Primitives : trigonométrie, 1/xⁿ et composées

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

בכל נגזרת שלמדתם מסתתרת פונקציה קדומה: מה שגוזרים לכיוון אחד, «מקדימים» לכיוון השני. הנגזרת של sin⁡x\sin x היא cos⁡x\cos x, ולכן השטח מתחת ל-cos⁡x\cos x נמדד בעזרת sin⁡x\sin x. הסתכלו על הגרף.

y = cos x בקטע [0, 2π]
1x = π/20123456-1-0.50.51xy
השטח בין y=cos⁡xy=\cos x לציר ה-xx, מ-00 עד π2\frac{\pi}{2}, שווה בדיוק 11. וזה בדיוק sin⁡π2−sin⁡0\sin\frac{\pi}{2}-\sin 0: הפונקציה הקדומה של cos⁡x\cos x היא sin⁡x\sin x.

לפי הגרף: מהו ∫0πcos⁡x dx\int_0^{\pi}\cos x\,dx? ומה השטח בין הגרף לציר בקטע [0, π][0,\,\pi]?

Voir la réponse et le corrigé

sin⁡π−sin⁡0=0\sin\pi-\sin 0=0: החלק שמעל הציר והחלק שמתחתיו מתקזזים. השטח הוא 1+1=21+1=2: כל חלק נספר בחיוב.

טבלת הקדומות (מדף הנוסחאות)

∫xn dx=xn+1n+1+C\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C

לכל n≠−1n \neq -1, גם שלילי: ∫1x3 dx=x−2−2=−12x2\int \frac{1}{x^3}\,dx=\frac{x^{-2}}{-2}=-\frac{1}{2x^2}

∫12x dx=x+C\int \frac{1}{2\sqrt{x}}\,dx=\sqrt{x}+C

כי (x)′=12x(\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}

∫cos⁡x dx=sin⁡x+C\int \cos x\,dx=\sin x+C

כי (sin⁡x)′=cos⁡x(\sin x)'=\cos x

∫sin⁡x dx=−cos⁡x+C\int \sin x\,dx=-\cos x+C

שימו לב למינוס: (cos⁡x)′=−sin⁡x(\cos x)'=-\sin x

∫1cos⁡2x dx=tan⁡x+C\int \frac{1}{\cos^2 x}\,dx=\tan x+C

כי (tan⁡x)′=1cos⁡2x(\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}

ארגומנט ליניארי: f(mx+b)f(mx+b)

∫f(mx+b) dx=1m F(mx+b)+C\int f(mx+b)\,dx=\frac{1}{m}\,F(mx+b)+C

כשגוזרים F(mx+b)F(mx+b), כלל השרשרת מוסיף גורם mm. לכן בכיוון ההפוך מחלקים ב-mm.

∫cos⁡2x dx=12sin⁡2x+C\int \cos 2x\,dx=\tfrac{1}{2}\sin 2x+C

m=2m=2

∫(3x−1)4 dx=(3x−1)515+C\int (3x-1)^4\,dx=\frac{(3x-1)^5}{15}+C

מחלקים ב-55 וגם ב-33

∫1(2x+1)3 dx=−14(2x+1)2+C\int \frac{1}{(2x+1)^3}\,dx=-\frac{1}{4(2x+1)^2}+C

(2x+1)−2−2⋅2\frac{(2x+1)^{-2}}{-2 \cdot 2}

מהי ∫sin⁡3x dx\int \sin 3x\,dx? בדקו בגזירה.

Voir la réponse et le corrigé

−13cos⁡3x+C-\frac{1}{3}\cos 3x+C. בדיקה: (−13cos⁡3x)′=−13⋅(−sin⁡3x)⋅3=sin⁡3x\left(-\frac{1}{3}\cos 3x\right)'=-\frac{1}{3} \cdot (-\sin 3x) \cdot 3=\sin 3x ✓

f(g(x))⋅g′(x)f(g(x)) \cdot g'(x) — כשיש רמז

∫F ′(g(x))⋅g ′(x) dx=F(g(x))+C\int F\,'\big(g(x)\big) \cdot g\,'(x)\,dx=F\big(g(x)\big)+C

זה כלל השרשרת הפוך. בבגרות השאלה נותנת בדרך כלל רמז: «גזרו את (x2+1)4(x^2+1)^4» או «הראו ש-g=f⋅f ′g=f \cdot f\,'». מזהים את הפונקציה הפנימית gg, ובודקים שהנגזרת שלה כבר כתובה ליד.

∫2x (x2+1)3 dx=(x2+1)44+C\int 2x\,(x^2+1)^3\,dx=\frac{(x^2+1)^4}{4}+C

g=x2+1g=x^2+1, והגורם 2x2x הוא g ′g\,'

∫sin⁡2xcos⁡x dx=sin⁡3x3+C\int \sin^2 x \cos x\,dx=\frac{\sin^3 x}{3}+C

g=sin⁡xg=\sin x, ו-cos⁡x\cos x הוא g ′g\,'

∫f(x) f ′(x) dx=f2(x)2+C\int f(x)\,f\,'(x)\,dx=\frac{f^2(x)}{2}+C

המקרה שחוזר הכי הרבה בבגרות

ולפעמים זהות טריגונומטרית הופכת מכפלה לביטוי שיש לו קדומה ישירה: sin⁡xcos⁡x=12sin⁡2x\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin 2x, ולכן ∫sin⁡xcos⁡x dx=−14cos⁡2x+C\int \sin x\cos x\,dx=-\frac{1}{4}\cos 2x+C. ו-sin⁡2x=1−cos⁡2x2\sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2}, ולכן ∫sin⁡2x dx=x2−sin⁡2x4+C\int \sin^2 x\,dx=\frac{x}{2}-\frac{\sin 2x}{4}+C.

שטח עם סימן

חשבו את השטח הכלוא בין הגרף של y=sin⁡2xy=\sin 2x לבין ציר ה-xx בקטע [0, π][0,\,\pi].

sin⁡2x=0 ⇒ x=0 π2 π\begin{aligned}\sin 2x &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ \tfrac{\pi}{2} \\ \ \pi\end{aligned}

החיתוכים עם הציר בקטע

∫0π/2sin⁡2x dx=[−12cos⁡2x]0π/2=12+12=1\begin{aligned}\int_0^{\pi/2}\sin 2x\,dx &= \Big[-\tfrac{1}{2}\cos 2x\Big]_0^{\pi/2} \\ &= \tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2} \\ &= 1\end{aligned}

החלק שמעל הציר

∫π/2πsin⁡2x dx=−12−12=−1\begin{aligned}\int_{\pi/2}^{\pi}\sin 2x\,dx &= -\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{2} \\ &= -1\end{aligned}

החלק שמתחת לציר

S=1+∣−1∣=2\begin{aligned}S &= 1+|-1| \\ &= 2\end{aligned}

מחברים ערכים מוחלטים

שטח בין שני גרפים

חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרפים של y=cos⁡xy=\cos x ו-y=sin⁡xy=\sin x ועל ידי ציר ה-yy, ברביע הראשון.

cos⁡x=sin⁡x ⇒ tan⁡x=1 ⇒ x=π4\begin{aligned}\cos x &= \sin x \ \Rightarrow \ \tan x \\ &= 1 \ \Rightarrow \ x \\ &= \tfrac{\pi}{4}\end{aligned}

נקודת החיתוך הראשונה של הגרפים

0<x<π4: cos⁡x>sin⁡x0<x<\tfrac{\pi}{4}: \ \cos x>\sin x

בדיקה ב-x=0x=0: 1>01>0. העליון הוא cos⁡x\cos x

∫0π/4(cos⁡x−sin⁡x) dx=[sin⁡x+cos⁡x]0π/4\int_0^{\pi/4}(\cos x-\sin x)\,dx=\big[\sin x+\cos x\big]_0^{\pi/4}

עליון פחות תחתון; הקדומה של −sin⁡x-\sin x היא +cos⁡x+\cos x

=(22+22)−(0+1)=2−1≈0.41=\Big(\tfrac{\sqrt{2}}{2}+\tfrac{\sqrt{2}}{2}\Big)-(0+1)=\sqrt{2}-1 \approx 0.41

On remplace (מציבים)

בודקים בגזירה, תמיד. קדומה נכונה חוזרת בדיוק לפונקציה שבתוך האינטגרל, כולל המקדם. בדיקה של שורה אחת תופסת את רוב הטעויות של 1m\frac{1}{m} ושל הסימן.

ארבע טעויות בקדומות.

∫cos⁡2x dx=sin⁡2x+C\int \cos 2x\,dx=\sin 2x+C
12sin⁡2x+C\tfrac{1}{2}\sin 2x+C

בגזירה של sin⁡2x\sin 2x יוצא 2cos⁡2x2\cos 2x. שכחו לחלק ב-m=2m=2.

∫sin⁡x dx=cos⁡x+C\int \sin x\,dx=\cos x+C
−cos⁡x+C-\cos x+C

הסימן: הנגזרת של cos⁡x\cos x היא −sin⁡x-\sin x.

∫(x2+1)3 dx=(x2+1)44+C\int (x^2+1)^3\,dx=\frac{(x^2+1)^4}{4}+C
∫2x(x2+1)3 dx=(x2+1)44+C\int 2x(x^2+1)^3\,dx=\frac{(x^2+1)^4}{4}+C

הכלל עובד רק כש-g ′=2xg\,'=2x כתוב ליד. בלעדיו פותחים סוגריים.

∫1x2 dx=1x+C\int \frac{1}{x^2}\,dx=\frac{1}{x}+C
−1x+C-\frac{1}{x}+C

x−2x^{-2}: מעלים את החזקה ל-−1-1 ומחלקים ב-−1-1.

Exercices

Exercice 1

מהי ∫cos⁡3x dx\int \cos 3x\,dx?

  1. −13sin⁡3x+C-\frac{1}{3}\sin 3x+C
  2. 3sin⁡3x+C3\sin 3x+C
  3. 13sin⁡3x+C\frac{1}{3}\sin 3x+C
  4. sin⁡3x+C\sin 3x+C
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 13sin⁡3x+C\frac{1}{3}\sin 3x+C

Corrigé :

∫cos⁡(mx) dx=1msin⁡(mx)+C\int \cos(mx)\,dx=\tfrac{1}{m}\sin(mx)+C

ארגומנט ליניארי

(13sin⁡3x)′=13⋅3cos⁡3x=cos⁡3x\begin{aligned}\Big(\tfrac{1}{3}\sin 3x\Big)' &= \tfrac{1}{3}\cdot 3\cos 3x \\ &= \cos 3x\end{aligned}

בדיקה ✓

הנכונה: 13sin⁡3x+C\frac{1}{3}\sin 3x+C. 3sin⁡3x3\sin 3x כופל במקום לחלק. המינוס שייך לקדומה של sin⁡\sin, לא של cos⁡\cos.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

חשבו את ∫0π/2sin⁡2x dx\int_0^{\pi/2} \sin 2x\,dx.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1

Corrigé :

∫sin⁡2x dx=−12cos⁡2x\int \sin 2x\,dx=-\tfrac{1}{2}\cos 2x

קדומה

−12cos⁡π−(−12cos⁡0)=12+12=1\begin{aligned}-\tfrac{1}{2}\cos\pi-\Big(-\tfrac{1}{2}\cos 0\Big) &= \tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2} \\ &= 1\end{aligned}

On remplace (מציבים)

שני מינוסים: של ∫sin⁡\int\sin ושל cos⁡π=−1\cos\pi=-1. מי שקיבל 00 איבד אחד מהם.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

חשבו את ∫124x3 dx\int_1^2 \frac{4}{x^3}\,dx.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1.5

Corrigé :

∫4x−3 dx=4x−2−2=−2x2\begin{aligned}\int 4x^{-3}\,dx &= \frac{4x^{-2}}{-2} \\ &= -\frac{2}{x^2}\end{aligned}

כלל החזקה עם מעריך שלילי

−24−(−2)=1.5-\tfrac{2}{4}-(-2)=1.5

On remplace (מציבים)

החזקה עולה מ-−3-3 ל-−2-2, לא ל-−4-4. מי שכתב 4x−4−4\frac{4x^{-4}}{-4} גזר במקום למצוא קדומה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

חשבו את ∫1912x dx\int_1^9 \frac{1}{2\sqrt{x}}\,dx.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

∫12x dx=x\int \frac{1}{2\sqrt{x}}\,dx=\sqrt{x}

מדף הנוסחאות

9−1=2\sqrt{9}-\sqrt{1}=2

On remplace (מציבים)

זו הקדומה היחידה עם שורש שנדרשת השנה, והיא בדף הנוסחאות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

חשבו את ∫0π/42cos⁡2x dx\int_0^{\pi/4} \frac{2}{\cos^2 x}\,dx.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

∫2cos⁡2x dx=2tan⁡x\int \frac{2}{\cos^2 x}\,dx=2\tan x

מדף הנוסחאות

2tan⁡π4−2tan⁡0=22\tan\tfrac{\pi}{4}-2\tan 0=2

tan⁡π4=1\tan\frac{\pi}{4}=1

מי שחיפש קדומה בעזרת «חזקה של cos⁡\cos» נתקע: 1cos⁡2x\frac{1}{\cos^2 x} היא נגזרת של tan⁡x\tan x, ישר מהטבלה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

גזרו את (x2−1)3(x^2-1)^3, והיעזרו בתוצאה כדי למצוא את ∫6x (x2−1)2 dx\int 6x\,(x^2-1)^2\,dx.

  1. (x2−1)33+C\frac{(x^2-1)^3}{3}+C
  2. 2(x2−1)3+C2(x^2-1)^3+C
  3. (x2−1)3+C(x^2-1)^3+C
  4. 3x2(x2−1)3+C3x^2(x^2-1)^3+C
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C (x2−1)3+C(x^2-1)^3+C

Corrigé :

((x2−1)3)′=3(x2−1)2⋅2x=6x(x2−1)2\begin{aligned}\big((x^2-1)^3\big)' &= 3(x^2-1)^2 \cdot 2x \\ &= 6x(x^2-1)^2\end{aligned}

כלל השרשרת

∫6x(x2−1)2 dx=(x2−1)3+C\int 6x(x^2-1)^2\,dx=(x^2-1)^3+C

הנגזרת היא בדיוק מה שבתוך האינטגרל

הנכונה: (x2−1)3+C(x^2-1)^3+C. הרמז נתן נגזרת שהיא בדיוק הביטוי, ולכן אין מה לחלק. (x2−1)33\frac{(x^2-1)^3}{3} מחלק ב-33 פעם אחת מיותרת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

הוכיחו או הפריכו: F(x)=sin⁡2xF(x)=\sin^2 x היא פונקציה קדומה של f(x)=sin⁡2xf(x)=\sin 2x.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

F ′(x)=2sin⁡x⋅cos⁡xF\,'(x)=2\sin x \cdot \cos x

כלל השרשרת

2sin⁡xcos⁡x=sin⁡2x2\sin x\cos x=\sin 2x

זהות הזווית הכפולה

הטענה נכונה. גם −12cos⁡2x-\frac{1}{2}\cos 2x היא קדומה של sin⁡2x\sin 2x. שתיהן נכונות: sin⁡2x=12−12cos⁡2x\sin^2 x=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos 2x, כלומר הן נבדלות בקבוע 12\frac{1}{2}.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

חשבו את ∫01(2x+1)3 dx\int_0^1 (2x+1)^3\,dx.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 10

Corrigé :

∫(2x+1)3 dx=(2x+1)44⋅2=(2x+1)48\begin{aligned}\int (2x+1)^3\,dx &= \frac{(2x+1)^4}{4 \cdot 2} \\ &= \frac{(2x+1)^4}{8}\end{aligned}

ארגומנט ליניארי, m=2m=2

818−18=10\frac{81}{8}-\frac{1}{8}=10

On remplace (מציבים)

מי שקיבל 2020 שכח לחלק ב-m=2m=2. בגבול התחתון x=0x=0 הערך הוא 18\frac{1}{8}, לא 00.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

תלמידה חישבה את ∫0π/6cos⁡3x dx\int_0^{\pi/6} \cos 3x\,dx. שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

∫cos⁡3x dx=3sin⁡3x+C\int \cos 3x\,dx=3\sin 3x+C
∫0π/6cos⁡3x dx=[13sin⁡3x]0π/6\int_0^{\pi/6}\cos 3x\,dx=\Big[\tfrac{1}{3}\sin 3x\Big]_0^{\pi/6}
=13sin⁡π2−13sin⁡0=13=\tfrac{1}{3}\sin\tfrac{\pi}{2}-\tfrac{1}{3}\sin 0=\tfrac{1}{3}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : ∫cos⁡3x dx=3sin⁡3x+C\int \cos 3x\,dx=3\sin 3x+C → ∫cos⁡3x dx=13sin⁡3x+C\int \cos 3x\,dx=\tfrac{1}{3}\sin 3x+C

Corrigé :

(3sin⁡3x)′=9cos⁡3x≠cos⁡3x\big(3\sin 3x\big)'=9\cos 3x \neq \cos 3x

בדיקה בגזירה פוסלת את השורה

השורה הראשונה כופלת ב-33. השורות הבאות כבר משתמשות בקדומה הנכונה, והתשובה 13\frac{1}{3} נכונה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

חשבו את השטח הכלוא בין הגרף של y=sin⁡xy=\sin x לבין ציר ה-xx בקטע [0, 2π][0,\,2\pi].

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

∫0πsin⁡x dx=[−cos⁡x]0π=1+1=2\begin{aligned}\int_0^{\pi}\sin x\,dx &= \big[-\cos x\big]_0^{\pi} \\ &= 1+1 \\ &= 2\end{aligned}

הקשת שמעל הציר

∫π2πsin⁡x dx=−1−1=−2\begin{aligned}\int_{\pi}^{2\pi}\sin x\,dx &= -1-1 \\ &= -2\end{aligned}

הקשת שמתחת לציר

S=2+2=4\begin{aligned}S &= 2+2 \\ &= 4\end{aligned}

ערכים מוחלטים

∫02πsin⁡x dx=0\int_0^{2\pi}\sin x\,dx=0, אבל השטח הוא 44. מחלקים את הקטע בחיתוך עם הציר x=πx=\pi.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe