Série 1 — facile

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

עשר שאלות קצרות על כל הפרק: סכומי מלבנים, המשפט היסודי, קדומות של טריגו ושל 1xn\frac{1}{x^n}, ערך ממוצע ודרך. כל שאלה דורשת צעד אחד או שניים.

לפני כל שאלה שאלו: מבקשים נגזרת של פונקציה צוברת (אין מה לחשב), ערך (צריך קדומה), או שטח (צריך גם סימן)? ובכל קדומה: בדקתם בגזירה?

Exercices

Exercice 1

נתונה f(x)=x+1f(x)=x+1 בקטע [0, 2][0,\,2]. מחלקים את הקטע ל-22 חלקים שווים. חשבו את הסכום התחתון s2s_2.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

Δx=1\Delta x=1

רוחב

s2=1⋅(f(0)+f(1))=1+2=3\begin{aligned}s_2 &= 1 \cdot \big(f(0)+f(1)\big) \\ &= 1+2 \\ &= 3\end{aligned}

ff עולה: הקצוות השמאליים

ff עולה, ולכן התחתון לוקח את השמאליים. S2=2+3=5S_2=2+3=5, והאינטגרל 44 ביניהם.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתונה F(x)=∫1x(t2+t) dtF(x)=\int_1^x (t^2+t)\,dt. חשבו את F ′(2)F\,'(2).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6

Corrigé :

F ′(x)=x2+xF\,'(x)=x^2+x

המשפט היסודי

F ′(2)=4+2=6\begin{aligned}F\,'(2) &= 4+2 \\ &= 6\end{aligned}

On remplace (מציבים)

הגבול התחתון 11 לא משפיע על הנגזרת. הוא משפיע רק על הערכים של FF.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

מהי ∫sin⁡2x dx\int \sin 2x\,dx?

  1. −12cos⁡2x+C-\frac{1}{2}\cos 2x+C
  2. 2cos⁡2x+C2\cos 2x+C
  3. −2cos⁡2x+C-2\cos 2x+C
  4. 12cos⁡2x+C\frac{1}{2}\cos 2x+C
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A −12cos⁡2x+C-\frac{1}{2}\cos 2x+C

Corrigé :

∫sin⁡(mx) dx=−1mcos⁡(mx)+C\int\sin(mx)\,dx=-\tfrac{1}{m}\cos(mx)+C

ארגומנט ליניארי

(−12cos⁡2x)′=12sin⁡2x⋅2=sin⁡2x\begin{aligned}\Big(-\tfrac{1}{2}\cos 2x\Big)' &= \tfrac{1}{2}\sin 2x \cdot 2 \\ &= \sin 2x\end{aligned}

בדיקה ✓

הנכונה: −12cos⁡2x+C-\frac{1}{2}\cos 2x+C. שתי טעויות אפשריות: הסימן (הקדומה של sin⁡\sin מתחילה במינוס), והמקדם (מחלקים ב-22, לא כופלים).

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

חשבו את ∫1412x dx\int_1^4 \frac{1}{2\sqrt{x}}\,dx.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1

Corrigé :

[x]14=2−1=1\begin{aligned}\big[\sqrt{x}\big]_1^4 &= 2-1 \\ &= 1\end{aligned}

מדף הנוסחאות

12x\frac{1}{2\sqrt{x}} היא הנגזרת של x\sqrt{x}. מי שקיבל 22 שכח להחסיר את הערך בגבול התחתון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

חשבו את ∫0πcos⁡x2 dx\int_0^{\pi} \cos\frac{x}{2}\,dx.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

∫cos⁡x2 dx=2sin⁡x2\int\cos\tfrac{x}{2}\,dx=2\sin\tfrac{x}{2}

m=12m=\frac{1}{2}: מחלקים ב-12\frac{1}{2}, כלומר כופלים ב-22

2sin⁡π2−2sin⁡0=22\sin\tfrac{\pi}{2}-2\sin 0=2

On remplace (מציבים)

כש-mm שבר, החלוקה בו מגדילה. מי שקיבל 12\frac{1}{2} כפל ב-mm.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

הוכיחו או הפריכו: לכל פונקציה רציפה ff, אם F(x)=∫3xf(t) dtF(x)=\int_3^x f(t)\,dt אז F(3)=0F(3)=0.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

F(3)=∫33f(t) dt=0\begin{aligned}F(3) &= \int_3^3 f(t)\,dt \\ &= 0\end{aligned}

אינטגרל על קטע ברוחב אפס

הטענה נכונה, לכל ff. זו הנקודה היחידה שבה ערך FF ידוע בלי לדעת כלום על ff.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

מהו הערך הממוצע של f(x)=2x+1f(x)=2x+1 בקטע [0, 4][0,\,4]?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5

Corrigé :

∫04(2x+1) dx=16+4=20\begin{aligned}\int_0^4 (2x+1)\,dx &= 16+4 \\ &= 20\end{aligned}

האינטגרל

fˉ=204=5\begin{aligned}\bar{f} &= \tfrac{20}{4} \\ &= 5\end{aligned}

מחלקים באורך הקטע

לפונקציה ליניארית הממוצע הוא גם f(0)+f(4)2=1+92=5\frac{f(0)+f(4)}{2}=\frac{1+9}{2}=5. לפונקציה שאינה ליניארית זה לא עובד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

גוף נע במהירות v(t)=2tv(t)=2t (מ׳/ש׳). כמה מטרים הוא עובר בחמש השניות הראשונות?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 25

Corrigé :

∫052t dt=[t2]05=25\begin{aligned}\int_0^5 2t\,dt &= \big[t^2\big]_0^5 \\ &= 25\end{aligned}

השטח מתחת לגרף המהירות

גם בלי קדומה: משולש עם בסיס 55 וגובה v(5)=10v(5)=10, 5⋅102=25\frac{5 \cdot 10}{2}=25.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

התאימו לכל פונקציה פונקציה קדומה שלה.

  • cos⁡x\cos x
  • sin⁡x\sin x
  • 1cos⁡2x\frac{1}{\cos^2 x}
  • 1x2\frac{1}{x^2}
  • −cos⁡x-\cos x
  • −1x-\frac{1}{x}
  • sin⁡x\sin x
  • tan⁡x\tan x
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : cos⁡x\cos x — sin⁡x\sin x · sin⁡x\sin x — −cos⁡x-\cos x · 1cos⁡2x\frac{1}{\cos^2 x} — tan⁡x\tan x · 1x2\frac{1}{x^2} — −1x-\frac{1}{x}

Corrigé :

(−cos⁡x)′=sin⁡x(−1x)′=1x2\begin{aligned}(-\cos x)' &= \sin x \qquad \Big(-\tfrac{1}{x}\Big)' \\ &= \tfrac{1}{x^2}\end{aligned}

בודקים בגזירה

שני המינוסים הם המלכודת: ∫sin⁡x=−cos⁡x\int\sin x=-\cos x, ו-∫x−2=x−1−1\int x^{-2}=\frac{x^{-1}}{-1}.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

חשבו את ∫136x2 dx\int_1^3 \frac{6}{x^2}\,dx.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

∫6x−2 dx=−6x\int 6x^{-2}\,dx=-\frac{6}{x}

כלל החזקה

−2−(−6)=4-2-(-6)=4

On remplace (מציבים)

−63−(−61)=−2+6-\frac{6}{3}-\left(-\frac{6}{1}\right)=-2+6. שני מינוסים, והתוצאה חיובית, כמו שצריך: 6x2>0\frac{6}{x^2}>0.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe