La fonction d'accumulation · L'intégrale comme accumulation · Kita יא

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

למאגר מים נכנסים ויוצאים מים. $f(t)$ הוא הקצב (מ״ק לשעה): חיובי כשנכנסים מים, שלילי כשיוצאים. כמה מים הצטברו מרגע $0$ ועד רגע $x$ ? התשובה היא השטח עם סימן מתחת לגרף של הקצב, מ- $0$ עד $x$ . הסתכלו על הגרף.

הגרף של הקצב f(t)

המספרים על הגרף הם השטחים של החלקים, עם סימן: מעל הציר

+

, מתחת לציר

-

. הקצב מחליף סימן ב-

t=4

נסמן ב- $F(x)$ את כמות המים שהצטברה מ- $0$ עד $x$ . מהם $F(3)$ , $F(4)$ ו- $F(8)$ ? ומתי במאגר הכי הרבה מים?

Voir la réponse et le corrigé

$F(3)=6$ , $F(4)=6+1=7$ , $F(8)=7-1-6=0$ . הכי הרבה מים ב- $t=4$ : עד אז הקצב חיובי והמאגר מתמלא, ואחר כך הוא מתרוקן. המקסימום של $F$ הוא איפה ש- $f$ מחליפה סימן, לא איפה ש- $f$ גדולה.

הפונקציה הצוברת והמשפט היסודי

\begin{aligned}F(x) &= \int_a^x f(t)\,dt \qquad \Longrightarrow \qquad F\,'(x) \\ &= f(x) \\ \qquad F(a) &= 0\end{aligned}

למה $F\,'=f$ ? מגדילים את $x$ בקצת, $h$ . לשטח נוסף פס צר ברוחב $h$ ובגובה בערך $f(x)$ , ולכן $F(x+h)-F(x) \approx f(x) \cdot h$ . מחלקים ב- $h$ ומקבלים את קצב השינוי של $F$ : הוא $f(x)$ . כלומר $F$ היא פונקציה קדומה של $f$ , זו שמתאפסת ב- $a$ . מכאן גם הדרך לחשב כל אינטגרל מסוים: $\int_a^b f(x)\,dx=G(b)-G(a)$ , לכל קדומה $G$ .

האות $t$ בתוך האינטגרל היא רק «משתנה פנימי». המשתנה של $F$ הוא הגבול העליון $x$ .

f>0

$F$ עולה

f<0

$F$ יורדת

+ \ \to \ -

$f$ מחליפה סימן מחיובי לשלילי: מקסימום של $F$

- \ \to \ +

$f$ מחליפה סימן משלילי לחיובי: מינימום של $F$

f \ \text{קיצון}

ל- $f$ קיצון: $F\,''=f\,'$ מחליפה סימן, ול- $F$ נקודת פיתול

נתונה $F(x)=\int_2^x f(t)\,dt$ עבור פונקציה $f$ כלשהי. מהו $F(2)$ ?

Voir la réponse et le corrigé

$0$ , תמיד. האינטגרל מ- $2$ עד $2$ הוא שטח ברוחב אפס. זו הנקודה שבה הגרף של $F$ חותך את ציר ה- $x$ בוודאות.

הפונקציה הצוברת בנוסחה

נתונה $F(x)=\int_1^x (2t-4)\,dt$ . מצאו ביטוי ל- $F(x)$ , ואת נקודת המינימום של $F$ .

\begin{aligned}F(x) &= \big[t^2-4t\big]_1^x \\ &= (x^2-4x)-(1-4) \\ &= x^2-4x+3\end{aligned}

קדומה, ומציבים את שני הגבולות

\begin{aligned}F(1) &= 1-4+3 \\ &= 0\end{aligned}

בדיקה: $F$ מתאפסת בגבול התחתון ✓

\begin{aligned}F\,'(x) &= 2x-4 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

המשפט היסודי

\begin{aligned}F(2) &= 4-8+3 \\ &= -1\end{aligned}

$f$ עוברת משלילי לחיובי: מינימום $(2,\,-1)$

$F$ עולה זה לא $F$ חיובית. בגרף של הקצב למעלה $F$ יורדת מ- $t=4$ ועד $t=8$ , ובכל זאת חיובית עד $t=8$ : המאגר מתרוקן, אבל עדיין יש בו מים.

שלוש טעויות בפונקציה הצוברת.

F\,'(x)=f\,'(x)

F\,'(x)=f(x)

הנגזרת של $F$ היא $f$ עצמה, לא הנגזרת של $f$ .

x_{\max F}=x_{\max f}

x_{\max F}: \ f \ \ + \to -

המקסימום של $f$ הוא הרגע שבו $F$ עולה הכי מהר. $F$ ממשיכה לעלות כל עוד $f>0$ .

F(x)=x^2-4x

F(x)=x^2-4x+3

ב- $\int_1^x$ חייבים להחסיר את הערך בגבול התחתון. בדיקה: $F(1)$ חייב להיות $0$ .

Exercices

Exercice 1

נתונה $F(x)=\int_0^x (t^3+1)\,dt$ . חשבו את $F\,'(2)$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 9

Corrigé :

F\,'(x)=x^3+1

המשפט היסודי

\begin{aligned}F\,'(2) &= 8+1 \\ &= 9\end{aligned}

On remplace (מציבים)

אין צורך לחשב את האינטגרל. מי שחישב $F(2)=\frac{16}{4}+2=6$ ענה על שאלה אחרת: ערך, לא נגזרת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתונה $F(x)=\int_2^x (3t^2-2)\,dt$ . חשבו את $F(3)$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 17

Corrigé :

\begin{aligned}F(x) &= \big[t^3-2t\big]_2^x \\ &= x^3-2x-4\end{aligned}

$2^3-2 \cdot 2=4$

\begin{aligned}F(3) &= 27-6-4 \\ &= 17\end{aligned}

On remplace (מציבים)

מי שקיבל $21$ שכח להחסיר את הערך בגבול התחתון, $4$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

הגרף של f

הגרף של $f$ מורכב מקטעים ישרים, כמו בשרטוט. נגדיר $F(x)=\int_0^x f(t)\,dt$ עבור $0 \leq x \leq 6$ . חשבו את $F(2)$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

\begin{aligned}F(2) &= \tfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4 \\ &= 4\end{aligned}

משולש מעל הציר, בסיס $2$ וגובה $4$

השטח מעל הציר נספר בחיוב. עוד לא הגענו לחלק שמתחת לציר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

הגרף של f

לפי אותו שרטוט, עם $F(x)=\int_0^x f(t)\,dt$ : חשבו את $F(6)$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -4

Corrigé :

\int_0^2 f=4

משולש מעל הציר

\begin{aligned}\int_2^6 f &= -\tfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 \\ &= -8\end{aligned}

משולש מתחת לציר, בסיס $4$ וגובה $4$

\begin{aligned}F(6) &= 4-8 \\ &= -4\end{aligned}

סכום עם סימנים

$F$ היא שטח עם סימן, ולכן יכולה להיות שלילית. מי שענה $12$ חיבר שטחים בלי סימן: זה השטח הכולל, לא $F(6)$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

הגרף של f

לפי אותו שרטוט, עם $F(x)=\int_0^x f(t)\,dt$ : באיזה $x$ מקבלת $F$ את הערך הגדול ביותר בקטע $[0,\,6]$ ?

$x=4$
$x=6$
$x=2$
$x=0$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $x=2$

Corrigé :

0<x<2: \ f>0 \ \Rightarrow \ F \ \nearrow

עולה

2<x<6: \ f<0 \ \Rightarrow \ F \ \searrow

יורדת

F(2)=4

$f$ מחליפה סימן מ- $+$ ל- $-$ : מקסימום

הנכונה: $x=2$ . ב- $x=0$ הערך של $f$ הכי גדול, אבל $F(0)=0$ . ב- $x=4$ הערך של $f$ הכי קטן: שם $F$ יורדת הכי מהר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

הוכיחו או הפריכו: אם $f(t)>0$ לכל $t$ , אז $F(x)=\int_0^x f(t)\,dt$ חיובית לכל $x$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

F(0)=0

בגבול התחתון

\begin{aligned}f(t) &= 1: \ F(x) \\ &= x \ \Rightarrow \ F(-1) \\ &= -1<0\end{aligned}

דוגמה נגדית

הטענה לא נכונה. $f>0$ אומר ש- $F$ עולה, לא ש- $F$ חיובית. $F$ עולה ומתאפסת ב- $0$ , ולכן משמאל ל- $0$ היא שלילית.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

נתונה $F(x)=\int_1^x (2t-6)\,dt$ . השלימו.

$F(x)=x^2-6x+$ ____ ; מינימום ב- $x=$ ____ , ערך המינימום ____ ; $F(x)=0$ גם ב- $x=$ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $F(x)=x^2-6x+$ 5 ; מינימום ב- $x=$ 3 , ערך המינימום -4 ; $F(x)=0$ גם ב- $x=$ 5

Corrigé :

\begin{aligned}F(x) &= \big[t^2-6t\big]_1^x \\ &= x^2-6x-(1-6) \\ &= x^2-6x+5\end{aligned}

קדומה ושני גבולות

\begin{aligned}F\,'(x) &= 2x-6 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3 \\ \quad F(3) &= -4\end{aligned}

מ- $-$ ל- $+$ : מינימום

\begin{aligned}x^2-6x+5 &= (x-1)(x-5) \\ &= 0\end{aligned}

$x=1$ ידוע מראש; השני $x=5$

אחד השורשים של $F$ ידוע בלי חישוב: הגבול התחתון $x=1$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

נתונה $F(x)=\int_a^x f(t)\,dt$ . התאימו לכל תכונה של $f$ את מה שהיא אומרת על $F$ .

$f>0$ בקטע
$f<0$ בקטע
$f$ מחליפה סימן מ- $+$ ל- $-$
ל- $f$ יש מקסימום

$F$ יורדת בקטע
$F$ עולה בקטע
ל- $F$ מקסימום
ל- $F$ נקודת פיתול

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $f>0$ בקטע — $F$ עולה בקטע · $f<0$ בקטע — $F$ יורדת בקטע · $f$ מחליפה סימן מ- $+$ ל- $-$ — ל- $F$ מקסימום · ל- $f$ יש מקסימום — ל- $F$ נקודת פיתול

Corrigé :

F\,'=f

הסימן של $f$ הוא כיוון $F$

F\,''=f\,'

הכיוון של $f$ הוא הקעירות של $F$

שתי שכבות: הסימן של $f$ קובע עלייה וירידה של $F$ , והעלייה והירידה של $f$ קובעות את הקעירות של $F$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

נתונה $F(x)=\int_0^x (t^2-9)\,dt$ . באיזה $x$ יש ל- $F$ נקודת מינימום?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

\begin{aligned}F\,'(x) &= x^2-9 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm 3\end{aligned}

נקודות חשודות

\begin{aligned}F\,'(2) &= -5<0 \qquad F\,'(4) \\ &= 7>0\end{aligned}

סביב $x=3$ : מ- $-$ ל- $+$

\begin{aligned}F\,'(-4) &= 7>0 \qquad F\,'(-2) \\ &= -5<0\end{aligned}

סביב $x=-3$ : מקסימום

המינימום ב- $x=3$ . $x=-3$ הוא מקסימום. מי שבחר לפי «איפה $x^2-9$ הכי קטנה» ענה $x=0$ : שם $F$ יורדת הכי מהר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

נתונה $F(x)=\int_0^x (at+2)\,dt$ , כאשר $a$ פרמטר, וידוע ש- $F(2)=10$ . מצאו את $a$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

F(x)=\tfrac{a}{2}x^2+2x

קדומה, ו- $F(0)=0$

\begin{aligned}F(2) &= 2a+4 \\ &= 10 \ \Rightarrow \ a \\ &= 3\end{aligned}

On remplace (מציבים)

בתוך האינטגרל $a$ הוא קבוע, והמשתנה הוא $t$ . בדיקה: $\int_0^2 (3t+2)\,dt=6+4=10$ ✓

Vérifier la réponse sur elev

הפונקציה הצוברת והמשפט היסודי

Exercices

La suite se pratique sur elev