On résout ensemble · L'intégrale comme accumulation · Kita יא

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

ארבע שאלות בסגנון הבגרות, אחת לכל רעיון של הפרק: פונקציה צוברת לפי גרף, קדומה טריגונומטרית ושטח, שטח מתחת ל- $f \cdot f'$ , ובעיית תנועה. כל שאלה נפתרת יחד, שלב אחרי שלב. שאלה תאומה מחכה למטה, לפתור לבד.

לפני כל לחיצה, אמרו לעצמכם מה אתם הייתם עושים. הפער בין התוכנית שלכם לבין השלב שמופיע הוא מה שמלמד.

1 — פונקציה צוברת לפי גרף

הגרף של f בקטע [0, 6]

הגרף של

f

מורכב מקטעים ישרים. הוא חותך את ציר ה-

x

ב-

x=1

וב-

x=5

Activité interactive

בשרטוט הגרף של $f$ בקטע $[0,\,6]$ . נגדיר $g(x)=\int_0^x f(t)\,dt$ . א. חשבו את $g(2)$ ואת $g(5)$ . ב. מצאו את תחומי העלייה והירידה של $g$ . ג. מצאו את נקודות הקיצון של $g$ בקטע, כולל הקצוות. ד. לאיזה $x$ בקטע $0<x \leq 6$ מתקיים $g(x)=0$ ?

\begin{aligned}g(x) &= \int_0^x f(t)\,dt \\ \quad 0 \leq x \leq 6\end{aligned}

לחצו «להתחיל». כל ערך של $g$ הוא שטח עם סימן: משולשים ומלבנים בלבד, בלי נוסחה.

א. g(2)

\begin{aligned}g(2) &= -\tfrac{1}{2}\cdot 1 \cdot 2+\tfrac{1}{2}\cdot 1 \cdot 2 \\ &= -1+1 \\ &= 0\end{aligned}

משולש מתחת לציר ומשולש מעליו מתקזזים.

א. g(5)

\begin{aligned}g(5) &= 0+2 \cdot 2+\tfrac{1}{2}\cdot 1 \cdot 2 \\ &= 5\end{aligned}

מלבן $2 \times 2$ ועוד משולש.

ב.

g\,'=f: \quad g \searrow \ (0,1) \cup (5,6) \qquad g \nearrow \ (1,5)

הסימן של $f$ הוא הכיוון של $g$ .

ג. פנימיות

\min (1,\,-1) \qquad \max (5,\,5)

$g(1)=-1$ : משולש אחד מתחת לציר. ב- $x=5$ , $f$ עוברת מ- $+$ ל- $-$ .

ג. קצוות

(0,\,0) \ \max \qquad (6,\,4) \ \min

$g(6)=5-1=4$ . $g$ יורדת מ- $0$ , ולכן $(0,0)$ מקסימום מקומי בקצה.

ד.

\begin{aligned}g(2) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

אחרי $x=2$ , $g$ עולה עד $5$ ויורדת רק עד $4$ : היא לא חוזרת ל- $0$ .

שני דברים שהשאלה בודקת: $g(2)=0$ אף ש- $f(2) \neq 0$ , והמקסימום של $g$ ב- $x=5$ , דווקא בנקודה שבה $f=0$ .

Faire l'activité sur elev

לאיזה $x$ בקטע קצב העלייה של $g$ הוא הגדול ביותר?

Voir la réponse et le corrigé

קצב העלייה של $g$ הוא $g'=f$ . הוא הגדול ביותר כש- $f$ הגדולה ביותר: בכל הקטע $2 \leq x \leq 4$ , שם $f=2$ .

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה.

2 — קדומה טריגונומטרית ושטח

Activité interactive

קדומה של $\cos 2x$

נתונה $f(x)=\cos 2x$ . א. מצאו את הפונקציה הקדומה $F$ של $f$ שהגרף שלה עובר בנקודה $\left(\frac{\pi}{4},\,1\right)$ . ב. חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של $f$ וציר ה- $x$ בקטע $\left[0,\,\frac{\pi}{2}\right]$ .

מהי הקדומה הכללית של $\cos 2x$ ?

$\frac{1}{2}\sin 2x+C$

Voir la réponse et le corrigé

ארגומנט ליניארי: מחלקים ב- $m=2$ .

$2\sin 2x+C$

Voir la réponse et le corrigé

בגזירה יוצא $4\cos 2x$ .

$-\frac{1}{2}\sin 2x+C$

Voir la réponse et le corrigé

המינוס שייך לקדומה של $\sin$ .

F(x)=\tfrac{1}{2}\sin 2x+C

בדיקה: $F'=\cos 2x$ ✓

איך מוצאים את $C$ ?

מציבים $F\left(\frac{\pi}{4}\right)=1$

Voir la réponse et le corrigé

הנקודה על הגרף של $F$ .

מציבים $f\left(\frac{\pi}{4}\right)=1$

Voir la réponse et le corrigé

הנקודה נתונה על הקדומה, לא על $f$ . וגם $f\left(\frac{\pi}{4}\right)=0$ .

\begin{aligned}\tfrac{1}{2}\sin\tfrac{\pi}{2}+C &= 1 \ \Rightarrow \ C \\ &= \tfrac{1}{2}\end{aligned}

$F(x)=\frac{1}{2}\sin 2x+\frac{1}{2}$ .

האם אפשר לחשב את השטח כ- $\int_0^{\pi/2}\cos 2x\,dx$ ?

לא: $f$ מחליפה סימן ב- $x=\frac{\pi}{4}$

Voir la réponse et le corrigé

$\cos 2x=0$ כש- $2x=\frac{\pi}{2}$ .

כן, האינטגרל הוא השטח

Voir la réponse et le corrigé

האינטגרל יוצא $0$ : החלקים מתקזזים.

\begin{aligned}\int_0^{\pi/2}\cos 2x\,dx &= \tfrac{1}{2}\sin\pi-0 \\ &= 0\end{aligned}

אפס, אבל השטח אינו אפס.

אז מה השטח?

$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$

Voir la réponse et le corrigé

כל חלק נספר בערך מוחלט.

$\frac{1}{2}$

Voir la réponse et le corrigé

זה רק החלק שמעל הציר.

\begin{aligned}\int_0^{\pi/4}\cos 2x\,dx &= \tfrac{1}{2} \qquad \int_{\pi/4}^{\pi/2}\cos 2x\,dx \\ &= -\tfrac{1}{2}\end{aligned}

השטח: $1$ .

Voir la réponse et le corrigé

$F(x)=\frac{1}{2}\sin 2x+\frac{1}{2}$ , והשטח $1$ . שימו לב: בסעיף ב אפשר להשתמש ב- $F$ מסעיף א, כי הקבוע $C$ מתקזז בהפרש.

Faire l'activité sur elev

מה הערך של $F(0)$ , ומה זה אומר על הגרף של $F$ ?

Voir la réponse et le corrigé

$F(0)=\frac{1}{2}$ . וגם $F(x) \geq 0$ לכל $x$ , כי $\sin 2x \geq -1$ : הגרף של $F$ נוגע בציר ה- $x$ ולא חוצה אותו.

השאלות התאומות: שאלה 2 ושאלה 5 ברשימה למטה.

3 — שטח מתחת ל- $f \cdot f'$

Activité interactive

נתונה $f(x)=1+\sin x$ , ונגדיר $g(x)=f(x) \cdot f\,'(x)$ . א. מצאו את נקודות האפס של $g$ בקטע $[0,\,2\pi]$ . ב. הראו ש- $\frac{f^2(x)}{2}$ היא פונקציה קדומה של $g$ . ג. חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של $g$ וציר ה- $x$ בקטע $\left[0,\,\frac{\pi}{2}\right]$ .

g(x)=(1+\sin x)\cos x

לחצו «להתחיל». סעיף ב הוא הרמז לסעיף ג.

א. g

g(x)=(1+\sin x)\cos x

$f\,'(x)=\cos x$ .

א. אפסים

\begin{aligned}\cos x &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= \tfrac{\pi}{2} \\ \ \tfrac{3\pi}{2} \qquad 1+\sin x &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= \tfrac{3\pi}{2}\end{aligned}

שני אפסים: $\frac{\pi}{2}$ ו- $\frac{3\pi}{2}$ .

ב.

\begin{aligned}\Big(\tfrac{f^2}{2}\Big)' &= \tfrac{2f \cdot f\,'}{2} \\ &= f \cdot f\,' \\ &= g\end{aligned}

כלל השרשרת.

ג. סימן

0<x<\tfrac{\pi}{2}: \ 1+\sin x>0 ,\ \cos x>0

$g>0$ : הגרף מעל הציר, אין צורך לחלק.

ג.

\begin{aligned}\Big[\tfrac{(1+\sin x)^2}{2}\Big]_0^{\pi/2} &= \tfrac{4}{2}-\tfrac{1}{2} \\ &= 1.5\end{aligned}

הקדומה מסעיף ב.

בלי סעיף ב היה צריך לפתוח סוגריים: $\cos x+\sin x\cos x$ . הרמז חוסך את זה.

Faire l'activité sur elev

מה הסימן של $g$ בקטע $\left(\frac{\pi}{2},\,\frac{3\pi}{2}\right)$ ?

Voir la réponse et le corrigé

$1+\sin x>0$ ו- $\cos x<0$ , ולכן $g<0$ . שטח בקטע הזה מחושב בערך מוחלט.

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — בעיית תנועה

Activité interactive

מהירות, מקום ודרך

גוף נע על ישר במהירות $v(t)=3t^2-18t+24$ (מ׳/ש׳). ברגע $t=0$ הוא נמצא בנקודה $s=0$ . א. מתי הגוף עוצר? ב. מצאו את המקום $s(t)$ ואת $s(5)$ . ג. חשבו את הדרך שעבר הגוף בחמש השניות הראשונות. ד. מהי המהירות הממוצעת (ההעתק חלקי הזמן) בחמש השניות האלה?

מתי הגוף עוצר?

כש- $v(t)=0$ : $t=2$ ו- $t=4$

Voir la réponse et le corrigé

$3(t-2)(t-4)=0$ .

כש- $v\,'(t)=0$ : $t=3$

Voir la réponse et le corrigé

שם המהירות מינימלית, $v(3)=-3$ , לא אפס.

\begin{aligned}v(t) &= 3(t-2)(t-4) \\ &= 0\end{aligned}

עוצר ב- $t=2$ וב- $t=4$ .

מהו $s(t)$ ?

$s(t)=t^3-9t^2+24t$

Voir la réponse et le corrigé

קדומה של $v$ , ו- $s(0)=0$ נותן $C=0$ .

$s(t)=6t-18$

Voir la réponse et le corrigé

זו הנגזרת של $v$ : התאוצה.

\begin{aligned}s(5) &= 125-225+120 \\ &= 20\end{aligned}

$s(2)=20$ , $s(4)=16$ .

מהי הדרך?

$20+4+4=28$

Voir la réponse et le corrigé

קדימה $20$ , אחורה $4$ , שוב קדימה $4$ .

$s(5)-s(0)=20$

Voir la réponse et le corrigé

זה ההעתק. בין $t=2$ ל- $t=4$ הגוף חזר לאחור.

|s(2)-s(0)|+|s(4)-s(2)|+|s(5)-s(4)|=20+4+4

הדרך: $28$ מטר.

מהי המהירות הממוצעת?

$\frac{20}{5}=4$

Voir la réponse et le corrigé

ההעתק חלקי הזמן: הערך הממוצע של $v$ .

$\frac{v(0)+v(5)}{2}=16.5$

Voir la réponse et le corrigé

ממוצע של שני קצוות אינו ערך ממוצע.

\begin{aligned}\bar{v} &= \tfrac{1}{5}\int_0^5 v\,dt \\ &= \tfrac{20}{5} \\ &= 4\end{aligned}

מ׳/ש׳.

Voir la réponse et le corrigé

עוצר ב- $t=2$ וב- $t=4$ ; $s(5)=20$ ; דרך $28$ מטר; מהירות ממוצעת $4$ מ׳/ש׳. ההבדל בין $20$ ל- $28$ הוא כל ההבדל בין העתק לדרך.

Faire l'activité sur elev

האם יש רגע שבו הגוף חוזר לנקודת המוצא $s=0$ בקטע $0<t \leq 5$ ?

Voir la réponse et le corrigé

לא. המקום הקטן ביותר אחרי $t=0$ הוא $s(4)=16>0$ . הגוף אף פעם לא חוזר לנקודת המוצא בחמש השניות האלה.

השאלה התאומה: שאלה 4 ברשימה למטה.

Exercices

Exercice 1

הגרף של f בקטע [0, 6]

בשרטוט הגרף של $f$ בקטע $[0,\,6]$ , המורכב מקטעים ישרים. נגדיר $g(x)=\int_0^x f(t)\,dt$ . השלימו.

מקסימום של $g$ ב- $x=$ ____ , והערך ____ ; $g(6)=$ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : מקסימום של $g$ ב- $x=$ 3 , והערך 5 ; $g(6)=$ 0

Corrigé :

0<x<3: \ f>0 \qquad 3<x<6: \ f<0

$f$ עוברת מ- $+$ ל- $-$ ב- $x=3$

\begin{aligned}g(3) &= 2 \cdot 2+\tfrac{1}{2}\cdot 1 \cdot 2 \\ &= 5\end{aligned}

מלבן ומשולש

\begin{aligned}g(6) &= 5-\tfrac{1}{2}\cdot 1 \cdot 2-2 \cdot 2 \\ &= 0\end{aligned}

משולש ומלבן מתחת לציר

$g(6)=0$ אף ש- $f(6)=-2$ : השטח שמעל הציר והשטח שמתחתיו שווים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתונה $f(x)=3\sin 3x$ . $F$ היא הפונקציה הקדומה של $f$ שהגרף שלה עובר בנקודה $\left(\frac{\pi}{3},\,4\right)$ . השלימו.

$F(x)=-\cos 3x+$ ____ ; השטח המוגבל על ידי הגרף של $f$ וציר ה- $x$ בקטע $\left[0,\,\frac{2\pi}{3}\right]$ : ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $F(x)=-\cos 3x+$ 3 ; השטח המוגבל על ידי הגרף של $f$ וציר ה- $x$ בקטע $\left[0,\,\frac{2\pi}{3}\right]$ : 4

Corrigé :

\begin{aligned}F(x) &= 3 \cdot \Big(-\tfrac{1}{3}\Big)\cos 3x+C \\ &= -\cos 3x+C\end{aligned}

ארגומנט ליניארי

\begin{aligned}-\cos\pi+C &= 1+C \\ &= 4 \ \Rightarrow \ C \\ &= 3\end{aligned}

מציבים את הנקודה

\begin{aligned}\int_0^{\pi/3} 3\sin 3x\,dx &= 2 \qquad \int_{\pi/3}^{2\pi/3} 3\sin 3x\,dx \\ &= -2\end{aligned}

$f$ מחליפה סימן ב- $x=\frac{\pi}{3}$

\begin{aligned}S &= 2+2 \\ &= 4\end{aligned}

ערכים מוחלטים

$\cos\pi=-1$ , ולכן $-\cos\pi=+1$ . מי שקיבל $C=5$ איבד את המינוס. ובשטח: $\int_0^{2\pi/3} f=0$ , אבל השטח $4$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתונה $f(x)=2+\cos x$ , ונגדיר $g(x)=f(x) \cdot f\,'(x)$ . חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של $g$ וציר ה- $x$ בקטע $[0,\,\pi]$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

\begin{aligned}g(x) &= -(2+\cos x)\sin x \leq 0 \\ \quad 0 \leq x \leq \pi\end{aligned}

$2+\cos x>0$ ו- $\sin x \geq 0$ : הגרף מתחת לציר

\begin{aligned}\int_0^{\pi} g\,dx &= \Big[\tfrac{(2+\cos x)^2}{2}\Big]_0^{\pi} \\ &= \tfrac{1}{2}-\tfrac{9}{2} \\ &= -4\end{aligned}

הקדומה של $f \cdot f'$ היא $\frac{f^2}{2}$

S=4

ערך מוחלט

האינטגרל שלילי כי $f$ יורדת בקטע. מי שענה $-4$ שכח ששטח חיובי תמיד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

גוף נע על ישר במהירות $v(t)=3t^2-12t+9$ (מ׳/ש׳). השלימו.

הדרך בארבע השניות הראשונות: ____ מטר ; המהירות הממוצעת (העתק חלקי זמן) באותן שניות: ____ מ׳/ש׳

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : הדרך בארבע השניות הראשונות: 12 מטר ; המהירות הממוצעת (העתק חלקי זמן) באותן שניות: 1 מ׳/ש׳

Corrigé :

v(t)=3(t-1)(t-3)

עוצר ב- $t=1$ וב- $t=3$

\begin{aligned}s(t) &= t^3-6t^2+9t: \ s(1) \\ &= 4 \\ \ s(3) &= 0 \\ \ s(4) &= 4\end{aligned}

$s(0)=0$

4+4+4=12

הדרך

\begin{aligned}\bar{v} &= \tfrac{s(4)-s(0)}{4} \\ &= \tfrac{4}{4} \\ &= 1\end{aligned}

העתק חלקי זמן

ההעתק הוא $4$ מטר, אבל הדרך $12$ . הגוף הלך קדימה, חזר לנקודת המוצא, ושוב התקדם.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

נתונה $f(x)=4\cos 2x$ . $F$ היא הפונקציה הקדומה של $f$ שהגרף שלה עובר בנקודה $\left(\frac{\pi}{4},\,3\right)$ . השלימו.

$F(x)=2\sin 2x+$ ____ ; השטח המוגבל על ידי הגרף של $f$ וציר ה- $x$ בקטע $\left[0,\,\frac{\pi}{2}\right]$ : ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $F(x)=2\sin 2x+$ 1 ; השטח המוגבל על ידי הגרף של $f$ וציר ה- $x$ בקטע $\left[0,\,\frac{\pi}{2}\right]$ : 4

Corrigé :

\begin{aligned}F(x) &= 4 \cdot \tfrac{1}{2}\sin 2x+C \\ &= 2\sin 2x+C\end{aligned}

ארגומנט ליניארי

\begin{aligned}2\sin\tfrac{\pi}{2}+C &= 3 \ \Rightarrow \ C \\ &= 1\end{aligned}

On remplace (מציבים)

\begin{aligned}\int_0^{\pi/4}4\cos 2x\,dx &= 2 \qquad \int_{\pi/4}^{\pi/2}4\cos 2x\,dx \\ &= -2\end{aligned}

חיתוך עם הציר ב- $\frac{\pi}{4}$

השטח $4$ , והאינטגרל על כל הקטע $0$ . מי שענה $C=3$ הציב $x=0$ במקום $x=\frac{\pi}{4}$ .

Vérifier la réponse sur elev

1 — פונקציה צוברת לפי גרף

2 — קדומה טריגונומטרית ושטח

3 — שטח מתחת ל-f⋅f′f \cdot f'f⋅f′

4 — בעיית תנועה

Exercices

La suite se pratique sur elev

3 — שטח מתחת ל- $f \cdot f'$