Approcher une aire par des rectangles · L'intégrale comme accumulation · Kita יא

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

מכונית נוסעת במהירות משתנה. אם המהירות הייתה קבועה, המרחק היה «מהירות כפול זמן»: שטח של מלבן. כשהמהירות משתנה, מחלקים את הזמן לחלקים קטנים ומניחים שבכל חלק המהירות כמעט קבועה. כך השטח מתחת לגרף מתקרב בעזרת סכום של מלבנים. הסתכלו על הגרף לפני כל נוסחה.

y = x² + 1 בקטע [0, 3], שלושה חלקים

הקו המלא: מלבנים מתחת לעקומה, בגובה הקצה השמאלי של כל חלק. הקו המקווקו: מלבנים מעל העקומה, בגובה הקצה הימני. השטח האמיתי נמצא ביניהם.

לפי הגרף: חשבו את שני הסכומים. בין אילו מספרים נמצא השטח המדויק מתחת ל- $y=x^2+1$ בקטע $[0,\,3]$ ?

Voir la réponse et le corrigé

רוחב כל מלבן $1$ . תחתון: $1+2+5=8$ . עליון: $2+5+10=17$ . לכן $8 < S < 17$ . (השטח המדויק הוא $12$ .)

סכום תחתון וסכום עליון

מחלקים את הקטע $[a,\,b]$ ל- $n$ חלקים שווים ברוחב $\Delta x=\frac{b-a}{n}$ . בכל חלק בונים מלבן. בסכום התחתון הגובה הוא הערך הקטן ביותר של $f$ בחלק, ובסכום העליון הערך הגדול ביותר.

\begin{aligned}\Delta x &= \frac{b-a}{n} \qquad s_n \\ &= \Delta x \cdot \big(\text{min}_1+\dots+\text{min}_n\big) \qquad S_n \\ &= \Delta x \cdot \big(\text{max}_1+\dots+\text{max}_n\big)\end{aligned}

f \ \text{עולה}

הקטן בקצה השמאלי של כל חלק, הגדול בקצה הימני: $s_n$ משמאל, $S_n$ מימין

f \ \text{יורדת}

הפוך: $s_n$ לוקח את הקצוות הימניים, $S_n$ את השמאליים

s_n \leq \int_a^b f(x)\,dx \leq S_n

כשמגדילים את $n$ , שני הסכומים מתקרבים זה לזה ולאינטגרל

עבור $f(x)=x^2+1$ בקטע $[0,\,3]$ עם $n=6$ חלקים, $\Delta x=0.5$ : $s_6=9.875$ ו- $S_6=14.375$ . הפער ירד מ- $9$ ל- $4.5$ . לפונקציה מונוטונית הפער הוא בדיוק $S_n-s_n=\Delta x \cdot |f(b)-f(a)|$ : כל «מדרגה» נדחפת שמאלה לעמודה אחת.

S_n-s_n=\frac{b-a}{n}\cdot\big|f(b)-f(a)\big|

עבור $f(x)=x^2+1$ בקטע $[0,\,3]$ : כמה חלקים צריך לפחות כדי שהפער $S_n-s_n$ יהיה קטן מ- $1$ ?

Voir la réponse et le corrigé

$\frac{3}{n}\cdot 9=\frac{27}{n}<1$ , ולכן $n>27$ : לפחות $28$ חלקים.

פונקציה יורדת

נתונה $f(x)=9-x^2$ בקטע $[0,\,3]$ . חלקו לשלושה חלקים שווים וחשבו את הסכום התחתון ואת הסכום העליון.

\begin{aligned}\Delta x &= \frac{3-0}{3} \\ &= 1\end{aligned}

רוחב כל חלק

\begin{aligned}f(0) &= 9 \quad f(1) \\ &= 8 \quad f(2) \\ &= 5 \quad f(3) \\ &= 0\end{aligned}

בקטע $[0,\,3]$ הפונקציה יורדת

\begin{aligned}s_3 &= 1 \cdot (8+5+0) \\ &= 13\end{aligned}

תחתון: הקצוות הימניים

\begin{aligned}S_3 &= 1 \cdot (9+8+5) \\ &= 22\end{aligned}

עליון: הקצוות השמאליים

13 \leq \int_0^3 (9-x^2)\,dx=18 \leq 22

האינטגרל אכן ביניהם

לפני כל חישוב שאלו: האם $f$ עולה או יורדת בקטע? התשובה קובעת איזה קצה נותן את הגובה הקטן. ואם $f$ לא מונוטונית, מחפשים בכל חלק את המינימום ואת המקסימום שלו.

שלוש טעויות בסכומים.

s_3=f(0)+f(1)+f(2)

s_3=f(1)+f(2)+f(3)

עבור $9-x^2$ , שיורדת, הקצה השמאלי נותן את הגובה הגדול. זה הסכום העליון.

s_4=f(0)+f(0.5)+f(1)+f(1.5)

s_4=0.5 \cdot \big(f(0)+f(0.5)+f(1)+f(1.5)\big)

שכחו לכפול ברוחב $\Delta x$ . מסכמים שטחים, לא גבהים.

n=4 \ \Rightarrow \ 4 \ \text{נקודות}

\begin{aligned}n &= 4 \ \Rightarrow \ x_0 \\ \,x_1 \\ \,\dots \\ \,x_4\end{aligned}

ארבעה חלקים נקבעים על ידי חמש נקודות, מ- $x_0=a$ עד $x_4=b$ . כל סכום משתמש בארבע מהן.

Exercices

Exercice 1

נתונה $f(x)=x^2$ בקטע $[0,\,4]$ . מחלקים את הקטע ל- $4$ חלקים שווים. חשבו את הסכום התחתון $s_4$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 14

Corrigé :

\Delta x=1

רוחב כל חלק

\begin{aligned}s_4 &= 1 \cdot \big(f(0)+f(1)+f(2)+f(3)\big) \\ &= 0+1+4+9 \\ &= 14\end{aligned}

$f$ עולה בקטע: הקצוות השמאליים

$f$ עולה, ולכן הגובה הקטן בכל חלק הוא בקצה השמאלי. מי שכתב $30$ חישב את הסכום העליון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

המשך: עבור $f(x)=x^2$ בקטע $[0,\,4]$ עם $4$ חלקים, חשבו את הסכום העליון $S_4$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 30

Corrigé :

\begin{aligned}S_4 &= 1 \cdot \big(f(1)+f(2)+f(3)+f(4)\big) \\ &= 1+4+9+16 \\ &= 30\end{aligned}

הקצוות הימניים

14 \leq \int_0^4 x^2\,dx=\tfrac{64}{3} \approx 21.3 \leq 30

בדיקה

העליון לוקח את הקצוות הימניים, כולל $f(4)=16$ . בדיקה מהירה: $S_4-s_4=1 \cdot (16-0)=16$ ✓

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

הפונקציה $f$ יורדת בקטע $[a,\,b]$ . מחלקים את הקטע לחלקים שווים. באיזה גובה בונים כל עמודה של הסכום התחתון?

בערך של $f$ בקצה השמאלי של החלק
בערך של $f$ בקצה הימני של החלק
בערך של $f$ באמצע החלק
בממוצע של שני הקצוות

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B בערך של $f$ בקצה הימני של החלק

Corrigé :

x_{k-1}<x_k \ \Rightarrow \ f(x_{k-1})>f(x_k)

פונקציה יורדת

\text{min}=f(x_k)

הערך הקטן בחלק: בקצה הימני

הנכונה: הקצה הימני. «שמאל = תחתון» נכון רק לפונקציה עולה. האמצע והממוצע נותנים קירוב, אבל לא סכום תחתון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

נתונה $f(x)=2x+1$ בקטע $[1,\,3]$ . מחלקים את הקטע ל- $4$ חלקים שווים. השלימו.

$\Delta x=$ ____ ; $s_4=$ ____ ; $S_4=$ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $\Delta x=$ 0.5 ; $s_4=$ 9 ; $S_4=$ 11

Corrigé :

\begin{aligned}\Delta x &= \frac{3-1}{4} \\ &= 0.5\end{aligned}

רוחב

\begin{aligned}f(1) &= 3 \\ \ f(1.5) &= 4 \\ \ f(2) &= 5 \\ \ f(2.5) &= 6 \\ \ f(3) &= 7\end{aligned}

חמש נקודות

\begin{aligned}s_4 &= 0.5 \cdot (3+4+5+6) \\ &= 9\end{aligned}

תחתון: $f$ עולה

\begin{aligned}S_4 &= 0.5 \cdot (4+5+6+7) \\ &= 11\end{aligned}

עליון

חמש נקודות חלוקה, ארבעה מלבנים בכל סכום. מי שקיבל $18$ ו- $22$ שכח לכפול ב- $\Delta x=0.5$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

הוכיחו או הפריכו: עבור $f(x)=2x+1$ בקטע $[1,\,3]$ , הממוצע של $s_4$ ושל $S_4$ שווה בדיוק ל- $\int_1^3 (2x+1)\,dx$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

\frac{9+11}{2}=10

ממוצע הסכומים מהשאלה הקודמת

\begin{aligned}\int_1^3 (2x+1)\,dx &= \big[x^2+x\big]_1^3 \\ &= 12-2 \\ &= 10\end{aligned}

האינטגרל

הטענה נכונה. לגרף ישר, בכל חלק המלבן התחתון «חסר» משולש, והעליון «עודף» משולש זהה. לפרבולה זה לא נכון: ב- $x^2$ בקטע $[0,4]$ , $\frac{14+30}{2}=22 \neq \frac{64}{3}$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

נתונה $f(x)=x^3$ בקטע $[0,\,2]$ , ומחלקים את הקטע ל- $8$ חלקים שווים. חשבו את $S_8-s_8$ , בלי לחשב כל סכום בנפרד.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

\begin{aligned}\Delta x &= \frac{2}{8} \\ &= 0.25\end{aligned}

רוחב

\begin{aligned}S_8-s_8 &= \Delta x\cdot\big(f(2)-f(0)\big) \\ &= 0.25 \cdot 8 \\ &= 2\end{aligned}

פונקציה עולה: המדרגות מצטמצמות לעמודה אחת

כל ערך פנימי מופיע בשני הסכומים ומתקזז. נשארים רק $f(2)$ ב- $S_8$ ו- $f(0)$ ב- $s_8$ , כפול הרוחב.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

עבור $f(x)=x^2$ בקטע $[0,\,3]$ מחלקים את הקטע ל- $n$ חלקים שווים. מהו $n$ הקטן ביותר שעבורו $S_n-s_n<0.1$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 271

Corrigé :

\begin{aligned}S_n-s_n &= \frac{3}{n}\cdot(9-0) \\ &= \frac{27}{n}\end{aligned}

הפער לפונקציה עולה

\frac{27}{n}<0.1 \ \Rightarrow \ n>270

אי-שוויון

n=271

המספר השלם הקטן ביותר

אי-השוויון חזק: עבור $n=270$ הפער שווה בדיוק ל- $0.1$ , ולא קטן ממנו.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

נתונה $f(x)=x^2$ בקטע $[0,\,2]$ . סדרו מהקטן לגדול.

$\int_0^2 x^2\,dx$
$s_2$
$S_2$
$s_4$
$S_4$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $s_2$ · $s_4$ · $\int_0^2 x^2\,dx$ · $S_4$ · $S_2$

Corrigé :

\begin{aligned}s_2 &= 1 \cdot (0+1) \\ &= 1 \qquad s_4 \\ &= 0.5 \cdot (0+0.25+1+2.25) \\ &= 1.75\end{aligned}

התחתונים

\int_0^2 x^2\,dx=\tfrac{8}{3} \approx 2.67

האינטגרל

\begin{aligned}S_4 &= 0.5 \cdot (0.25+1+2.25+4) \\ &= 3.75 \qquad S_2 \\ &= 1 \cdot (1+4) \\ &= 5\end{aligned}

העליונים

כשמגדילים את $n$ , הסכום התחתון עולה והעליון יורד. שניהם מתקרבים לאינטגרל מצדדים שונים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

נתונה $f(x)=16-x^2$ בקטע $[0,\,4]$ . מחלקים את הקטע ל- $4$ חלקים שווים. השלימו.

$s_4=$ ____ ; $S_4=$ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $s_4=$ 34 ; $S_4=$ 50

Corrigé :

\begin{aligned}f(0) &= 16 \\ \ f(1) &= 15 \\ \ f(2) &= 12 \\ \ f(3) &= 7 \\ \ f(4) &= 0\end{aligned}

בקטע $[0,4]$ הפונקציה יורדת

\begin{aligned}s_4 &= 15+12+7+0 \\ &= 34\end{aligned}

תחתון: הקצוות הימניים

\begin{aligned}S_4 &= 16+15+12+7 \\ &= 50\end{aligned}

עליון: הקצוות השמאליים

34 \leq \int_0^4 (16-x^2)\,dx=\tfrac{128}{3} \approx 42.7 \leq 50

בדיקה

פונקציה יורדת: הימני הוא התחתון. מי שהפך את התשובות בנה את הסכומים כאילו $f$ עולה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

תלמיד חישב את הסכום התחתון של $f(x)=x^2$ בקטע $[0,\,2]$ עם $4$ חלקים. שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

\begin{aligned}\Delta x &= \frac{2-0}{4} \\ &= 0.5\end{aligned}

\begin{aligned}x_0 &= 0 \\ \ x_1 &= 0.5 \\ \ x_2 &= 1 \\ \ x_3 &= 1.5\end{aligned}

\begin{aligned}f(x_0) &= 0 \\ \ f(x_1) &= 0.25 \\ \ f(x_2) &= 1 \\ \ f(x_3) &= 2.25\end{aligned}

\begin{aligned}s_4 &= 0+0.25+1+2.25 \\ &= 3.5\end{aligned}

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $s_4=0+0.25+1+2.25=3.5$ → $s_4=0.5 \cdot (0+0.25+1+2.25)=1.75$

Corrigé :

s_4=\Delta x \cdot \big(f(x_0)+f(x_1)+f(x_2)+f(x_3)\big)

כל מלבן: רוחב כפול גובה

0.5 \cdot 3.5=1.75

התיקון

$3.5$ גדול אפילו מהאינטגרל $\frac{8}{3}$ : סכום תחתון לא יכול להיות גדול ממנו. זה הסימן שהרוחב נשכח.

Vérifier la réponse sur elev

סכום תחתון וסכום עליון

Exercices

La suite se pratique sur elev