrac{64}{3}-32 \\ &= -\tfrac{32}{3} \approx -10.67\end{aligned}

F(x)=x33−2x2F(x)=\frac{x^3}{3}-2x^2

ב-x=0x=0 יש מקסימום (F ′F\,' עוברת מ-++ ל-−-). מי שבחר x=2x=2 בחר את המינימום של ff, לא של FF.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

היעזרו בזהות sin⁡xcos⁡x=12sin⁡2x\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin 2x וחשבו את ∫0π/2sin⁡xcos⁡x dx\int_0^{\pi/2}\sin x\cos x\,dx.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.5

Corrigé :

∫12sin⁡2x dx=−14cos⁡2x\int \tfrac{1}{2}\sin 2x\,dx=-\tfrac{1}{4}\cos 2x

ארגומנט ליניארי

−14cos⁡π+14cos⁡0=14+14=0.5\begin{aligned}-\tfrac{1}{4}\cos\pi+\tfrac{1}{4}\cos 0 &= \tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{4} \\ &= 0.5\end{aligned}

On remplace (מציבים)

דרך שנייה: sin⁡x\sin x הוא gg ו-cos⁡x\cos x הוא g′g', ולכן הקדומה sin⁡2x2\frac{\sin^2 x}{2}, ו-12−0=0.5\frac{1}{2}-0=0.5. שתי הדרכים חייבות להסכים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

היעזרו בזהות sin⁡2x=1−cos⁡2x2\sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2} וחשבו את ∫0πsin⁡2x dx\int_0^{\pi}\sin^2 x\,dx. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1.57

Corrigé :

∫1−cos⁡2x2 dx=x2−sin⁡2x4\int \frac{1-\cos 2x}{2}\,dx=\frac{x}{2}-\frac{\sin 2x}{4}

קדומה

π2−0−(0−0)=π2≈1.57\frac{\pi}{2}-0-(0-0)=\frac{\pi}{2} \approx 1.57

sin⁡2π=sin⁡0=0\sin 2\pi=\sin 0=0

אין כלל ישיר ל-sin⁡2x\sin^2 x: sin⁡3x3\frac{\sin^3 x}{3} לא קדומה שלו (בגזירה יוצא sin⁡2xcos⁡x\sin^2 x \cos x). הזהות היא הדרך.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

חשבו את השטח המוגבל בין הגרפים של y=sin⁡xy=\sin x ו-y=cos⁡xy=\cos x בקטע [π4, 5π4]\left[\frac{\pi}{4},\,\frac{5\pi}{4}\right]. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2.83

Corrigé :

sin⁡x=cos⁡x ⇒ x=π4 5π4\begin{aligned}\sin x &= \cos x \ \Rightarrow \ x \\ &= \tfrac{\pi}{4} \\ \ \tfrac{5\pi}{4}\end{aligned}

שתי נקודות חיתוך סמוכות

x=π2: sin⁡x=1>cos⁡x=0\begin{aligned}x &= \tfrac{\pi}{2}: \ \sin x \\ &= 1>\cos x \\ &= 0\end{aligned}

העליון: sin⁡x\sin x

∫π/45π/4(sin⁡x−cos⁡x) dx=[−cos⁡x−sin⁡x]π/45π/4=2+2\begin{aligned}\int_{\pi/4}^{5\pi/4}(\sin x-\cos x)\,dx &= \big[-\cos x-\sin x\big]_{\pi/4}^{5\pi/4} \\ &= \sqrt{2}+\sqrt{2}\end{aligned}

עליון פחות תחתון

22≈2.832\sqrt{2} \approx 2.83

השטח

cos⁡5π4=sin⁡5π4=−22\cos\frac{5\pi}{4}=\sin\frac{5\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}. טעות בסימן אחד כאן נותנת 00.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

גזרו את 1x2+1\frac{1}{x^2+1}, והיעזרו בתוצאה כדי למצוא את ∫x(x2+1)2 dx\int \frac{x}{(x^2+1)^2}\,dx.

  1. 12(x2+1)+C\frac{1}{2(x^2+1)}+C
  2. x22(x2+1)2+C\frac{x^2}{2(x^2+1)^2}+C
  3. −2x2+1+C-\frac{2}{x^2+1}+C
  4. −12(x2+1)+C-\frac{1}{2(x^2+1)}+C
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D −12(x2+1)+C-\frac{1}{2(x^2+1)}+C

Corrigé :

(1x2+1)′=−2x(x2+1)2\Big(\frac{1}{x^2+1}\Big)'=-\frac{2x}{(x^2+1)^2}

הרמז

x(x2+1)2=−12⋅(1x2+1)′\frac{x}{(x^2+1)^2}=-\frac{1}{2}\cdot\Big(\frac{1}{x^2+1}\Big)'

חסר גורם −2-2

∫x(x2+1)2 dx=−12(x2+1)+C\int \frac{x}{(x^2+1)^2}\,dx=-\frac{1}{2(x^2+1)}+C

הקדומה

הנכונה: −12(x2+1)+C-\frac{1}{2(x^2+1)}+C. הרמז נותן −2x-2x, ובתוך האינטגרל יש רק xx: מחלקים ב-−2-2, גם בסימן.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

מבריכה שבה 400400 ליטר, זורמים מים בקצב r(t)=30−6tr(t)=30-6t ליטר לדקה, כאשר 0≤t≤100 \leq t \leq 10 (חיובי: נכנסים, שלילי: יוצאים). השלימו.

כמות המים הגדולה ביותר ב-t=t= ____ , והיא ____ ליטר ; ב-t=10t=10 יש בבריכה ____ ליטר

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : כמות המים הגדולה ביותר ב-t=t= 5 , והיא 475 ליטר ; ב-t=10t=10 יש בבריכה 400 ליטר

Corrigé :

r(t)=0 ⇒ t=5\begin{aligned}r(t) &= 0 \ \Rightarrow \ t \\ &= 5\end{aligned}

עד t=5t=5 נכנסים מים, אחר כך יוצאים

∫05(30−6t) dt=150−75=75\begin{aligned}\int_0^5 (30-6t)\,dt &= 150-75 \\ &= 75\end{aligned}

נוספו 7575 ליטר

∫010(30−6t) dt=300−300=0\begin{aligned}\int_0^{10}(30-6t)\,dt &= 300-300 \\ &= 0\end{aligned}

אחרי 1010 דקות: אותה כמות כמו בהתחלה

האינטגרל נותן שינוי. את 400400 ההתחלתיים מוסיפים בנפרד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

מהו הערך הממוצע של f(x)=sin⁡2xf(x)=\sin 2x בקטע [0, π2]\left[0,\,\frac{\pi}{2}\right]? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.64

Corrigé :

∫0π/2sin⁡2x dx=1\int_0^{\pi/2}\sin 2x\,dx=1

האינטגרל

fˉ=1π/2=2π≈0.64\begin{aligned}\bar{f} &= \frac{1}{\pi/2} \\ &= \frac{2}{\pi} \approx 0.64\end{aligned}

מחלקים באורך הקטע

מי שענה 11 לא חילק באורך הקטע π2\frac{\pi}{2}.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

הוכיחו או הפריכו: אם ff עולה בכל תחום ההגדרה שלה, אז הגרף של F(x)=∫0xf(t) dtF(x)=\int_0^x f(t)\,dt קעור כלפי מעלה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

F ′=f ⇒ F ′′=f ′\begin{aligned}F\,' &= f \ \Rightarrow \ F\,'' \\ &= f\,'\end{aligned}

המשפט היסודי, פעמיים

f ↗ ⇒ F ′′>0f \ \nearrow \ \Rightarrow \ F\,''>0

קעירות כלפי מעלה

הטענה נכונה. הכיוון של ff קובע את הקעירות של FF, והסימן של ff קובע את הכיוון של FF. שני דברים שונים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

נקודה נעה על ישר במהירות v(t)=6cos⁡2tv(t)=6\cos 2t (מ׳/ש׳). איזו דרך עברה בין t=0t=0 ל-t=π2t=\frac{\pi}{2}?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6

Corrigé :

cos⁡2t=0 ⇒ t=π4\begin{aligned}\cos 2t &= 0 \ \Rightarrow \ t \\ &= \tfrac{\pi}{4}\end{aligned}

הנקודה מסתובבת

∫0π/46cos⁡2t dt=[3sin⁡2t]0π/4=3\begin{aligned}\int_0^{\pi/4}6\cos 2t\,dt &= \big[3\sin 2t\big]_0^{\pi/4} \\ &= 3\end{aligned}

קדימה

∫π/4π/26cos⁡2t dt=0−3=−3\begin{aligned}\int_{\pi/4}^{\pi/2}6\cos 2t\,dt &= 0-3 \\ &= -3\end{aligned}

אחורה

3+3=63+3=6

הדרך

ההעתק 00, הדרך 66. בלי לחלק ב-t=π4t=\frac{\pi}{4} התשובה יוצאת אפס.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe