Vitesse, débit, cash-flow : accumulation et valeur moyenne · L'intégrale comme accumulation · Kita יא

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

מד המהירות של מכונית רושם את המהירות בכל רגע. איך יודעים כמה מטרים היא עברה? בכל רגע קצר המרחק הוא «מהירות כפול זמן». מחברים את כל הרגעים, ומקבלים את השטח מתחת לגרף המהירות. הסתכלו על הגרף.

מהירות המכונית v(t)

המכונית מאיצה

2

שניות, נוסעת

4

שניות במהירות קבועה ובולמת

2

שניות. הקו המקווקו בגובה

15

הוא המהירות הממוצעת.

לפי הגרף: כמה מטרים עברה המכונית ב- $8$ השניות? ומה המהירות הממוצעת שלה?

Voir la réponse et le corrigé

השטח הוא טרפז: $\frac{(8+4) \cdot 20}{2}=120$ מטר. המהירות הממוצעת: $\frac{120}{8}=15$ מ׳/ש׳. מלבן בגובה $15$ וברוחב $8$ מכיל אותו שטח כמו הטרפז.

השינוי המצטבר

Q(b)-Q(a)=\int_a^b Q'(t)\,dt

אם יודעים את קצב השינוי $Q'$ של גודל כלשהו, האינטגרל נותן את השינוי של הגודל. זה המשפט היסודי, בשפה של בעיות מילוליות.

v(t) \ \to \ \int_a^b v(t)\,dt

מהירות: ההעתק (השינוי במקום)

r(t) \ \to \ \int_a^b r(t)\,dt

ספיקה (ליטר לדקה): כמות הנוזל שזרמה

c(t) \ \to \ \int_a^b c(t)\,dt

תזרים מזומנים (₪ לחודש): היתרה שהצטברה. חיובי = הכנסה, שלילי = הוצאה

כשהמהירות מחליפה סימן, הגוף חוזר לאחור. האינטגרל של $v$ נותן את ההעתק, ושם תנועה אחורה מקזזת תנועה קדימה. הדרך שעבר הגוף היא האינטגרל של $|v|$ : מחלקים את הקטע בנקודות שבהן $v=0$ .

העתק מול דרך

גוף נע על ישר במהירות $v(t)=6t-3t^2$ (מ׳/ש׳). חשבו את ההעתק ואת הדרך בשלוש השניות הראשונות.

\begin{aligned}v(t) &= 3t(2-t) \\ &= 0 \ \Rightarrow \ t \\ &= 0 \\ \ t &= 2\end{aligned}

ב- $t=2$ הגוף עוצר ומסתובב

\begin{aligned}\int_0^3 (6t-3t^2)\,dt &= \big[3t^2-t^3\big]_0^3 \\ &= 27-27 \\ &= 0\end{aligned}

ההעתק: הגוף חזר לנקודת המוצא

\begin{aligned}\int_0^2 v\,dt &= 12-8 \\ &= 4 \qquad \int_2^3 v\,dt \\ &= 0-4 \\ &= -4\end{aligned}

קדימה $4$ מטר, אחורה $4$ מטר

4+4=8

הדרך: $8$ מטר

הערך הממוצע של פונקציה

\bar{f}=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx

הערך הממוצע הוא הגובה של מלבן שבסיסו הקטע $[a,\,b]$ ושטחו שווה לאינטגרל. המהירות הממוצעת של המכונית, $15$ , היא הערך הממוצע של $v$ .

מהו הערך הממוצע של $f(x)=\sin x$ בקטע $[0,\,\pi]$ ?

Voir la réponse et le corrigé

$\frac{1}{\pi}\int_0^{\pi}\sin x\,dx=\frac{2}{\pi} \approx 0.64$ . קצת יותר מחצי מהערך המקסימלי $1$ .

בכל בעיה מילולית כתבו קודם יחידות: מ׳/ש׳ כפול שניות נותן מטרים; ליטר לדקה כפול דקות נותן ליטרים. אם היחידות של התשובה לא מתאימות לשאלה, חסר אינטגרל, או שיש אחד מיותר.

שלוש טעויות בצבירה.

\begin{aligned}\text{דרך} &= \int_0^3 v\,dt \\ &= 0\end{aligned}

\int_0^2 v\,dt+\Big|\int_2^3 v\,dt\Big|=8

כשהמהירות מחליפה סימן, האינטגרל נותן העתק, לא דרך.

\bar{f}=\frac{f(a)+f(b)}{2}

\bar{f}=\frac{1}{b-a}\int_a^b f

ממוצע של שני קצוות נכון רק לפונקציה ליניארית. ל- $x^2$ בקטע $[0,3]$ : $4.5$ לעומת $3$ .

\bar{f}=\int_a^b f(x)\,dx

\bar{f}=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx

שכחו לחלק באורך הקטע. זה השטח, לא הגובה.

Exercices

Exercice 1

גוף נע במהירות $v(t)=3t^2+2$ (מ׳/ש׳). כמה מטרים הוא עובר בשתי השניות הראשונות?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 12

Corrigé :

\begin{aligned}\int_0^2 (3t^2+2)\,dt &= \big[t^3+2t\big]_0^2 \\ &= 8+4 \\ &= 12\end{aligned}

$v>0$ תמיד: הדרך שווה להעתק

המהירות חיובית בכל הקטע, ולכן אין צורך לחלק אותו. מי שענה $14$ הציב במהירות, $v(2)=14$ , במקום לחשב שטח.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

מהו הערך הממוצע של $f(x)=x^2$ בקטע $[0,\,3]$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

\int_0^3 x^2\,dx=9

האינטגרל

\begin{aligned}\bar{f} &= \frac{9}{3-0} \\ &= 3\end{aligned}

מחלקים באורך הקטע

לא $\frac{f(0)+f(3)}{2}=4.5$ : הפרבולה «שוהה» יותר זמן בערכים נמוכים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

למיכל שבו $50$ ליטר זורמים מים בקצב $r(t)=40-4t$ ליטר לדקה, כאשר $0 \leq t \leq 10$ (דקות). כמה ליטר יהיו במיכל אחרי $10$ דקות?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 250

Corrigé :

\begin{aligned}\int_0^{10} (40-4t)\,dt &= \big[40t-2t^2\big]_0^{10} \\ &= 400-200 \\ &= 200\end{aligned}

המים שנכנסו

50+200=250

מוסיפים לכמות ההתחלתית

האינטגרל נותן את השינוי, $200$ . את הכמות שהייתה בהתחלה מוסיפים בנפרד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

גוף נע על ישר במהירות $v(t)=4-2t$ (מ׳/ש׳). איזו דרך עבר הגוף בין $t=0$ ל- $t=4$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 8

Corrigé :

\begin{aligned}v(t) &= 0 \ \Rightarrow \ t \\ &= 2\end{aligned}

הגוף מסתובב

\begin{aligned}\int_0^2 (4-2t)\,dt &= 4 \qquad \int_2^4 (4-2t)\,dt \\ &= -4\end{aligned}

קדימה ואחורה

4+4=8

הדרך

$\int_0^4 v\,dt=0$ : זה ההעתק. הגוף חזר למקום שממנו יצא, אבל עבר $8$ מטר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

מהו הערך הממוצע של $f(x)=\cos x$ בקטע $\left[0,\,\frac{\pi}{2}\right]$ ?

$1$
$\frac{2}{\pi}$
$\frac{1}{2}$
$\frac{\pi}{2}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $\frac{2}{\pi}$

Corrigé :

\begin{aligned}\int_0^{\pi/2}\cos x\,dx &= \sin\tfrac{\pi}{2}-\sin 0 \\ &= 1\end{aligned}

האינטגרל

\begin{aligned}\bar{f} &= \frac{1}{\pi/2} \cdot 1 \\ &= \frac{2}{\pi} \approx 0.64\end{aligned}

מחלקים באורך הקטע

הנכונה: $\frac{2}{\pi}$ . $\frac{1}{2}$ הוא ממוצע הקצוות $\frac{1+0}{2}$ . $1$ הוא השטח, לפני החלוקה באורך הקטע.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

הוכיחו או הפריכו: לכל פונקציה $f$ ולכל קטע $[a,\,b]$ , הערך הממוצע של $f$ בקטע שווה ל- $\frac{f(a)+f(b)}{2}$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

\begin{aligned}f(x) &= x^2 \\ \ [0,3]: \ \bar{f} &= 3\end{aligned}

דוגמה נגדית

\frac{f(0)+f(3)}{2}=4.5 \neq 3

ממוצע הקצוות

הטענה לא נכונה. השוויון מתקיים לפונקציה ליניארית, שבה הגרף «סימטרי» סביב האמצע. דוגמה נגדית אחת מספיקה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

קצב התזרים של עסק קטן הוא $c(t)=12-3t$ אלפי ₪ לחודש, כאשר $t$ הוא הזמן בחודשים, $0 \leq t \leq 6$ . ברגע $t=0$ היתרה היא $0$ . השלימו.

היתרה הגדולה ביותר מתקבלת ב- $t=$ ____ , והיא ____ אלפי ₪ ; היתרה אחרי $6$ חודשים: ____ אלפי ₪

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : היתרה הגדולה ביותר מתקבלת ב- $t=$ 4 , והיא 24 אלפי ₪ ; היתרה אחרי $6$ חודשים: 18 אלפי ₪

Corrigé :

\begin{aligned}c(t) &= 0 \ \Rightarrow \ t \\ &= 4\end{aligned}

עד $t=4$ הכנסות, אחר כך הוצאות

\begin{aligned}\int_0^4 (12-3t)\,dt &= \big[12t-1.5t^2\big]_0^4 \\ &= 48-24 \\ &= 24\end{aligned}

היתרה המקסימלית

\begin{aligned}\int_0^6 (12-3t)\,dt &= 72-54 \\ &= 18\end{aligned}

אחרי שישה חודשים

זו הפונקציה הצוברת $B(x)=\int_0^x c(t)\,dt$ : המקסימום שלה כש- $c$ עוברת מחיובי לשלילי, לא כש- $c$ הכי גדולה ( $t=0$ ).

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

נתונה $f(x)=kx^2$ , כאשר $k$ פרמטר. הערך הממוצע של $f$ בקטע $[0,\,2]$ הוא $8$ . מצאו את $k$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6

Corrigé :

\int_0^2 kx^2\,dx=\tfrac{8k}{3}

האינטגרל

\begin{aligned}\frac{1}{2} \cdot \frac{8k}{3} &= \frac{4k}{3} \\ &= 8 \ \Rightarrow \ k \\ &= 6\end{aligned}

הממוצע

מי שקיבל $k=3$ שכח לחלק באורך הקטע $2$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

נקודה נעה על ישר במהירות $v(t)=\pi\sin\frac{\pi t}{4}$ (מ׳/ש׳). כמה מטרים היא עוברת בין $t=0$ ל- $t=4$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 8

Corrigé :

\begin{aligned}\int \pi\sin\tfrac{\pi t}{4}\,dt &= \pi \cdot \Big(-\tfrac{4}{\pi}\Big)\cos\tfrac{\pi t}{4} \\ &= -4\cos\tfrac{\pi t}{4}\end{aligned}

ארגומנט ליניארי, $m=\frac{\pi}{4}$

\begin{aligned}-4\cos\pi-(-4\cos 0) &= 4+4 \\ &= 8\end{aligned}

$v \geq 0$ בכל הקטע

החלוקה ב- $m=\frac{\pi}{4}$ היא כפל ב- $\frac{4}{\pi}$ , וה- $\pi$ מתקזז. מי שקיבל $2\pi^2$ כפל ב- $\frac{\pi}{4}$ במקום לחלק.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

הערך הממוצע של $f(x)=3x^2$ בקטע $[0,\,2]$ הוא $4$ . באיזה $x$ בקטע מתקיים $f(x)=4$ ? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1.15

Corrigé :

\begin{aligned}\bar{f} &= \tfrac{1}{2}\int_0^2 3x^2\,dx \\ &= \tfrac{8}{2} \\ &= 4\end{aligned}

בדיקה של הנתון

\begin{aligned}3x^2 &= 4 \ \Rightarrow \ x \\ &= \tfrac{2}{\sqrt{3}} \approx 1.15\end{aligned}

רק הפתרון החיובי נמצא בקטע

הנקודה שבה הפונקציה מגיעה לערך הממוצע איננה אמצע הקטע $x=1$ . הפתרון $x=-1.15$ נפסל: הוא מחוץ לקטע.

Vérifier la réponse sur elev

השינוי המצטבר

הערך הממוצע של פונקציה

Exercices

La suite se pratique sur elev