Série 3 — vers le bac

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

שלוש שאלות בנוסח פרק 4 של הבגרות, כל אחת מחולקת לסעיפים. כל סעיף הוא תרגיל נפרד, עם אותה פתיחה: פונקציה רציונלית עם פרמטר עד נקודות הפיתול, פונקציה שנתונה רק הנגזרת שלה, וקטע אנכי ארוך ביותר בין שני גרפים.

כמו בבחינה: כל סעיף משתמש בקודמו. לפני שמתחילים סעיף, כתבו מה כבר מצאתם: את הפרמטר, את f′f', את נקודות החיתוך.

Exercices

Exercice 1

נתונה הפונקציה f(x)=axx2+9f(x)=\frac{ax}{x^2+9}, כאשר a>0a>0 פרמטר. הערך הגדול ביותר של הפונקציה הוא 11. א. מצאו את aa.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6

Corrigé :

f′(x)=a(x2+9)−ax⋅2x(x2+9)2=a(9−x2)(x2+9)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{a(x^2+9)-ax \cdot 2x}{(x^2+9)^2} \\ &= \frac{a(9-x^2)}{(x^2+9)^2}\end{aligned}

כלל המנה

x=3 (max⁡)x=−3 (min⁡)\begin{aligned}x &= 3 \ (\max) \\ \quad x &= -3 \ (\min)\end{aligned}

כי a>0a>0

f(3)=3a18=a6=1 ⇒ a=6\begin{aligned}f(3) &= \frac{3a}{18} \\ &= \frac{a}{6} \\ &= 1 \ \Rightarrow \ a \\ &= 6\end{aligned}

הערך הגדול ביותר

המקסימום הוא ערך של ff, ולכן משווים את f(3)f(3) ל-11. מי שמשווה את f′f' ל-11 מחפש שיפוע, לא גובה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתונה הפונקציה f(x)=axx2+9f(x)=\frac{ax}{x^2+9}, כאשר a>0a>0 פרמטר. הערך הגדול ביותר של הפונקציה הוא 11. ב. מצאו את נקודת המינימום של ff ואת האסימפטוטה האופקית שלה.

מינימום: x=x= ____ , y=y= ____ ; אסימפטוטה: y=y= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : מינימום: x=x= -3 , y=y= -1 ; אסימפטוטה: y=y= 0

Corrigé :

f(x)=6xx2+9f(x)=\frac{6x}{x^2+9}

עם a=6a=6

f(−3)=−1818=−1\begin{aligned}f(-3) &= \frac{-18}{18} \\ &= -1\end{aligned}

המינימום

y=0y=0

דרגת המונה קטנה מדרגת המכנה

הפונקציה אי-זוגית: f(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x). לכן המינימום הוא «השתקפות» של המקסימום (3, 1)(3,\,1). ואין אסימפטוטה אנכית: x2+9>0x^2+9>0 תמיד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתונה הפונקציה f(x)=axx2+9f(x)=\frac{ax}{x^2+9}, כאשר a>0a>0 פרמטר. הערך הגדול ביותר של הפונקציה הוא 11. ג. כמה נקודות פיתול יש לפונקציה ff?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

f′′(x)=12x(x2−27)(x2+9)3f''(x)=\frac{12x(x^2-27)}{(x^2+9)^3}

גוזרים את f′f' בכלל המנה

x=0x=±33\begin{aligned}x &= 0 \\ \quad x &= \pm 3\sqrt{3}\end{aligned}

אפסי המונה

x<−33:−−33<x<0:+0<x<33:−x>33:+x<-3\sqrt{3}: - \quad -3\sqrt{3}<x<0: + \quad 0<x<3\sqrt{3}: - \quad x>3\sqrt{3}: +

הסימן מתחלף בשלושתן

המכנה (x2+9)3(x^2+9)^3 תמיד חיובי ולא משפיע על הסימן. מי שעונה 11 מצא רק את x=0x=0 ושכח את הגורם x2−27x^2-27.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

נתונה הפונקציה f(x)=axx2+9f(x)=\frac{ax}{x^2+9}, כאשר a>0a>0 פרמטר. הערך הגדול ביותר של הפונקציה הוא 11. ד. נתונה g(x)=k⋅f(x)g(x)=k \cdot f(x), כאשר k<0k<0. הערך הגדול ביותר של gg הוא 44. מצאו את kk.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -4

Corrigé :

k<0k<0

הכפלה במספר שלילי הופכת את הגרף

max⁡g=k⋅min⁡f=k⋅(−1)\begin{aligned}\max g &= k \cdot \min f \\ &= k \cdot (-1)\end{aligned}

המקסימום של gg בא מהמינימום של ff

−k=4 ⇒ k=−4\begin{aligned}-k &= 4 \ \Rightarrow \ k \\ &= -4\end{aligned}

On résout

מי שכותב k⋅1=4k \cdot 1=4 לקח את המקסימום של ff ומקבל k=4k=4, בסתירה ל-k<0k<0. כש-k<0k<0 המקסימום והמינימום מתחלפים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

הפונקציה ff מוגדרת לכל xx, ונגזרתה היא f′(x)=(x−1)2(x+2)f'(x)=(x-1)^2(x+2). א. מה נכון לגבי נקודות הקיצון של ff?

  1. מינימום ב-x=−2x=-2 בלבד
  2. אין לפונקציה נקודות קיצון
  3. מינימום ב-x=−2x=-2 ומקסימום ב-x=1x=1
  4. מקסימום ב-x=−2x=-2 ומינימום ב-x=1x=1
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A מינימום ב-x=−2x=-2 בלבד

Corrigé :

f′(x)=0 ⇒ x=1 x=−2\begin{aligned}f'(x) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1 \\ \ x &= -2\end{aligned}

נקודות חשודות

x<−2:f′<0−2<x<1:f′>0x>1:f′>0x<-2: f'<0 \qquad -2<x<1: f'>0 \qquad x>1: f'>0

(x−1)2≥0(x-1)^2 \geq 0, ולכן הסימן לפי x+2x+2

min⁡:x=−2\min: x=-2

ב-x=1x=1 הסימן לא מתחלף

הנכונה: מינימום ב-x=−2x=-2 בלבד. ב-x=1x=1 הנגזרת מתאפסת, אבל נשארת חיובית משני הצדדים — בגלל הריבוע. שם אין קיצון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

הפונקציה ff מוגדרת לכל xx, ונגזרתה היא f′(x)=(x−1)2(x+2)f'(x)=(x-1)^2(x+2). ב. מצאו את שיעורי ה-xx של נקודות הפיתול של ff.

הקטן: x=x= ____ ; הגדול: x=x= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : הקטן: x=x= -1 ; הגדול: x=x= 1

Corrigé :

f′′(x)=2(x−1)(x+2)+(x−1)2f''(x)=2(x-1)(x+2)+(x-1)^2

כלל המכפלה

f′′(x)=(x−1)(3x+3)=3(x−1)(x+1)\begin{aligned}f''(x) &= (x-1)(3x+3) \\ &= 3(x-1)(x+1)\end{aligned}

מוציאים גורם משותף (x−1)(x-1)

x<−1:+−1<x<1:−x>1:+x<-1: + \qquad -1<x<1: - \qquad x>1: +

הסימן מתחלף בשתיהן

ב-x=1x=1 מתקיים גם f′=0f'=0 וגם נקודת פיתול: זו נקודת פיתול אופקית. מי שפותח את (x−1)2(x+2)(x-1)^2(x+2) לפולינום לפני הגזירה מגיע לאותה תשובה, בדרך ארוכה יותר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

הפונקציה ff מוגדרת לכל xx, ונגזרתה היא f′(x)=(x−1)2(x+2)f'(x)=(x-1)^2(x+2). ג. באיזה תחום הפונקציה ff קעורה (∩\cap)?

  1. −2<x<1-2<x<1
  2. x<−2x<-2
  3. x<−1x<-1 או x>1x>1
  4. −1<x<1-1<x<1
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D −1<x<1-1<x<1

Corrigé :

f′′(x)=3(x−1)(x+1)f''(x)=3(x-1)(x+1)

מסעיף ב

−1<x<1:f′′<0-1<x<1: f''<0

פרבולה פתוחה כלפי מעלה, שלילית בין השורשים

הנכונה: −1<x<1-1<x<1. התחום −2<x<1-2<x<1 נלקח מ-f′f': שם ff עולה. עלייה וקמירות הן שתי שאלות שונות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

f(x) = 12/x ו-g(x) = 8 − x
ABfg012345678012345678xy
הישר האנכי x=tx=t חותך את gg ב-AA ואת ff ב-BB.

נתונות הפונקציות f(x)=12xf(x)=\frac{12}{x} ו-g(x)=8−xg(x)=8-x, בתחום x>0x>0. הישר x=tx=t חותך את הגרף של gg בנקודה AA ואת הגרף של ff בנקודה BB, כאשר AA מעל BB. א. מצאו את שיעורי ה-xx של נקודות החיתוך של שני הגרפים.

הקטן: x=x= ____ ; הגדול: x=x= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : הקטן: x=x= 2 ; הגדול: x=x= 6

Corrigé :

12x=8−x ⇒ 12=8x−x2\begin{aligned}\frac{12}{x} &= 8-x \ \Rightarrow \ 12 \\ &= 8x-x^2\end{aligned}

כופלים ב-x≠0x \neq 0

x2−8x+12=0 ⇒ x=2 x=6\begin{aligned}x^2-8x+12 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2 \\ \ x &= 6\end{aligned}

משוואה ריבועית

בין x=2x=2 ל-x=6x=6 הישר מעל ההיפרבולה. זה התחום של tt בסעיפים הבאים: מחוצה לו AA מתחת ל-BB.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

נתונות הפונקציות f(x)=12xf(x)=\frac{12}{x} ו-g(x)=8−xg(x)=8-x, בתחום x>0x>0. הישר x=tx=t חותך את הגרף של gg בנקודה AA ואת הגרף של ff בנקודה BB, כאשר AA מעל BB. ב. עבור איזה ערך של tt אורך הקטע ABAB הגדול ביותר? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3.46

Corrigé :

d(t)=8−t−12t2≤t≤6\begin{aligned}d(t) &= 8-t-\frac{12}{t} \\ \quad 2 \leq t \leq 6\end{aligned}

העליון פחות התחתון

d′(t)=−1+12t2=0 ⇒ t=12=23\begin{aligned}d'(t) &= -1+\frac{12}{t^2} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ t \\ &= \sqrt{12} \\ &= 2\sqrt{3}\end{aligned}

נקודה חשודה בתחום

d′(3)>0, d′(4)<0d'(3)>0 ,\ d'(4)<0

מקסימום

t=23≈3.46t=2\sqrt{3} \approx 3.46

התשובה

בקצוות d(2)=d(6)=0d(2)=d(6)=0, ולכן המקסימום בפנים. מי שכותב 12t−(8−t)\frac{12}{t}-(8-t) מקבל פונקציה שלילית בתחום, ואת אותו tt — אבל כמינימום.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

נתונות הפונקציות f(x)=12xf(x)=\frac{12}{x} ו-g(x)=8−xg(x)=8-x, בתחום x>0x>0. הישר x=tx=t חותך את הגרף של gg בנקודה AA ואת הגרף של ff בנקודה BB, כאשר AA מעל BB. ג. מהו האורך הגדול ביותר של הקטע ABAB?

  1. 8−438-4\sqrt{3}
  2. 43−44\sqrt{3}-4
  3. 8−238-2\sqrt{3}
  4. 22
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A 8−438-4\sqrt{3}

Corrigé :

d(23)=8−23−1223d(2\sqrt{3})=8-2\sqrt{3}-\frac{12}{2\sqrt{3}}

מציבים בסעיף ב

1223=63=23\begin{aligned}\frac{12}{2\sqrt{3}} &= \frac{6}{\sqrt{3}} \\ &= 2\sqrt{3}\end{aligned}

מנטרלים את השורש מהמכנה

d=8−43≈1.07d=8-4\sqrt{3} \approx 1.07

האורך

הנכונה: 8−438-4\sqrt{3}. 8−238-2\sqrt{3} הוא הגובה של AA בלבד, בלי לחסר את BB. במקסימום 12t=t\frac{12}{t}=t: שני המחוברים שווים.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe